6.1 基礎事項
平坦な空間の自由ボソンでは、運動方程式 ∂ ∂ ˉ X = 0 \partial\bar\partial X=0 ∂ ∂ ˉ X = 0 ∂ ˉ ( ∂ X ) = 0 \bar\partial(\partial X)=0 ∂ ˉ ( ∂ X ) = 0 ∂ ( ∂ ˉ X ) = 0 \partial(\bar\partial X)=0 ∂ ( ∂ ˉ X ) = 0
三次元球面 S 3 S^3 S 3
6.1.1 作用とカイラル対称性
自由ボソンでは、運動方程式を微分の保存則として読めた。球面上でも、弦の位置を微分して運動項を作りたい。球面の各点をSU(2)の行列で表すと、どんな式になるだろうか。まず、その点の対応を定めよう。
群値場と主カイラル模型
弦の位置を表す四つの実座標を、SU(2)の行列 g g g σ a \sigma_a σ a
g = y 0 1 + i ∑ a = 1 3 y a σ a , ( y 0 ) 2 + ∑ a = 1 3 ( y a ) 2 = 1 g=y^0\mathbf1+i\sum_{a=1}^3y^a\sigma_a,
\qquad (y^0)^2+\sum_{a=1}^3(y^a)^2=1 g = y 0 1 + i a = 1 ∑ 3 y a σ a , ( y 0 ) 2 + a = 1 ∑ 3 ( y a ) 2 = 1 と一意に書ける。四つの実数 y 0 , y 1 , y 2 , y 3 y^0,y^1,y^2,y^3 y 0 , y 1 , y 2 , y 3 S U ( 2 ) ≃ S 3 SU(2)\simeq S^3 S U ( 2 ) ≃ S 3
世界面を複素座標 ( z , z ˉ ) (z,\bar z) ( z , z ˉ ) Σ \Sigma Σ d z ∧ d z ˉ = i d 2 z dz\wedge d\bar z=i\,d^2z d z ∧ d z ˉ = i d 2 z z = σ 1 − i σ 2 z=\sigma^1-i\sigma^2 z = σ 1 − i σ 2 d 2 z = 2 d σ 1 d σ 2 d^2z=2d\sigma^1d\sigma^2 d 2 z = 2 d σ 1 d σ 2
g : Σ ⟶ S U ( 2 ) g:\Sigma\longrightarrow SU(2) g : Σ ⟶ S U ( 2 ) とする。単位元の近くでは
g ( z , z ˉ ) = exp ( i X a ( z , z ˉ ) t a ) , a = 1 , 2 , 3 , g(z,\bar z)
=\exp\bigl(iX^a(z,\bar z)t_a\bigr),
\qquad a=1,2,3, g ( z , z ˉ ) = exp ( i X a ( z , z ˉ ) t a ) , a = 1 , 2 , 3 , と書ける。X a X^a X a t a = σ a / 2 t_a=\sigma_a/\sqrt2 t a = σ a / 2 i t a it_a i t a s u ( 2 ) \mathfrak{su}(2) su ( 2 ) g g g g g g g − 1 g^{-1} g − 1
群値場の微分を単位元へ移して得るLie代数値1形式を A : = g − 1 d g A:=g^{-1}dg A := g − 1 d g
A = A z d z + A z ˉ d z ˉ , A z = g − 1 ∂ g , A z ˉ = g − 1 ∂ ˉ g \boxed{
A=A_z\,dz+A_{\bar z}\,d\bar z,
\qquad
A_z=g^{-1}\partial g,\quad
A_{\bar z}=g^{-1}\bar\partial g
} A = A z d z + A z ˉ d z ˉ , A z = g − 1 ∂ g , A z ˉ = g − 1 ∂ ˉ g と表す。外微分や外積には1形式 A A A A z , A z ˉ A_z,A_{\bar z} A z , A z ˉ A A A
d A + A ∧ A = 0 d{A}+{A}\wedge{A}=0 d A + A ∧ A = 0 を満たす。
d z ∧ d z ˉ dz\wedge d\bar z d z ∧ d z ˉ
∂ A z ˉ − ∂ ˉ A z + [ A z , A z ˉ ] = 0 (MC) \boxed{
\partial{A_{\bar z}}-\bar\partial A_z+[A_z,{A_{\bar z}}]=0
}
\tag{MC} ∂ A z ˉ − ∂ ˉ A z + [ A z , A z ˉ ] = 0 ( MC ) を得る。これは運動方程式ではない。A z A_z A z A z ˉ {A_{\bar z}} A z ˉ g g g
Maurer–Cartan恒等式が任意の群値場で成り立つ理由 g − 1 g = 1 g^{-1}g=1 g − 1 g = 1 g − 1 g^{-1} g − 1
( d g − 1 ) g + g − 1 d g = 0 , d g − 1 = − g − 1 ( d g ) g − 1 . (dg^{-1})g+g^{-1}dg=0,
\qquad dg^{-1}=-g^{-1}(dg)g^{-1}. ( d g − 1 ) g + g − 1 d g = 0 , d g − 1 = − g − 1 ( d g ) g − 1 . d 2 g = 0 d^2g=0 d 2 g = 0
d A = d ( g − 1 d g ) = ( d g − 1 ) ∧ d g + g − 1 d 2 g = − g − 1 ( d g ) g − 1 ∧ d g = − A ∧ A . \begin{aligned}
d{A}
&=d(g^{-1}dg)=(dg^{-1})\wedge dg+g^{-1}d^2g\\
&=-g^{-1}(dg)g^{-1}\wedge dg=-{A}\wedge{A}.
\end{aligned} d A = d ( g − 1 d g ) = ( d g − 1 ) ∧ d g + g − 1 d 2 g = − g − 1 ( d g ) g − 1 ∧ d g = − A ∧ A . 行列の積の順序を保ち、d z ˉ ∧ d z = − d z ∧ d z ˉ d\bar z\wedge dz=-dz\wedge d\bar z d z ˉ ∧ d z = − d z ∧ d z ˉ
d A = ( ∂ A z ˉ − ∂ ˉ A z ) d z ∧ d z ˉ , A ∧ A = ( A z A z ˉ − A z ˉ A z ) d z ∧ d z ˉ . \begin{aligned}
d{A}&=(\partial{A_{\bar z}}-\bar\partial A_z)\,dz\wedge d\bar z,\\
{A}\wedge{A}
&=(A_z{A_{\bar z}}-{A_{\bar z}} A_z)\,dz\wedge d\bar z.
\end{aligned} d A A ∧ A = ( ∂ A z ˉ − ∂ ˉ A z ) d z ∧ d z ˉ , = ( A z A z ˉ − A z ˉ A z ) d z ∧ d z ˉ . したがって d z ∧ d z ˉ dz\wedge d\bar z d z ∧ d z ˉ
主カイラル模型の作用
自由ボソンの運動項は、場の一階微分の二次式だった。球面上でも、同じ接空間へ移した二成分 A z , A z ˉ A_z,A_{\bar z} A z , A z ˉ
S 0 [ g ] = − k 4 π ∫ Σ d 2 z tr ( g − 1 ∂ g g − 1 ∂ ˉ g ) = − k 4 π ∫ Σ d 2 z tr ( A z A z ˉ ) . (6.1) S_0[g]
=-\frac{k}{4\pi}
\int_\Sigma d^2z\,
\operatorname{tr}\!\left(
g^{-1}\partial g\,g^{-1}\bar\partial g
\right)
=-\frac{k}{4\pi}
\int_\Sigma d^2z\,\operatorname{tr}(A_z{A_{\bar z}}).
\tag{6.1} S 0 [ g ] = − 4 π k ∫ Σ d 2 z tr ( g − 1 ∂ g g − 1 ∂ ˉ g ) = − 4 π k ∫ Σ d 2 z tr ( A z A z ˉ ) . ( 6.1 ) 左移動 g ↦ h g g\mapsto hg g ↦ h g A A A g ↦ g h g\mapsto gh g ↦ g h A ↦ h − 1 A h A\mapsto h^{-1}Ah A ↦ h − 1 A h h ∈ S U ( 2 ) h\in SU(2) h ∈ S U ( 2 )
S 0 [ g h ] = S 0 [ h g ] = S 0 [ g ] S_0[gh]=S_0[hg]=S_0[g] S 0 [ g h ] = S 0 [ h g ] = S 0 [ g ] を満たす。
ここで k > 0 k>0 k > 0 tr \operatorname{tr} tr tr = Tr 2 \operatorname{tr}=\operatorname{Tr}_{\mathbf2} tr = Tr 2 Tr a d / 4 \operatorname{Tr}_{\mathrm{ad}}/4 Tr ad /4 k k k
単位元近傍では A z = i t a ∂ X a + O ( X 2 ) A_z=i t_a\partial X^a+O(X^2) A z = i t a ∂ X a + O ( X 2 ) A z ˉ = i t a ∂ ˉ X a + O ( X 2 ) A_{\bar z}=i t_a\bar\partial X^a+O(X^2) A z ˉ = i t a ∂ ˉ X a + O ( X 2 ) i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1
単位元の近くで、作用が自由ボソンの運動項になる理由 X = X a t a X=X^at_a X = X a t a g = e i X g=e^{iX} g = e i X t a t_a t a X X X d X dX d X
e i X = 1 + i X − 1 2 X 2 + O ( X 3 ) , d ( e i X ) = i d X − 1 2 ( d X X + X d X ) + O ( X 3 ) . e^{iX}=1+iX-\frac12X^2+O(X^3),
\qquad d(e^{iX})=i\,dX-\frac12(dX\,X+X\,dX)+O(X^3). e i X = 1 + i X − 2 1 X 2 + O ( X 3 ) , d ( e i X ) = i d X − 2 1 ( d X X + X d X ) + O ( X 3 ) . 左から e − i X = 1 − i X − 1 2 X 2 + ⋯ e^{-iX}=1-iX-\tfrac12X^2+\cdots e − i X = 1 − i X − 2 1 X 2 + ⋯
e − i X d ( e i X ) = i d X − 1 2 ( d X X + X d X ) + X d X + O ( X 3 ) = i d X + 1 2 [ X , d X ] + O ( X 3 ) . \begin{aligned}
e^{-iX}d(e^{iX})
&=i\,dX-\frac12(dX\,X+X\,dX)+X\,dX+O(X^3)\\
&=i\,dX+\frac12[X,dX]+O(X^3).
\end{aligned} e − i X d ( e i X ) = i d X − 2 1 ( d X X + X d X ) + X d X + O ( X 3 ) = i d X + 2 1 [ X , d X ] + O ( X 3 ) . したがって κ a b : = tr ( t a t b ) \kappa_{ab}:=\operatorname{tr}(t_at_b) κ ab := tr ( t a t b ) i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1
tr ( A z A z ˉ ) = − κ a b ∂ X a ∂ ˉ X b + O ( X 3 ) , S 0 ( 2 ) = k 4 π ∫ d 2 z κ a b ∂ X a ∂ ˉ X b . \operatorname{tr}(A_z{A_{\bar z}})
=-\kappa_{ab}\partial X^a\bar\partial X^b+O(X^3),
\qquad
S_0^{(2)}=\frac{k}{4\pi}\int d^2z\,
\kappa_{ab}\partial X^a\bar\partial X^b. tr ( A z A z ˉ ) = − κ ab ∂ X a ∂ ˉ X b + O ( X 3 ) , S 0 ( 2 ) = 4 π k ∫ d 2 z κ ab ∂ X a ∂ ˉ X b . Hermitian基底ではこの二次形式を正定値に取る。anti-Hermitian基底 T a = i t a T_a=it_a T a = i t a g = e X a T a g=e^{X^aT_a} g = e X a T a − tr ( T a T b ) = κ a b -\operatorname{tr}(T_aT_b)=\kappa_{ab} − tr ( T a T b ) = κ ab i i i
運動方程式
閉じた世界面、または境界で変分が消える場合を考える。変分を同じLie代数へ移した量を η = g − 1 δ g \eta=g^{-1}\delta g η = g − 1 δ g δ g − 1 = − η g − 1 \delta g^{-1}=-\eta g^{-1} δ g − 1 = − η g − 1 δ A z = ∂ η + [ A z , η ] \delta A_z=\partial\eta+[A_z,\eta] δ A z = ∂ η + [ A z , η ] δ A z ˉ = ∂ ˉ η + [ A z ˉ , η ] \delta A_{\bar z}=\bar\partial\eta+[A_{\bar z},\eta] δ A z ˉ = ∂ ˉ η + [ A z ˉ , η ]
δ S 0 = k 4 π ∫ Σ d 2 z tr [ η ( ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z ) ] \delta S_0=\frac{k}{4\pi}\int_\Sigma d^2z\,
\operatorname{tr}\!\left[\eta(\partial A_{\bar z}+\bar\partial A_z)\right] δ S 0 = 4 π k ∫ Σ d 2 z tr [ η ( ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z ) ] を得る。任意の η \eta η
∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z = 0 (PCM) \boxed{\partial{A_{\bar z}}+\bar\partial A_z=0}
\tag{PCM} ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z = 0 ( PCM ) となる。これは二成分の微分の和が零という条件であり、各微分が個別に零だとはまだいえない。
主カイラル模型の運動方程式を、作用の変分から求める Lie代数値の微小変分
η : = g − 1 δ g \eta:=g^{-1}\delta g η := g − 1 δ g を導入する。δ g = g η \delta g=g\eta δ g = g η δ g − 1 = − η g − 1 \delta g^{-1}=-\eta g^{-1} δ g − 1 = − η g − 1
δ A z \displaystyle \delta A_z δ A z = δ ( g − 1 ∂ g ) \displaystyle \delta(g^{-1}\partial g) δ ( g − 1 ∂ g ) = − η A z + g − 1 ∂ ( g η ) \displaystyle -\eta A_z+g^{-1}\partial(g\eta) − η A z + g − 1 ∂ ( g η ) = [ A z , η ] + ∂ η \displaystyle [A_z,\eta]+\partial\eta [ A z , η ] + ∂ η 和の順序を入れ替えれば δ A z = ∂ η + [ A z , η ] \delta A_z=\partial\eta+[A_z,\eta] δ A z = ∂ η + [ A z , η ]
δ A z ˉ = ∂ ˉ η + [ A z ˉ , η ] . \delta{A_{\bar z}}=\bar\partial\eta+[{A_{\bar z}},\eta]. δ A z ˉ = ∂ ˉ η + [ A z ˉ , η ] . したがって
δ S 0 = − k 4 π ∫ Σ d 2 z tr ( δ A z A z ˉ + A z δ A z ˉ ) = − k 4 π ∫ Σ d 2 z tr ( ( ∂ η ) A z ˉ + [ A z , η ] A z ˉ + A z ( ∂ ˉ η ) + A z [ A z ˉ , η ] ) . \begin{aligned}
\delta S_0
&=-\frac{k}{4\pi}\int_\Sigma d^2z\,
\operatorname{tr}(\delta A_z\,{A_{\bar z}}+A_z\,\delta{A_{\bar z}})\\
&=-\frac{k}{4\pi}\int_\Sigma d^2z\,
\operatorname{tr}\Bigl(
(\partial\eta){A_{\bar z}}
+[A_z,\eta]{A_{\bar z}}
+A_z(\bar\partial\eta)
+A_z[{A_{\bar z}},\eta]
\Bigr).
\end{aligned} δ S 0 = − 4 π k ∫ Σ d 2 z tr ( δ A z A z ˉ + A z δ A z ˉ ) = − 4 π k ∫ Σ d 2 z tr ( ( ∂ η ) A z ˉ + [ A z , η ] A z ˉ + A z ( ∂ ˉ η ) + A z [ A z ˉ , η ] ) . 交換子を展開すると、相殺に必要なのは行列を交換する操作ではなくトレースの巡回性である。
tr ( [ A z , η ] A z ˉ ) = tr ( A z η A z ˉ − η A z A z ˉ ) = tr ( η A z ˉ A z − η A z A z ˉ ) , tr ( A z [ A z ˉ , η ] ) = tr ( A z A z ˉ η − A z η A z ˉ ) = tr ( η A z A z ˉ − η A z ˉ A z ) . \begin{aligned}
\operatorname{tr}([A_z,\eta]{A_{\bar z}})
&=\operatorname{tr}(A_z\eta{A_{\bar z}}-\eta A_z{A_{\bar z}})\\
&=\operatorname{tr}(\eta{A_{\bar z}} A_z-\eta A_z{A_{\bar z}}),\\
\operatorname{tr}(A_z[{A_{\bar z}},\eta])
&=\operatorname{tr}(A_z{A_{\bar z}}\eta-A_z\eta{A_{\bar z}})\\
&=\operatorname{tr}(\eta A_z{A_{\bar z}}-\eta{A_{\bar z}} A_z).
\end{aligned} tr ([ A z , η ] A z ˉ ) tr ( A z [ A z ˉ , η ]) = tr ( A z η A z ˉ − η A z A z ˉ ) = tr ( η A z ˉ A z − η A z A z ˉ ) , = tr ( A z A z ˉ η − A z η A z ˉ ) = tr ( η A z A z ˉ − η A z ˉ A z ) . 従って二項は符号が逆になり、
tr ( [ A z , η ] A z ˉ ) = − tr ( η [ A z , A z ˉ ] ) , tr ( A z [ A z ˉ , η ] ) = + tr ( η [ A z , A z ˉ ] ) . \begin{aligned}
\operatorname{tr}([A_z,\eta]{A_{\bar z}})
&=-\operatorname{tr}(\eta[A_z,{A_{\bar z}}]),\\
\operatorname{tr}(A_z[{A_{\bar z}},\eta])
&=+\operatorname{tr}(\eta[A_z,{A_{\bar z}}]).
\end{aligned} tr ([ A z , η ] A z ˉ ) tr ( A z [ A z ˉ , η ]) = − tr ( η [ A z , A z ˉ ]) , = + tr ( η [ A z , A z ˉ ]) . ∂ tr ( η A z ˉ ) = tr ( ( ∂ η ) A z ˉ + η ∂ A z ˉ ) \partial\operatorname{tr}(\eta{A_{\bar z}})=\operatorname{tr}((\partial\eta){A_{\bar z}}+\eta\partial{A_{\bar z}}) ∂ tr ( η A z ˉ ) = tr (( ∂ η ) A z ˉ + η ∂ A z ˉ )
∫ tr ( ( ∂ η ) A z ˉ ) = − ∫ tr ( η ∂ A z ˉ ) , ∫ tr ( A z ∂ ˉ η ) = − ∫ tr ( η ∂ ˉ A z ) . \int\operatorname{tr}((\partial\eta){A_{\bar z}})
=-\int\operatorname{tr}(\eta\partial{A_{\bar z}}),
\qquad
\int\operatorname{tr}(A_z\bar\partial\eta)
=-\int\operatorname{tr}(\eta\bar\partial A_z). ∫ tr (( ∂ η ) A z ˉ ) = − ∫ tr ( η ∂ A z ˉ ) , ∫ tr ( A z ∂ ˉ η ) = − ∫ tr ( η ∂ ˉ A z ) . ここでは世界面が閉じているか、η \eta η
δ S 0 = k 4 π ∫ Σ d 2 z tr [ η ( ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z ) ] . \delta S_0
=\frac{k}{4\pi}\int_\Sigma d^2z\,
\operatorname{tr}\!\left[
\eta\bigl(\partial{A_{\bar z}}+\bar\partial A_z\bigr)
\right]. δ S 0 = 4 π k ∫ Σ d 2 z tr [ η ( ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z ) ] . よって運動方程式は
∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z = 0 . \boxed{
\partial{A_{\bar z}}+\bar\partial A_z=0
}. ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z = 0 . 左右分離を妨げる交換子
Maurer–Cartan恒等式 と運動方程式 (PCM) を連立すると
∂ A z ˉ = − 1 2 [ A z , A z ˉ ] , ∂ ˉ A z = 1 2 [ A z , A z ˉ ] . \partial{A_{\bar z}}=-\frac12[A_z,{A_{\bar z}}],
\qquad \bar\partial A_z=\frac12[A_z,{A_{\bar z}}]. ∂ A z ˉ = − 2 1 [ A z , A z ˉ ] , ∂ ˉ A z = 2 1 [ A z , A z ˉ ] . 一般には交換子が消えないので、主カイラル模型の運動項だけでは自由ボソンの分離を再現できない。可換群なら交換子は零になるが、SU(2)ではその条件を任意の場に課せない。必要なのは、交換子を零と仮定することではなく、運動方程式に現れる交換子を作用の別の寄与で打ち消すことである。
実際、Maurer–Cartan恒等式を使うと、計量項の変分に現れる ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z \partial A_{\bar z}+\bar\partial A_z ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z 2 ∂ A z ˉ + [ A z , A z ˉ ] 2\partial A_{\bar z}+[A_z,A_{\bar z}] 2 ∂ A z ˉ + [ A z , A z ˉ ] − [ A z , A z ˉ ] -[A_z,A_{\bar z}] − [ A z , A z ˉ ] ∂ A z ˉ = 0 \partial A_{\bar z}=0 ∂ A z ˉ = 0 A z A_z A z
曲率とフラックス
左右のカレントが分離しないことは分かった。量子補正を含めた後も、球面の計量だけで共形対称性を保てるだろうか。弦が計量とともに結合する反対称テンソル場も加え、二つの寄与を調べよう。
Kalb–Ramond場との結合
弦の背景場には、計量 G μ ν G_{\mu\nu} G μν
B = 1 2 B μ ν ( X ) d X μ ∧ d X ν B=\frac12B_{\mu\nu}(X)\,dX^\mu\wedge dX^\nu B = 2 1 B μν ( X ) d X μ ∧ d X ν がある。これをKalb–Ramond場、または単に B B B A e m = A μ e m d X μ A^{\mathrm{em}}=A^{\mathrm{em}}_\mu dX^\mu A em = A μ em d X μ
∫ worldline A e m \int_{\text{worldline}}A^{\mathrm{em}} ∫ worldline A em で結合するのに対し、一次元の弦は2形式 B B B
S B = i 2 π α ′ ∫ Σ X ∗ B = i 4 π α ′ ∫ Σ d 2 σ ε α β B μ ν ( X ) ∂ α X μ ∂ β X ν . (B-coupling) S_B
=\frac{i}{2\pi\alpha'}
\int_\Sigma X^*B
=\frac{i}{4\pi\alpha'}
\int_\Sigma d^2\sigma\,
\varepsilon^{\alpha\beta}
B_{\mu\nu}(X)
\partial_\alpha X^\mu
\partial_\beta X^\nu .
\tag{B-coupling} S B = 2 π α ′ i ∫ Σ X ∗ B = 4 π α ′ i ∫ Σ d 2 σ ε α β B μν ( X ) ∂ α X μ ∂ β X ν . ( B-coupling ) ここで α ′ \alpha' α ′ T = 1 / ( 2 π α ′ ) T=1/(2\pi\alpha') T = 1/ ( 2 π α ′ ) ε α β \varepsilon^{\alpha\beta} ε α β X ∗ B X^*B X ∗ B B B B B B B Λ \Lambda Λ
B ⟼ B + d Λ B\longmapsto B+d\Lambda B ⟼ B + d Λ というゲージ対称性があり、閉じた世界面では
∫ Σ X ∗ ( d Λ ) = ∫ Σ d ( X ∗ Λ ) = 0 \int_\Sigma X^*(d\Lambda)
=\int_\Sigma d(X^*\Lambda)
=0 ∫ Σ X ∗ ( d Λ ) = ∫ Σ d ( X ∗ Λ ) = 0 なので作用は変わらない。局所的に意味をもつゲージ不変量は
H : = d B \boxed{H:=dB} H := d B という3形式である。これは電磁気学で A e m A^{\mathrm{em}} A em F = d A e m F=dA^{\mathrm{em}} F = d A em
B B B H = 0 H=0 H = 0 B B B H ≠ 0 H\neq0 H = 0 B B B H H H
曲率とフラックスの釣り合い
量子論では、短い距離の揺らぎを含めると作用中の計量や結合係数が観測尺度に応じて変わりうる。この変化率がベータ関数である。共形対称性を保つには、その流れが止まる背景を選ぶ必要がある。
ここでは、原著第2章のボソニックシグマ模型の1-loop結果（式 (2.14)–(2.15)）を使う。dilaton（弦結合の強さを定める背景スカラー）を一定にすると、量子補正の最初の次数である1-loopでは
β a b G = α ′ ( R a b − 1 4 H a c d H b c d ) + O ( α ′ 2 ) . \beta^G_{ab}=\alpha'\left(R_{ab}-\frac14H_{acd}H_b{}^{cd}\right)+O(\alpha'^2). β ab G = α ′ ( R ab − 4 1 H a c d H b c d ) + O ( α ′2 ) . 導出：球面上の自由場の縮約から、曲率とフラックスの相殺を求める 半径 R R R S 3 S^3 S 3 h h h H = h v o l S R 3 H=h\,\mathrm{vol}_{S^3_R} H = h vol S R 3
これは短距離での1-loop計算であり、α ′ / R 2 ≪ 1 \alpha'/R^2\ll1 α ′ / R 2 ≪ 1 α ′ h 2 ≪ 1 \alpha'h^2\ll1 α ′ h 2 ≪ 1 σ 1 , σ 2 \sigma^1,\sigma^2 σ 1 , σ 2 ε 12 = 1 \varepsilon^{12}=1 ε 12 = 1
二つの相互作用だけを取り出す 背景の写像 X ˉ \bar X X ˉ σ 1 \sigma^1 σ 1 v v v σ 2 \sigma^2 σ 2 ∂ 1 X ˉ a = v δ a 3 \partial_1\bar X^a=v\delta^{a3} ∂ 1 X ˉ a = v δ a 3 ∂ 2 X ˉ a = 0 \partial_2\bar X^a=0 ∂ 2 X ˉ a = 0
背景からの測地線変位を 2 π α ′ ξ a \sqrt{2\pi\alpha'}\,\xi^a 2 π α ′ ξ a ξ a \xi^a ξ a a = 1 , 2 , 3 a=1,2,3 a = 1 , 2 , 3
S f r e e = 1 2 ∫ d 2 σ ∂ α ξ a ∂ α ξ a . S_{\mathrm{free}}=\frac12\int d^2\sigma\,
\partial_\alpha\xi^a\partial_\alpha\xi^a. S free = 2 1 ∫ d 2 σ ∂ α ξ a ∂ α ξ a . 1-loopの有効作用には、揺らぎの二次までの展開が必要になる。球面の断面曲率が 1 / R 2 1/R^2 1/ R 2 H a b c = h ε a b c H_{abc}=h\varepsilon_{abc} H ab c = h ε ab c
S R = − v 2 2 R 2 ∫ d 2 σ [ ( ξ 1 ) 2 + ( ξ 2 ) 2 ] , S H = − i h v 2 ∫ d 2 σ ( ξ 1 ∂ 2 ξ 2 − ξ 2 ∂ 2 ξ 1 ) = − i h v ∫ d 2 σ ξ 1 ∂ 2 ξ 2 . \begin{aligned}
S_R&=-\frac{v^2}{2R^2}\int d^2\sigma\,
\bigl[(\xi^1)^2+(\xi^2)^2\bigr],\\
S_H&=-\frac{ihv}{2}\int d^2\sigma\,
(\xi^1\partial_2\xi^2-\xi^2\partial_2\xi^1)
=-ihv\int d^2\sigma\,\xi^1\partial_2\xi^2.
\end{aligned} S R S H = − 2 R 2 v 2 ∫ d 2 σ [ ( ξ 1 ) 2 + ( ξ 2 ) 2 ] , = − 2 ih v ∫ d 2 σ ( ξ 1 ∂ 2 ξ 2 − ξ 2 ∂ 2 ξ 1 ) = − ih v ∫ d 2 σ ξ 1 ∂ 2 ξ 2 . 最後の等号では部分積分を使った。S R S_R S R S H S_H S H ξ 3 \xi^3 ξ 3
二次の相互作用がこの形になる理由 計量作用の測地線変分では、二次部分が
1 2 ∫ d 2 σ [ ( D α ξ ) 2 − R i a j b ∂ α X ˉ i ∂ α X ˉ j ξ a ξ b ] \frac12\int d^2\sigma\,
\left[(D_\alpha\xi)^2
-R_{iajb}\partial_\alpha\bar X^i\partial_\alpha\bar X^j\xi^a\xi^b\right] 2 1 ∫ d 2 σ [ ( D α ξ ) 2 − R iajb ∂ α X ˉ i ∂ α X ˉ j ξ a ξ b ] となる。D α D_\alpha D α R 3 a 3 b = ( δ a b − δ a 3 δ b 3 ) / R 2 R_{3a3b}=(\delta_{ab}-\delta_{a3}\delta_{b3})/R^2 R 3 a 3 b = ( δ ab − δ a 3 δ b 3 ) / R 2 S R S_R S R
B B B H = d B H=dB H = d B
i 2 ∫ d 2 σ ε α β H a b j ξ a D α ξ b ∂ β X ˉ j + i 4 ∫ d 2 σ ε α β ∇ a H b i j ξ a ξ b ∂ α X ˉ i ∂ β X ˉ j . \frac i2\int d^2\sigma\,
\varepsilon^{\alpha\beta}H_{abj}\xi^aD_\alpha\xi^b\partial_\beta\bar X^j
+\frac i4\int d^2\sigma\,
\varepsilon^{\alpha\beta}\nabla_aH_{bij}\xi^a\xi^b
\partial_\alpha\bar X^i\partial_\beta\bar X^j. 2 i ∫ d 2 σ ε α β H abj ξ a D α ξ b ∂ β X ˉ j + 4 i ∫ d 2 σ ε α β ∇ a H bij ξ a ξ b ∂ α X ˉ i ∂ β X ˉ j . 最初の項は背景の微分を変分した寄与、第二項は H H H h h h H H H ∂ β X ˉ j = v δ β 1 δ j 3 \partial_\beta\bar X^j=v\delta_{\beta1}\delta^{j3} ∂ β X ˉ j = v δ β 1 δ j 3 ε 21 = − 1 \varepsilon^{21}=-1 ε 21 = − 1 S H S_H S H
曲率は一回の縮約で寄与する 自由場の運動量空間の伝播関数は δ a b / p 2 \delta^{ab}/p^2 δ ab / p 2 μ < ∣ p ∣ < Λ \mu<|p|<\Lambda μ < ∣ p ∣ < Λ
⟨ ξ a ξ b ⟩ 0 = δ a b I , I : = ∫ μ < ∣ p ∣ < Λ d 2 p ( 2 π ) 2 p 2 = 1 2 π log Λ μ . \langle\xi^a\xi^b\rangle_0=\delta^{ab}I,
\qquad
I:=\int_{\mu<|p|<\Lambda}\frac{d^2p}{(2\pi)^2p^2}
=\frac1{2\pi}\log\frac\Lambda\mu. ⟨ ξ a ξ b ⟩ 0 = δ ab I , I := ∫ μ < ∣ p ∣ < Λ ( 2 π ) 2 p 2 d 2 p = 2 π 1 log μ Λ . Λ \Lambda Λ μ \mu μ I I I
⟨ S R ⟩ 0 = − v 2 2 R 2 ∫ d 2 σ ( I + I ) = − v 2 I R 2 ∫ d 2 σ . \langle S_R\rangle_0
=-\frac{v^2}{2R^2}\int d^2\sigma\,(I+I)
=-\frac{v^2 I}{R^2}\int d^2\sigma. ⟨ S R ⟩ 0 = − 2 R 2 v 2 ∫ d 2 σ ( I + I ) = − R 2 v 2 I ∫ d 2 σ . ここでの係数 2 2 2
フラックスは二回の縮約で寄与する S H S_H S H ξ 1 , ξ 2 \xi^1,\xi^2 ξ 1 , ξ 2 − log ⟨ e − S H ⟩ 0 -\log\langle e^{-S_H}\rangle_0 − log ⟨ e − S H ⟩ 0
− 1 2 ⟨ S H 2 ⟩ 0 , c -\frac12\langle S_H^2\rangle_{0,c} − 2 1 ⟨ S H 2 ⟩ 0 , c である。添字 c c c
⟨ ( ξ 1 ∂ 2 ξ 2 ) ( σ ) ( ξ 1 ∂ 2 ξ 2 ) ( σ ′ ) ⟩ 0 , c = ⟨ ξ 1 ( σ ) ξ 1 ( σ ′ ) ⟩ 0 ⟨ ∂ 2 ξ 2 ( σ ) ∂ 2 ξ 2 ( σ ′ ) ⟩ 0 . \begin{aligned}
&\langle(\xi^1\partial_2\xi^2)(\sigma)
(\xi^1\partial_2\xi^2)(\sigma')\rangle_{0,c}\\
&\qquad=
\langle\xi^1(\sigma)\xi^1(\sigma')\rangle_0
\langle\partial_2\xi^2(\sigma)\partial_2\xi^2(\sigma')\rangle_0.
\end{aligned} ⟨( ξ 1 ∂ 2 ξ 2 ) ( σ ) ( ξ 1 ∂ 2 ξ 2 ) ( σ ′ ) ⟩ 0 , c = ⟨ ξ 1 ( σ ) ξ 1 ( σ ′ ) ⟩ 0 ⟨ ∂ 2 ξ 2 ( σ ) ∂ 2 ξ 2 ( σ ′ ) ⟩ 0 . 相対位置 σ − σ ′ \sigma-\sigma' σ − σ ′ 1 / ( p 2 ) 2 1/(p^2)^2 1/ ( p 2 ) 2 p 2 2 p_2^2 p 2 2 p 2 2 ↦ p 2 / 2 p_2^2\mapsto p^2/2 p 2 2 ↦ p 2 /2
∫ d 2 p ( 2 π ) 2 p 2 2 ( p 2 ) 2 = I 2 . \int\frac{d^2p}{(2\pi)^2}\frac{p_2^2}{(p^2)^2}
=\frac I2. ∫ ( 2 π ) 2 d 2 p ( p 2 ) 2 p 2 2 = 2 I . 従って
− 1 2 ⟨ S H 2 ⟩ 0 , c = − 1 2 ( − i h v ) 2 I 2 ∫ d 2 σ = h 2 v 2 I 4 ∫ d 2 σ . -\frac12\langle S_H^2\rangle_{0,c}
=-\frac12(-ihv)^2\frac I2\int d^2\sigma
=\frac{h^2v^2I}{4}\int d^2\sigma. − 2 1 ⟨ S H 2 ⟩ 0 , c = − 2 1 ( − ih v ) 2 2 I ∫ d 2 σ = 4 h 2 v 2 I ∫ d 2 σ . Euclid作用の i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 1 / 4 1/4 1/4 1 / 2 ! 1/2! 1/2 ! 1 / 2 1/2 1/2 S R S_R S R
対数発散を計量の走りに読み替える 二つの寄与を足すと、対数発散は
Γ log = − log ( Λ / μ ) 4 π ( 2 R 2 − h 2 2 ) ∫ d 2 σ v 2 . \Gamma_{\log}
=-\frac{\log(\Lambda/\mu)}{4\pi}
\left(\frac2{R^2}-\frac{h^2}2\right)
\int d^2\sigma\,v^2. Γ l o g = − 4 π log ( Λ/ μ ) ( R 2 2 − 2 h 2 ) ∫ d 2 σ v 2 . 球面の対称性により、一般の背景では v 2 v^2 v 2 G i j ∂ α X ˉ i ∂ α X ˉ j G_{ij}\partial_\alpha\bar X^i\partial_\alpha\bar X^j G ij ∂ α X ˉ i ∂ α X ˉ j 1 / ( 4 π α ′ ) 1/(4\pi\alpha') 1/ ( 4 π α ′ )
G i j 0 = G i j ( μ ) + α ′ log Λ μ ( 2 R 2 − h 2 2 ) G i j ( μ ) . G^0_{ij}=G_{ij}(\mu)
+\alpha'\log\frac\Lambda\mu
\left(\frac2{R^2}-\frac{h^2}2\right)G_{ij}(\mu). G ij 0 = G ij ( μ ) + α ′ log μ Λ ( R 2 2 − 2 h 2 ) G ij ( μ ) . G 0 G^0 G 0 Λ \Lambda Λ log μ \log\mu log μ R , h , G R,h,G R , h , G
β i j G : = μ d G i j d μ = α ′ ( 2 R 2 − h 2 2 ) G i j + O ( α ′ 2 ) . \boxed{
\beta^G_{ij}:=\mu\frac{dG_{ij}}{d\mu}
=\alpha'\left(\frac2{R^2}-\frac{h^2}2\right)G_{ij}
+O(\alpha'^2).
} β ij G := μ d μ d G ij = α ′ ( R 2 2 − 2 h 2 ) G ij + O ( α ′2 ) . 従って h = ± 2 / R h=\pm2/R h = ± 2/ R R i j = 2 G i j / R 2 R_{ij}=2G_{ij}/R^2 R ij = 2 G ij / R 2 H i a b H j a b = 2 h 2 G i j H_{iab}H_j{}^{ab}=2h^2G_{ij} H iab H j ab = 2 h 2 G ij α ′ ( R i j − H i a b H j a b / 4 ) \alpha'(R_{ij}-H_{iab}H_j{}^{ab}/4) α ′ ( R ij − H iab H j ab /4 )
B B B 反対称な結合の補正を見るには、背景の二方向の微分を保って、上に示した ∇ H \nabla H ∇ H ⟨ ξ a ξ b ⟩ 0 = δ a b I \langle\xi^a\xi^b\rangle_0=\delta^{ab}I ⟨ ξ a ξ b ⟩ 0 = δ ab I
Γ B , log = i I 4 ∫ d 2 σ ε α β ∇ a H a i j ∂ α X ˉ i ∂ β X ˉ j . \Gamma_{B,\log}
=\frac{iI}{4}\int d^2\sigma\,
\varepsilon^{\alpha\beta}\nabla^aH_{aij}
\partial_\alpha\bar X^i\partial_\beta\bar X^j. Γ B , l o g = 4 i I ∫ d 2 σ ε α β ∇ a H aij ∂ α X ˉ i ∂ β X ˉ j . 計量の場合と同じく、元の B B B i / ( 4 π α ′ ) i/(4\pi\alpha') i / ( 4 π α ′ )
β i j B = − α ′ 2 ∇ a H a i j + O ( α ′ 2 ) . \beta^B_{ij}=-\frac{\alpha'}2\nabla^aH_{aij}+O(\alpha'^2). β ij B = − 2 α ′ ∇ a H aij + O ( α ′2 ) . 今回の H = h v o l S R 3 H=h\,\mathrm{vol}_{S^3_R} H = h vol S R 3 ∇ H = 0 \nabla H=0 ∇ H = 0 β B \beta^B β B h 2 = 4 / R 2 h^2=4/R^2 h 2 = 4/ R 2 k k k
この計算の自由場の縮約は、短距離OPEを積分する計算でもある。曲率の項は一つの複合演算子の正規順序化から、H 2 H^2 H 2
二次の背景場展開の参照：Bonezzi–Codina–Hohm、§3.2–3.3と式 (4.49) 。ここではその局所頂点を丸い S 3 S^3 S 3
ここで R a b R_{ab} R ab G G G G G G R a b = 2 G a b / R 2 R_{ab}=2G_{ab}/R^2 R ab = 2 G ab / R 2 H = 0 H=0 H = 0 R R R
S U ( 2 ) ≃ S 3 SU(2)\simeq S^3 S U ( 2 ) ≃ S 3 d s u n i t 2 = − 1 2 tr ( g − 1 d g ) 2 ds^2_{\mathrm{unit}}=-\tfrac12\operatorname{tr}(g^{-1}dg)^2 d s unit 2 = − 2 1 tr ( g − 1 d g ) 2 R R R R 2 R^2 R 2 S G = ( 4 π α ′ ) − 1 ∫ d 2 σ G μ ν ∂ α X μ ∂ α X ν S_G=(4\pi\alpha')^{-1}\int d^2\sigma\,G_{\mu\nu}\partial_\alpha X^\mu\partial_\alpha X^\nu S G = ( 4 π α ′ ) − 1 ∫ d 2 σ G μν ∂ α X μ ∂ α X ν
S G = − R 2 4 π α ′ ∫ d 2 z tr ( A z A z ˉ ) S_G=-\frac{R^2}{4\pi\alpha'}\int d^2z\,\operatorname{tr}(A_zA_{\bar z}) S G = − 4 π α ′ R 2 ∫ d 2 z tr ( A z A z ˉ ) となる。作用 (6.1) と係数を比較すると
R 2 = k α ′ , ℓ s = α ′ , R / ℓ s = k . (radius-level) \boxed{R^2=k\alpha'},\qquad \ell_s=\sqrt{\alpha'},\qquad R/\ell_s=\sqrt{k}.
\tag{radius-level} R 2 = k α ′ , ℓ s = α ′ , R / ℓ s = k . ( radius-level ) つまり、k k k
作用の係数 k k k R 2 = k α ′ R^2=k\alpha' R 2 = k α ′ Pauli行列を用いて g = y 0 1 + i y a σ a g=y^0\mathbf1+i y^a\sigma_a g = y 0 1 + i y a σ a ( y 0 ) 2 + ∑ a ( y a ) 2 = 1 (y^0)^2+\sum_a(y^a)^2=1 ( y 0 ) 2 + ∑ a ( y a ) 2 = 1 σ a σ b = δ a b 1 + i ε a b c σ c \sigma_a\sigma_b=\delta_{ab}\mathbf1+i\varepsilon_{abc}\sigma_c σ a σ b = δ ab 1 + i ε ab c σ c y 0 d y 0 + y a d y a = 0 y^0dy^0+y^ady^a=0 y 0 d y 0 + y a d y a = 0
g − 1 d g = i σ a e a , e a = y 0 d y a − y a d y 0 + ε a b c y b d y c . g^{-1}dg=i\sigma_a e^a,
\qquad e^a=y^0dy^a-y^ady^0+\varepsilon_{abc}y^bdy^c. g − 1 d g = i σ a e a , e a = y 0 d y a − y a d y 0 + ε ab c y b d y c . y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) \boldsymbol y=(y^1,y^2,y^3) y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) y × d y \boldsymbol y\times d\boldsymbol y y × d y y \boldsymbol y y d y d\boldsymbol y d y
∑ a ( e a ) 2 = ( y 0 ) 2 ∣ d y ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 ( d y 0 ) 2 − 2 y 0 d y 0 y ⋅ d y + ∣ y × d y ∣ 2 = ∣ d y ∣ 2 + ( d y 0 ) 2 . \begin{aligned}
\sum_a(e^a)^2
&=(y^0)^2|d\boldsymbol y|^2+|\boldsymbol y|^2(dy^0)^2
-2y^0dy^0\,\boldsymbol y\cdot d\boldsymbol y
+|\boldsymbol y\times d\boldsymbol y|^2\\
&=|d\boldsymbol y|^2+(dy^0)^2.
\end{aligned} a ∑ ( e a ) 2 = ( y 0 ) 2 ∣ d y ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 ( d y 0 ) 2 − 2 y 0 d y 0 y ⋅ d y + ∣ y × d y ∣ 2 = ∣ d y ∣ 2 + ( d y 0 ) 2 . 最後に ∣ y × d y ∣ 2 = ∣ y ∣ 2 ∣ d y ∣ 2 − ( y ⋅ d y ) 2 |\boldsymbol y\times d\boldsymbol y|^2=|\boldsymbol y|^2|d\boldsymbol y|^2-(\boldsymbol y\cdot d\boldsymbol y)^2 ∣ y × d y ∣ 2 = ∣ y ∣ 2 ∣ d y ∣ 2 − ( y ⋅ d y ) 2 y ⋅ d y = − y 0 d y 0 \boldsymbol y\cdot d\boldsymbol y=-y^0dy^0 y ⋅ d y = − y 0 d y 0 tr ( σ a σ b ) = 2 δ a b \operatorname{tr}(\sigma_a\sigma_b)=2\delta_{ab} tr ( σ a σ b ) = 2 δ ab
d s u n i t 2 = ∑ a ( e a ) 2 = − 1 2 tr ( g − 1 d g g − 1 d g ) , d s 2 = R 2 d s u n i t 2 . ds_{\mathrm{unit}}^2=\sum_a(e^a)^2
=-\frac12\operatorname{tr}(g^{-1}dg\,g^{-1}dg),
\qquad ds^2=R^2ds_{\mathrm{unit}}^2. d s unit 2 = a ∑ ( e a ) 2 = − 2 1 tr ( g − 1 d g g − 1 d g ) , d s 2 = R 2 d s unit 2 . 係数を比較するため、複素座標の積分規約も固定する。z = σ 1 − i σ 2 z=\sigma^1-i\sigma^2 z = σ 1 − i σ 2 ∂ = ( ∂ 1 + i ∂ 2 ) / 2 \partial=(\partial_1+i\partial_2)/2 ∂ = ( ∂ 1 + i ∂ 2 ) /2 ∂ ˉ = ( ∂ 1 − i ∂ 2 ) / 2 \bar\partial=(\partial_1-i\partial_2)/2 ∂ ˉ = ( ∂ 1 − i ∂ 2 ) /2 d 2 z = 2 d σ 1 d σ 2 d^2z=2d\sigma^1d\sigma^2 d 2 z = 2 d σ 1 d σ 2 G G G
G μ ν ∂ X μ ∂ ˉ X ν = 1 4 G μ ν ( ∂ 1 X μ ∂ 1 X ν + ∂ 2 X μ ∂ 2 X ν ) . G_{\mu\nu}\partial X^\mu\bar\partial X^\nu
=\frac14G_{\mu\nu}
\left(\partial_1X^\mu\partial_1X^\nu+\partial_2X^\mu\partial_2X^\nu\right). G μν ∂ X μ ∂ ˉ X ν = 4 1 G μν ( ∂ 1 X μ ∂ 1 X ν + ∂ 2 X μ ∂ 2 X ν ) . ここで A z : = g − 1 ∂ g A_z:=g^{-1}\partial g A z := g − 1 ∂ g A z ˉ : = g − 1 ∂ ˉ g {A_{\bar z}}:=g^{-1}\bar\partial g A z ˉ := g − 1 ∂ ˉ g
S G = 1 4 π α ′ ∫ d σ 1 d σ 2 G μ ν ∑ α = 1 2 ∂ α X μ ∂ α X ν = 1 2 π α ′ ∫ d 2 z G μ ν ∂ X μ ∂ ˉ X ν = − R 2 4 π α ′ ∫ d 2 z tr ( A z A z ˉ ) . \begin{aligned}
S_G&=\frac{1}{4\pi\alpha'}\int d\sigma^1d\sigma^2\,
G_{\mu\nu}\sum_{\alpha=1}^2\partial_\alpha X^\mu\partial_\alpha X^\nu\\
&=\frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2z\,G_{\mu\nu}\partial X^\mu\bar\partial X^\nu\\
&=-\frac{R^2}{4\pi\alpha'}\int d^2z\,\operatorname{tr}(A_z{A_{\bar z}}).
\end{aligned} S G = 4 π α ′ 1 ∫ d σ 1 d σ 2 G μν α = 1 ∑ 2 ∂ α X μ ∂ α X ν = 2 π α ′ 1 ∫ d 2 z G μν ∂ X μ ∂ ˉ X ν = − 4 π α ′ R 2 ∫ d 2 z tr ( A z A z ˉ ) . 式 (6.1) の係数 − k / ( 4 π ) -k/(4\pi) − k / ( 4 π ) R 2 / α ′ = k R^2/\alpha'=k R 2 / α ′ = k k \sqrt{k} k k k k
球面の左右移動の対称性を保つ3形式は体積形式の定数倍なので、H = h v o l S R 3 H=h\,\mathrm{vol}_{S^3_R} H = h vol S R 3 h h h H a b c = h ε a b c H_{abc}=h\varepsilon_{abc} H ab c = h ε ab c ∑ c , d ε a c d ε b c d = 2 δ a b \sum_{c,d}\varepsilon_{acd}\varepsilon_{bcd}=2\delta_{ab} ∑ c , d ε a c d ε b c d = 2 δ ab
H a c d H b c d = 2 h 2 G a b , β a b G = α ′ ( 2 R 2 − h 2 2 ) G a b + O ( α ′ 2 ) . H_{acd}H_b{}^{cd}=2h^2G_{ab},\qquad
\beta^G_{ab}=\alpha'\left(\frac2{R^2}-\frac{h^2}2\right)G_{ab}+O(\alpha'^2). H a c d H b c d = 2 h 2 G ab , β ab G = α ′ ( R 2 2 − 2 h 2 ) G ab + O ( α ′2 ) . 従って曲率とフラックスの寄与が釣り合う条件は
H = h v o l S R 3 , h = ± 2 R \boxed{H=h\,\mathrm{vol}_{S^3_R},\qquad h=\pm\frac2R} H = h vol S R 3 , h = ± R 2 となる。同じシグマ模型の結果を B B B β a b B = − α ′ ∇ c H c a b / 2 + O ( α ′ 2 ) \beta^B_{ab}=-\alpha'\nabla^cH_{cab}/2+O(\alpha'^2) β ab B = − α ′ ∇ c H c ab /2 + O ( α ′2 ) ∇ \nabla ∇ G G G h h h H = h v o l S R 3 H=h\,\mathrm{vol}_{S^3_R} H = h vol S R 3 ∇ H = 0 \nabla H=0 ∇ H = 0 β B \beta^B β B h = 2 / R h=2/R h = 2/ R
この1-loop近似の小さなパラメータは α ′ / R 2 = 1 / k \alpha'/R^2=1/k α ′ / R 2 = 1/ k k k k k k k
フラックスの強さを 2 / R 2/R 2/ R 上で導いたボソニックシグマ模型の1-loop結果を球面に適用する。dilaton Φ \Phi Φ
β a b G = α ′ ( R a b − 1 4 H a c d H b c d ) + O ( α ′ 2 ) \beta^G_{ab}
=\alpha'\left(
R_{ab}-\frac14H_{acd}H_b{}^{cd}
\right)
+O(\alpha'^2) β ab G = α ′ ( R ab − 4 1 H a c d H b c d ) + O ( α ′2 ) である。H = d B H=dB H = d B B B B
半径 R R R n n n R a b = ( n − 1 ) G a b / R 2 R_{ab}=(n-1)G_{ab}/R^2 R ab = ( n − 1 ) G ab / R 2 n = 3 n=3 n = 3
R a b = 2 R 2 G a b . R_{ab}=\frac{2}{R^2}G_{ab}. R ab = R 2 2 G ab . H = 0 H=0 H = 0
H = h v o l S 3 H=h\,\mathrm{vol}_{S^3} H = h vol S 3 と置く。直交フレームでは H a b c = h ε a b c H_{abc}=h\varepsilon_{abc} H ab c = h ε ab c
H a c d H b c d = h 2 ε a c d ε b c d = 2 h 2 G a b . H_{acd}H_b{}^{cd}
=h^2\varepsilon_{acd}\varepsilon_b{}^{cd}
=2h^2G_{ab}. H a c d H b c d = h 2 ε a c d ε b c d = 2 h 2 G ab . 縮約の係数2を確認する。直交フレームで a = b = 1 a=b=1 a = b = 1 ( c , d ) = ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) (c,d)=(2,3),(3,2) ( c , d ) = ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 ) ε 1 c d 2 = 1 \varepsilon_{1cd}^2=1 ε 1 c d 2 = 1 a ≠ b a\neq b a = b ( c , d ) (c,d) ( c , d ) ∑ c , d ε a c d ε b c d = 2 δ a b \sum_{c,d}\varepsilon_{acd}\varepsilon_{bcd}=2\delta_{ab} ∑ c , d ε a c d ε b c d = 2 δ ab 2 G a b 2G_{ab} 2 G ab
したがって
β a b G ∝ ( 2 R 2 − h 2 2 ) G a b , \beta^G_{ab}
\propto
\left(
\frac{2}{R^2}-\frac{h^2}{2}
\right)G_{ab}, β ab G ∝ ( R 2 2 − 2 h 2 ) G ab , となり、1-loopの計量ベータ関数が消える条件は
h 2 = 4 R 2 \boxed{
h^2=\frac{4}{R^2}
} h 2 = R 2 4 である。
B B B
β a b B = − α ′ 2 ∇ c H c a b + O ( α ′ 2 ) \beta^B_{ab}
=-\frac{\alpha'}{2}\nabla^cH_{cab}
+O(\alpha'^2) β ab B = − 2 α ′ ∇ c H c ab + O ( α ′2 ) である。∇ \nabla ∇ G G G H = h v o l S 3 H=h\,\mathrm{vol}_{S^3} H = h vol S 3 h h h
∇ c H c a b = 0. \nabla^cH_{cab}=0. ∇ c H c ab = 0. したがって、この背景は h 2 = 4 / R 2 h^2=4/R^2 h 2 = 4/ R 2 B B B
球面の体積形式はSU(2)の左右移動で不変なので、選んだフラックスもこの対称性を保つ。式 (6.1) の係数は半径を定め、曲率との釣り合いがフラックスの大きさを定める。次に、このフラックスと弦の結合を作用に組み込む。
この議論が直接確認するのは、計量と B B B
Wess–Zumino項とレベル量子化
曲率と釣り合うフラックス H = ( 2 / R ) v o l S R 3 H=(2/R)\mathrm{vol}_{S^3_R} H = ( 2/ R ) vol S R 3 H = d B H=dB H = d B S B , E = i 2 π α ′ ∫ Σ g ∗ B S_{B,E}=\frac{i}{2\pi\alpha'}\int_\Sigma g^*B S B , E = 2 π α ′ i ∫ Σ g ∗ B ∫ S 3 H ≠ 0 \int_{S^3}H\neq0 ∫ S 3 H = 0 B B B S 3 S^3 S 3 ∫ S 3 H = ∫ S 3 d B = 0 \int_{S^3}H=\int_{S^3}dB=0 ∫ S 3 H = ∫ S 3 d B = 0
そこで、世界面 Σ \Sigma Σ M M M g ~ : M → S U ( 2 ) \widetilde g:M\to SU(2) g : M → S U ( 2 ) g ~ ∣ Σ = g \widetilde g|_\Sigma=g g ∣ Σ = g B B B g ~ ( M ) \widetilde g(M) g ( M ) g ~ = g \widetilde g=g g = g
∫ Σ g ∗ B = ∫ ∂ M g ~ ∗ B = ∫ M d ( g ~ ∗ B ) = ∫ M g ~ ∗ H \int_\Sigma g^*B
=\int_{\partial M}\widetilde g^{\,*}B
=\int_M d(\widetilde g^{\,*}B)
=\int_M\widetilde g^{\,*}H ∫ Σ g ∗ B = ∫ ∂ M g ∗ B = ∫ M d ( g ∗ B ) = ∫ M g ∗ H となる。中央の等号は M M M d ( g ~ ∗ B ) = g ~ ∗ ( d B ) d(\widetilde g^{\,*}B)=\widetilde g^{\,*}(dB) d ( g ∗ B ) = g ∗ ( d B ) H = d B H=dB H = d B H H H
S W Z , E [ g ; M , g ~ ] : = i 2 π α ′ ∫ M g ~ ∗ H S_{\mathrm{WZ},E}[g;M,\widetilde g]
:=\frac{i}{2\pi\alpha'}\int_M\widetilde g^{\,*}H S WZ , E [ g ; M , g ] := 2 π α ′ i ∫ M g ∗ H と定義する。これがWess–Zumino項である。ここでは閉じた向き付け可能な世界面を扱い、そのような曲面が三次元多様体の境界になるという位相の結果を使う。
さらに、S 3 S^3 S 3 π 1 ( S 3 ) = π 2 ( S 3 ) = 0 \pi_1(S^3)=\pi_2(S^3)=0 π 1 ( S 3 ) = π 2 ( S 3 ) = 0 g g g Σ × [ 0 , 1 ] \Sigma\times[0,1] Σ × [ 0 , 1 ] g g g
三次元への延長は補助的な選択なので、同じ世界面の場 g g g この条件を調べるため、二つの拡張の作用を引き算する。共通の境界上では場が一致するので、第2の拡張の向きを反転して貼り合わせると、境界が消えた三次元多様体 N N N g ^ : N → S 3 \widehat g:N\to S^3 g : N → S 3 N N N
図は Σ = S 2 \Sigma=S^2 Σ = S 2 B 3 B^3 B 3 N = S 3 N=S^3 N = S 3 N N N N N N S 3 S^3 S 3 n n n n n n
Δ S E = i 2 π α ′ ∫ N g ^ ∗ H = i n 2 π α ′ ∫ S 3 H , n ∈ Z . \Delta S_E
=\frac{i}{2\pi\alpha'}\int_N\widehat g^{\,*}H
=\frac{i n}{2\pi\alpha'}\int_{S^3}H,
\qquad n\in\mathbb Z. Δ S E = 2 π α ′ i ∫ N g ∗ H = 2 π α ′ in ∫ S 3 H , n ∈ Z . この公式は、向きを保つ枝の + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1
丸い三次元球面の体積公式 Vol ( S R 3 ) = 2 π 2 R 3 \operatorname{Vol}(S^3_R)=2\pi^2R^3 Vol ( S R 3 ) = 2 π 2 R 3 H = ( 2 / R ) v o l S R 3 H=(2/R)\mathrm{vol}_{S^3_R} H = ( 2/ R ) vol S R 3 R 2 = k α ′ R^2=k\alpha' R 2 = k α ′
∫ S 3 H = 2 R 2 π 2 R 3 = 4 π 2 α ′ k . \int_{S^3}H
=\frac2R\,2\pi^2R^3
=4\pi^2\alpha' k. ∫ S 3 H = R 2 2 π 2 R 3 = 4 π 2 α ′ k . したがって Δ S E = 2 π i k n \Delta S_E=2\pi i k n Δ S E = 2 πikn e − S E e^{-S_E} e − S E e − 2 π i k n e^{-2\pi i k n} e − 2 πikn n = 1 n=1 n = 1 B 3 / ∂ B 3 B^3/\partial B^3 B 3 / ∂ B 3 S 3 S^3 S 3 g g g e − 2 π i k = 1 e^{-2\pi i k}=1 e − 2 πik = 1 k ∈ Z k\in\mathbb Z k ∈ Z k k k n n n
1 4 π 2 α ′ ∫ S 3 H = R 2 α ′ = k ∈ Z . (H-flux) \boxed{
\frac1{4\pi^2\alpha'}\int_{S^3}H
=\frac{R^2}{\alpha'}=k\in\mathbb Z.
}
\tag{H-flux} 4 π 2 α ′ 1 ∫ S 3 H = α ′ R 2 = k ∈ Z . ( H-flux ) これがレベル量子化である。作用には 2 π i 2\pi i 2 πi n n n δ Δ S E = 0 \delta\Delta S_E=0 δ Δ S E = 0 k > 0 k>0 k > 0
次に作用を変分できるよう、H H H g − 1 d g = i σ a e a g^{-1}dg=i\sigma_a e^a g − 1 d g = i σ a e a e a e^a e a tr ( g − 1 d g ) 3 = 12 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 = 12 v o l S u n i t 3 \operatorname{tr}(g^{-1}dg)^3=12\,e^1\wedge e^2\wedge e^3=12\,\mathrm{vol}_{S^3_{\mathrm{unit}}} tr ( g − 1 d g ) 3 = 12 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 = 12 vol S unit 3 H = ( 2 / R ) v o l S R 3 = 2 R 2 v o l S u n i t 3 H=(2/R)\mathrm{vol}_{S^3_R}=2R^2\mathrm{vol}_{S^3_{\mathrm{unit}}} H = ( 2/ R ) vol S R 3 = 2 R 2 vol S unit 3
g ~ ∗ H = k α ′ 6 tr ( ( g ~ − 1 d g ~ ) 3 ) \widetilde g^{\,*}H
=\frac{k\alpha'}6
\operatorname{tr}\!\left((\widetilde g^{-1}d\widetilde g)^3\right) g ∗ H = 6 k α ′ tr ( ( g − 1 d g ) 3 ) となる。三乗は行列の積と1形式の外積を同時に取る記号である。これをWess–Zumino項に代入すると、全作用は
S E [ g ; M , g ~ ] = S 0 , E [ g ] + i k 12 π ∫ M tr ( ( g ~ − 1 d g ~ ) 3 ) . (6.2) \boxed{
S_E[g;M,\widetilde g]
=S_{0,E}[g]+\frac{ik}{12\pi}
\int_M\operatorname{tr}\!\left((\widetilde g^{-1}d\widetilde g)^3\right)
}.
\tag{6.2} S E [ g ; M , g ] = S 0 , E [ g ] + 12 π ik ∫ M tr ( ( g − 1 d g ) 3 ) . ( 6.2 ) 次節ではこの作用の変分から、左右のカレントが独立に保存されることを導く。
π 1 ( S 3 ) = π 2 ( S 3 ) = 0 \pi_1(S^3)=\pi_2(S^3)=0 π 1 ( S 3 ) = π 2 ( S 3 ) = 0 世界面を頂点・辺・面に分ける。S 3 S^3 S 3 π 1 ( S 3 ) = 0 \pi_1(S^3)=0 π 1 ( S 3 ) = 0 π 2 ( S 3 ) = 0 \pi_2(S^3)=0 π 2 ( S 3 ) = 0 g g g Σ × [ 0 , 1 ] \Sigma\times[0,1] Σ × [ 0 , 1 ] g g g
トレースの積分が 24 π 2 n 24\pi^2n 24 π 2 n 単位球面のMaurer–Cartan形式を i σ a e a i\sigma_a e^a i σ a e a σ a \sigma_a σ a e a e^a e a tr ( σ a σ b σ c ) = 2 i ε a b c \operatorname{tr}(\sigma_a\sigma_b\sigma_c)=2i\varepsilon_{abc} tr ( σ a σ b σ c ) = 2 i ε ab c
tr ( ( i σ a e a ) 3 ) = 2 ε a b c e a ∧ e b ∧ e c = 12 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 . \operatorname{tr}\bigl((i\sigma_a e^a)^3\bigr)
=2\varepsilon_{abc}e^a\wedge e^b\wedge e^c
=12\,e^1\wedge e^2\wedge e^3. tr ( ( i σ a e a ) 3 ) = 2 ε ab c e a ∧ e b ∧ e c = 12 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 . 向きは e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 e^1\wedge e^2\wedge e^3 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 R R R R 3 R^3 R 3 H = ( 2 / R ) v o l S R 3 H=(2/R)\mathrm{vol}_{S^3_R} H = ( 2/ R ) vol S R 3 H = 2 R 2 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 H=2R^2e^1\wedge e^2\wedge e^3 H = 2 R 2 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 12 12 12 2 R 2 / 12 = R 2 / 6 = k α ′ / 6 2R^2/12=R^2/6=k\alpha'/6 2 R 2 /12 = R 2 /6 = k α ′ /6 g ~ \widetilde g g
また ∫ S 3 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 = 2 π 2 \int_{S^3}e^1\wedge e^2\wedge e^3=2\pi^2 ∫ S 3 e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 = 2 π 2 n n n 24 π 2 n 24\pi^2n 24 π 2 n (6.2) からも Δ S E = ( i k / 12 π ) 24 π 2 n = 2 π i k n \Delta S_E=(ik/12\pi)24\pi^2n=2\pi i k n Δ S E = ( ik /12 π ) 24 π 2 n = 2 πikn
運動方程式とカイラル対称性
Wess–Zumino項を作用に組み込めた。これが主カイラル模型に残った交換子を消すか、同じ群値場 g g g A = g − 1 d g {A}=g^{-1}dg A = g − 1 d g η = g − 1 δ g \eta=g^{-1}\delta g η = g − 1 δ g g ~ \widetilde g g
A ~ : = g ~ − 1 d g ~ , η ~ : = g ~ − 1 δ g ~ , A ~ ∣ Σ = A , η ~ ∣ Σ = η . \widetilde{A}:=\widetilde g^{-1}d\widetilde g,
\qquad
\widetilde\eta:=\widetilde g^{-1}\delta\widetilde g,
\qquad
\widetilde{A}|_\Sigma={A},\quad
\widetilde\eta|_\Sigma=\eta. A := g − 1 d g , η := g − 1 δ g , A ∣ Σ = A , η ∣ Σ = η . チルダは三次元領域上の量を表し、境界への引き戻しが世界面上の量になる。この対応のもとで、δ A ~ = d η ~ + [ A ~ , η ~ ] \delta\widetilde A=d\widetilde\eta+[\widetilde A,\widetilde\eta] δ A = d η + [ A , η ] d ( A ~ 2 ) = 0 d(\widetilde A^2)=0 d ( A 2 ) = 0
δ tr ( A ~ 3 ) = 3 d tr ( η ~ A ~ 2 ) . \delta\operatorname{tr}(\widetilde{A}^3)
=3d\operatorname{tr}(\widetilde\eta\,\widetilde{A}^2). δ tr ( A 3 ) = 3 d tr ( η A 2 ) . 従ってStokesの定理により、作用の変分は三次元領域の境界 Σ \Sigma Σ A = A z d z + A z ˉ d z ˉ {A}=A_z\,dz+{A_{\bar z}}\,d\bar z A = A z d z + A z ˉ d z ˉ A 2 = [ A z , A z ˉ ] d z ∧ d z ˉ {A}^2=[A_z,{A_{\bar z}}]dz\wedge d\bar z A 2 = [ A z , A z ˉ ] d z ∧ d z ˉ (6.2) の係数と向き d z ∧ d z ˉ = i d 2 z dz\wedge d\bar z=i\,d^2z d z ∧ d z ˉ = i d 2 z
δ S W Z , E = i k 4 π ∫ Σ tr ( η A 2 ) = − k 4 π ∫ Σ d 2 z tr ( η [ A z , A z ˉ ] ) . \delta S_{\mathrm{WZ},E}
=\frac{ik}{4\pi}\int_\Sigma\operatorname{tr}(\eta{A}^2)
=-\frac{k}{4\pi}\int_\Sigma d^2z\,
\operatorname{tr}(\eta[A_z,{A_{\bar z}}]). δ S WZ , E = 4 π ik ∫ Σ tr ( η A 2 ) = − 4 π k ∫ Σ d 2 z tr ( η [ A z , A z ˉ ]) . こうして得た交換子の項を、計量項の変分と合わせる。反正則なカレントを得るには、運動方程式を ∂ A z ˉ = 0 \partial{A_{\bar z}}=0 ∂ A z ˉ = 0 ∂ ˉ A z = ∂ A z ˉ + [ A z , A z ˉ ] \bar\partial A_z=\partial{A_{\bar z}}+[A_z,{A_{\bar z}}] ∂ ˉ A z = ∂ A z ˉ + [ A z , A z ˉ ] [ A z , A z ˉ ] [A_z,{A_{\bar z}}] [ A z , A z ˉ ] − [ A z , A z ˉ ] -[A_z,{A_{\bar z}}] − [ A z , A z ˉ ] A z = g − 1 ∂ g A_z=g^{-1}\partial g A z = g − 1 ∂ g A z ˉ = g − 1 ∂ ˉ g {A_{\bar z}}=g^{-1}\bar\partial g A z ˉ = g − 1 ∂ ˉ g
∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] = 2 ∂ A z ˉ . \partial{A_{\bar z}}+\bar\partial A_z-[A_z,{A_{\bar z}}]=2\partial{A_{\bar z}}. ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] = 2 ∂ A z ˉ . 最後の等号はMaurer–Cartan恒等式による。従って運動方程式は
∂ ( g − 1 ∂ ˉ g ) = 0 . (6.3) \boxed{\partial(g^{-1}\bar\partial g)=0}.
\tag{6.3} ∂ ( g − 1 ∂ ˉ g ) = 0 . ( 6.3 ) Wess–Zumino項の相対係数が、左右の運動を結び付けていた交換子をちょうど消すため、このカイラルな形になる。
3形式の変分から、交換子の相殺までを追う 三次元内部で A ~ = g ~ − 1 d g ~ \widetilde{A}=\widetilde g^{-1}d\widetilde g A = g − 1 d g η ~ = g ~ − 1 δ g ~ \widetilde\eta=\widetilde g^{-1}\delta\widetilde g η = g − 1 δ g
δ A ~ = d η ~ + [ A ~ , η ~ ] . \delta\widetilde{A}=d\widetilde\eta+[\widetilde{A},\widetilde\eta]. δ A = d η + [ A , η ] . η ~ \widetilde\eta η ( − 1 ) 1 ⋅ 2 = 1 (-1)^{1\cdot2}=1 ( − 1 ) 1 ⋅ 2 = 1 d ( A ~ 2 ) = 0 d(\widetilde{A}^2)=0 d ( A 2 ) = 0
δ tr ( A ~ 3 ) = 3 tr ( d η ~ A ~ 2 ) = 3 d tr ( η ~ A ~ 2 ) . \delta\operatorname{tr}(\widetilde{A}^3)
=3\operatorname{tr}(d\widetilde\eta\,\widetilde{A}^2)
=3d\operatorname{tr}(\widetilde\eta\,\widetilde{A}^2). δ tr ( A 3 ) = 3 tr ( d η A 2 ) = 3 d tr ( η A 2 ) . 積には外積を含む。これが全微分になるため、三次元積分の変分はStokesの定理で世界面上の積分になる。Euclid作用 (6.2) の係数と、冒頭で固定した向き d z ∧ d z ˉ = i d 2 z dz\wedge d\bar z=i\,d^2z d z ∧ d z ˉ = i d 2 z
δ S W Z , E = i k 4 π ∫ Σ tr ( η A 2 ) = − k 4 π ∫ Σ d 2 z tr ( η [ A z , A z ˉ ] ) . \begin{aligned}
\delta S_{\mathrm{WZ},E}
&=\frac{ik}{4\pi}\int_\Sigma\operatorname{tr}(\eta{A}^2)\\
&=-\frac{k}{4\pi}\int_\Sigma d^2z\,
\operatorname{tr}(\eta[A_z,{A_{\bar z}}]).
\end{aligned} δ S WZ , E = 4 π ik ∫ Σ tr ( η A 2 ) = − 4 π k ∫ Σ d 2 z tr ( η [ A z , A z ˉ ]) . ここでは A 2 = [ A z , A z ˉ ] d z ∧ d z ˉ {A}^2=[A_z,{A_{\bar z}}]dz\wedge d\bar z A 2 = [ A z , A z ˉ ] d z ∧ d z ˉ
δ S E = k 4 π ∫ Σ d 2 z tr [ η ( ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] ) ] . \delta S_E=\frac{k}{4\pi}\int_\Sigma d^2z\,
\operatorname{tr}\!\left[\eta\bigl(\partial{A_{\bar z}}+\bar\partial A_z-[A_z,{A_{\bar z}}]\bigr)\right]. δ S E = 4 π k ∫ Σ d 2 z tr [ η ( ∂ A z ˉ + ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] ) ] . Maurer–Cartan恒等式 ∂ A z ˉ − ∂ ˉ A z + [ A z , A z ˉ ] = 0 \partial{A_{\bar z}}-\bar\partial A_z+[A_z,{A_{\bar z}}]=0 ∂ A z ˉ − ∂ ˉ A z + [ A z , A z ˉ ] = 0 2 ∂ A z ˉ 2\partial{A_{\bar z}} 2 ∂ A z ˉ η \eta η (6.3) である。Wess–Zumino項の符号を反転すると括弧内は 2 ∂ ˉ A z 2\bar\partial A_z 2 ∂ ˉ A z
正則カレントと反正則カレント
左右の運動を別々に記録するには、一方に左不変形式、他方に右不変形式を使う。原著のカレントは
J : = − k ∂ g g − 1 = − k g A z g − 1 , J ˉ : = k g − 1 ∂ ˉ g = k A z ˉ . (6.4) J:=-k\,\partial g\,g^{-1}=-k\,gA_zg^{-1},
\qquad
\bar J:=k\,g^{-1}\bar\partial g=k{A_{\bar z}}.
\tag{6.4} J := − k ∂ g g − 1 = − k g A z g − 1 , J ˉ := k g − 1 ∂ ˉ g = k A z ˉ . ( 6.4 ) である。J ˉ \bar J J ˉ A z ˉ {A_{\bar z}} A z ˉ J J J A z A_z A z g A z g − 1 = ∂ g g − 1 gA_zg^{-1}=\partial g\,g^{-1} g A z g − 1 = ∂ g g − 1 − k -k − k
反正則側は ∂ J ˉ = k ∂ A z ˉ = 0 \partial\bar J=k\partial A_{\bar z}=0 ∂ J ˉ = k ∂ A z ˉ = 0
∂ ˉ ( g A z g − 1 ) = g ( ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] ) g − 1 = g ( ∂ A z ˉ ) g − 1 = 0 \bar\partial(gA_zg^{-1})
=g\bigl(\bar\partial A_z-[A_z,A_{\bar z}]\bigr)g^{-1}
=g(\partial A_{\bar z})g^{-1}=0 ∂ ˉ ( g A z g − 1 ) = g ( ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] ) g − 1 = g ( ∂ A z ˉ ) g − 1 = 0 が成り立つ。従って
∂ ˉ J = 0 , ∂ J ˉ = 0 \boxed{\bar\partial J=0,\qquad\partial\bar J=0} ∂ ˉ J = 0 , ∂ J ˉ = 0 が従う。J J J z z z J ˉ \bar J J ˉ z ˉ \bar z z ˉ
計算：右不変カレントの正則性を確かめる J ˉ = k A z ˉ \bar J=k{A_{\bar z}} J ˉ = k A z ˉ (6.3) から
∂ J ˉ = 0 \boxed{
\partial\bar J=0
} ∂ J ˉ = 0 が直ちに従う。したがって J ˉ \bar J J ˉ z ˉ \bar z z ˉ
J J J ∂ g g − 1 \partial g\,g^{-1} ∂ g g − 1 A z = g − 1 ∂ g A_z=g^{-1}\partial g A z = g − 1 ∂ g A z ˉ = g − 1 ∂ ˉ g {A_{\bar z}}=g^{-1}\bar\partial g A z ˉ = g − 1 ∂ ˉ g ∂ ˉ g = g A z ˉ \bar\partial g=g{A_{\bar z}} ∂ ˉ g = g A z ˉ ∂ ˉ g − 1 = − A z ˉ g − 1 \bar\partial g^{-1}=-{A_{\bar z}} g^{-1} ∂ ˉ g − 1 = − A z ˉ g − 1
∂ g g − 1 = g A z g − 1 \partial g\,g^{-1}=gA_zg^{-1} ∂ g g − 1 = g A z g − 1 を使う。両辺を ∂ ˉ \bar\partial ∂ ˉ
∂ ˉ ( g A z g − 1 ) = ( ∂ ˉ g ) A z g − 1 + g ( ∂ ˉ A z ) g − 1 + g A z ( ∂ ˉ g − 1 ) = g A z ˉ A z g − 1 + g ( ∂ ˉ A z ) g − 1 − g A z A z ˉ g − 1 = g ( ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] ) g − 1 . \begin{aligned}
\bar\partial(gA_zg^{-1})
&=(\bar\partial g)A_zg^{-1}
+g(\bar\partial A_z)g^{-1}
+gA_z(\bar\partial g^{-1})\\
&=g{A_{\bar z}}A_zg^{-1}
+g(\bar\partial A_z)g^{-1}
-gA_z{A_{\bar z}}g^{-1}\\
&=g\bigl(
\bar\partial A_z-[A_z,{A_{\bar z}}]
\bigr)g^{-1}.
\end{aligned} ∂ ˉ ( g A z g − 1 ) = ( ∂ ˉ g ) A z g − 1 + g ( ∂ ˉ A z ) g − 1 + g A z ( ∂ ˉ g − 1 ) = g A z ˉ A z g − 1 + g ( ∂ ˉ A z ) g − 1 − g A z A z ˉ g − 1 = g ( ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] ) g − 1 . (MC) から
∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] = ∂ A z ˉ \bar\partial A_z-[A_z,{A_{\bar z}}]=\partial{A_{\bar z}} ∂ ˉ A z − [ A z , A z ˉ ] = ∂ A z ˉ なので
∂ ˉ ( g A z g − 1 ) = g ( ∂ A z ˉ ) g − 1 = 0. \bar\partial(gA_zg^{-1})
=g(\partial{A_{\bar z}})g^{-1}
=0. ∂ ˉ ( g A z g − 1 ) = g ( ∂ A z ˉ ) g − 1 = 0. したがって
∂ ˉ J = 0 \boxed{
\bar\partial J=0
} ∂ ˉ J = 0 であり、J J J z z z
各カレントはLie代数値なので
J ( z ) = J a ( z ) t a , J ˉ ( z ˉ ) = J ˉ a ( z ˉ ) t a . J(z)=J^a(z)t_a,
\qquad
\bar J(\bar z)=\bar J^a(\bar z)t_a. J ( z ) = J a ( z ) t a , J ˉ ( z ˉ ) = J ˉ a ( z ˉ ) t a . 保存則が正則性の形になっているため、J J J ∮ d z z n J a ( z ) \oint dz\,z^nJ^a(z) ∮ d z z n J a ( z ) n n n n < 0 n<0 n < 0
左右の保存則は得られた。では、量子化後も三成分を独立した自由ボソンのように扱えるだろうか。次節ではカレントのOPEを入力とし、その積にSU(2)の非可換な構造がどう現れるかを確かめる。
球面の計量だけでは残った交換子が、Wess–Zumino項の変分によって消えた。その結果、曲がった球面上でも ∂ ˉ J = 0 \bar\partial J=0 ∂ ˉ J = 0 ∂ J ˉ = 0 \partial\bar J=0 ∂ J ˉ = 0 k k k
6.1.2 アフィン s u ^ ( 2 ) \widehat{\mathfrak{su}}(2) su ( 2 )
保存カレントを量子演算子として扱い、その対称性のもとで可能な状態と場の結合を求める。カレント代数からエネルギーと許容表現を定め、characterで状態を数え、fusionとfusing行列で結合を記述する。
current代数とエネルギー
量子論では、カレントの輪郭積分が挿入した場に及ぼす変換をcurrent Ward恒等式で定める。ここでは、輪郭内の場との積の留数がその場の変化を与えるという対応を採用する（原著 第3章・式 (3.44)、§6.1.2）。これが、輪郭積分を対称変換の生成子として扱う根拠になる。左右に同じレベル k k k J a ( z ) J^a(z) J a ( z )
J a ( z ) = ∑ n ∈ Z J n a z − n − 1 \boxed{
J^a(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}J_n^a z^{-n-1}
} J a ( z ) = n ∈ Z ∑ J n a z − n − 1 とLaurent展開する。指数を − n − 1 -n-1 − n − 1 J a ( z ) d z J^a(z)\,dz J a ( z ) d z
J n a = 1 2 π i ∮ 0 d z z n J a ( z ) \boxed{
J_n^a
=\frac{1}{2\pi i}\oint_0 dz\,z^nJ^a(z)
} J n a = 2 πi 1 ∮ 0 d z z n J a ( z ) で取り出される。
円筒座標 w = τ + i σ w=\tau+i\sigma w = τ + iσ z = e w z=e^w z = e w J c y l ( w ) = z J ( z ) J_{\mathrm{cyl}}(w)=zJ(z) J cyl ( w ) = z J ( z ) J c y l = ∑ n J n e − n w J_{\mathrm{cyl}}=\sum_nJ_ne^{-nw} J cyl = ∑ n J n e − n w n n n σ \sigma σ
カレントOPEと中心項
量子化したWZWカレントの局所積は、特異部分だけを書くと
J a ( z ) J b ( w ) ∼ k δ a b ( z − w ) 2 + i f a b c J c ( w ) z − w \boxed{
J^a(z)J^b(w)
\sim
\frac{k\,\delta^{ab}}{(z-w)^2}
+\frac{i f^{ab}{}_{c}J^c(w)}{z-w}
} J a ( z ) J b ( w ) ∼ ( z − w ) 2 k δ ab + z − w i f ab c J c ( w ) である。このOPEと、「作用の係数 k k k (6.5) 、WittenのWZW量子化 ）。ここで導くのは、この局所積からモード代数と表現の制限が生じる過程である。f a b c f^{ab}{}_{c} f ab c
[ t a , t b ] = i f a b c t c [t_a,t_b]=if^{ab}{}_{c}t_c [ t a , t b ] = i f ab c t c で定めた s u ( 2 ) \mathfrak{su}(2) su ( 2 ) ∼ \sim ∼ z → w z\to w z → w
前節と同じ基本表現トレースに対し、生成子を t a = σ a / 2 t_a=\sigma_a/\sqrt2 t a = σ a / 2 tr ( t a t b ) = δ a b \operatorname{tr}(t_at_b)=\delta_{ab} tr ( t a t b ) = δ ab f a b c = 2 ε a b c f^{abc}=\sqrt2\varepsilon^{abc} f ab c = 2 ε ab c σ a \sigma_a σ a ε 123 = 1 \varepsilon^{123}=1 ε 123 = 1 current OPE の二重極を k δ a b k\delta^{ab} k δ ab k k k
モードの交換子は、二つの動径積の順序を入れ替えた輪郭の差である。その差は z = w z=w z = w Res z = w z n / ( z − w ) 2 = n w n − 1 \operatorname{Res}_{z=w}z^n/(z-w)^2=nw^{n-1} Res z = w z n / ( z − w ) 2 = n w n − 1 Res z = w z n / ( z − w ) = w n \operatorname{Res}_{z=w}z^n/(z-w)=w^n Res z = w z n / ( z − w ) = w n w w w k n δ a b δ n + m , 0 kn\delta^{ab}\delta_{n+m,0} kn δ ab δ n + m , 0 i f a b c J n + m c if^{ab}{}_{c}J_{n+m}^c i f ab c J n + m c
カレントOPEからモードの交換関係 (6.5) を導く 動径量子化では、積 J n a J m b J_n^aJ_m^b J n a J m b z z z w w w z = w z=w z = w
[ J n a , J m b ] = 1 ( 2 π i ) 2 ∮ 0 d w w m ∮ w d z z n J a ( z ) J b ( w ) [J_n^a,J_m^b]
=
\frac{1}{(2\pi i)^2}
\oint_0dw\,w^m
\oint_wdz\,z^n
J^a(z)J^b(w) [ J n a , J m b ] = ( 2 πi ) 2 1 ∮ 0 d w w m ∮ w d z z n J a ( z ) J b ( w ) から読める。まず二重極の寄与を段階ごとに追う。
( [ J n a , J m b ] ) d o u b l e p o l e \displaystyle \left([J_n^a,J_m^b]\right)_{\mathrm{double\ pole}} ( [ J n a , J m b ] ) double pole = k δ a b ( 2 π i ) 2 ∮ 0 d w w m ∮ w d z z n ( z − w ) 2 \displaystyle \frac{k\delta^{ab}}{(2\pi i)^2}\oint_0dw\,w^m\oint_wdz\,\frac{z^n}{(z-w)^2} ( 2 πi ) 2 k δ ab ∮ 0 d w w m ∮ w d z ( z − w ) 2 z n = k n δ a b 2 π i ∮ 0 d w w n + m − 1 \displaystyle \frac{kn\delta^{ab}}{2\pi i}\oint_0dw\,w^{n+m-1} 2 πi kn δ ab ∮ 0 d w w n + m − 1 = k n δ a b δ n + m , 0 \displaystyle kn\delta^{ab}\delta_{n+m,0} kn δ ab δ n + m , 0 一重極については
Res z = w z n z − w = w n \operatorname*{Res}_{z=w}
\frac{z^n}{z-w}
=w^n z = w Res z − w z n = w n だから
i f a b c 2 π i ∮ 0 d w w n + m J c ( w ) = i f a b c J n + m c . \begin{aligned}
\frac{if^{ab}{}_{c}}{2\pi i}
\oint_0dw\,w^{n+m}J^c(w)
&=
if^{ab}{}_{c}J_{n+m}^c.
\end{aligned} 2 πi i f ab c ∮ 0 d w w n + m J c ( w ) = i f ab c J n + m c . ここで n n n w w w z n z^n z n n n n
二つを合わせると
[ J n a , J m b ] = i f a b c J n + m c + k n δ a b δ n + m , 0 (6.5) \boxed{
[J_n^a,J_m^b]
=if^{ab}{}_{c}J_{n+m}^c
+kn\delta^{ab}\delta_{n+m,0}
}
\tag{6.5} [ J n a , J m b ] = i f ab c J n + m c + kn δ ab δ n + m , 0 ( 6.5 ) を得る。これがレベル k k k
s u ^ ( 2 ) k \widehat{\mathfrak{su}}(2)_k su ( 2 ) k である。
n = m = 0 n=m=0 n = m = 0
[ J 0 a , J 0 b ] = i f a b c J 0 c [J_0^a,J_0^b]=if^{ab}{}_{c}J_0^c [ J 0 a , J 0 b ] = i f ab c J 0 c となる。したがって通常の s u ( 2 ) \mathfrak{su}(2) su ( 2 ) n + m = 0 n+m=0 n + m = 0 n ≠ 0 n\neq0 n = 0 k n kn kn
Wess–Zumino項を含む量子振幅 e − S E e^{-S_E} e − S E k k k k k k current OPE の二重極の強さになる。
Sugawara構成とエネルギー
どの状態がどれだけのエネルギーを持つかを知るには、共形変換を生成するエネルギー運動量テンソル T ( z ) T(z) T ( z ) g g g T T T ∑ a : J a J a : \sum_a:J^aJ^a: ∑ a : J a J a :
これがSugawara構成である。T ( z ) = ∑ n L n z − n − 2 T(z)=\sum_nL_nz^{-n-2} T ( z ) = ∑ n L n z − n − 2
Q n : = 1 2 ∑ a , m : J m a J n − m a : Q_n:=\frac12\sum_{a,m}:J_m^aJ_{n-m}^a: Q n := 2 1 a , m ∑ : J m a J n − m a : と置く。モードの番号が n n n
候補を作るだけでは、その係数は決まらない。L n L_n L n S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) Q n Q_n Q n k + 2 k+2 k + 2 2 2 2
Sugawara二次式とnormal orderingの定義 まず
Q n : = 1 2 ∑ a = 1 3 ∑ m ∈ Z : J m a J n − m a : Q_n
:=
\frac12
\sum_{a=1}^{3}
\sum_{m\in\mathbb Z}
:J_m^aJ_{n-m}^a: Q n := 2 1 a = 1 ∑ 3 m ∈ Z ∑ : J m a J n − m a : と置く。コロンはnormal orderingを表し、二個のモードのうち添字が大きいものを右へ置く。特に正のモード、すなわち消滅演算子は生成演算子より右に来る。こうしないと、無限個の真空寄与が同じ場所に積み重なってしまう。
以下のモード和は、有限個の負モードを基底状態へ作用させた有限grade状態上で評価する。gradeとは、作用させた J − n a J_{-n}^a J − n a n n n [ L 0 , J − n a ] = n J − n a [L_0,J_{-n}^a]=nJ_{-n}^a [ L 0 , J − n a ] = n J − n a L 0 L_0 L 0
Sugawara構成の量子補正
この補正は、normal orderingしたモード和の添字をずらすと、相殺されない有限個の項が残ることから生じる。
モード和の端に残る項から k + 2 k+2 k + 2 一般論へ進む前に、S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) 2 2 2 (6.5) の直交基底を J 1 , J 2 , J 3 J^1,J^2,J^3 J 1 , J 2 , J 3 s u ( 2 ) \mathfrak{su}(2) su ( 2 )
f a b c = 2 ε a b c f^{abc}=\sqrt2\,\varepsilon^{abc} f ab c = 2 ε ab c と規格化する。ε a b c \varepsilon^{abc} ε ab c ε 123 = 1 \varepsilon^{123}=1 ε 123 = 1
J n 0 : = J n 3 2 , J n ± : = J n 1 ± i J n 2 2 \boxed{
J_n^0:=\frac{J_n^3}{\sqrt2},
\qquad
J_n^\pm:=\frac{J_n^1\pm iJ_n^2}{\sqrt2}
} J n 0 := 2 J n 3 , J n ± := 2 J n 1 ± i J n 2 と定めると
[ J n 0 , J m 0 ] = k 2 n δ n + m , 0 , [ J n 0 , J m ± ] = ± J n + m ± , [ J n + , J m − ] = 2 J n + m 0 + k n δ n + m , 0 (affine-su2) \begin{aligned}
[J_n^0,J_m^0]
&=\frac{k}{2}n\delta_{n+m,0},\\
[J_n^0,J_m^\pm]
&=\pm J_{n+m}^\pm,\\
[J_n^+,J_m^-]
&=2J_{n+m}^0+kn\delta_{n+m,0}
\end{aligned}
\tag{affine-su2} [ J n 0 , J m 0 ] [ J n 0 , J m ± ] [ J n + , J m − ] = 2 k n δ n + m , 0 , = ± J n + m ± , = 2 J n + m 0 + kn δ n + m , 0 ( affine-su2 ) となる。例えば最初の式の k / 2 k/2 k /2 J 0 = J 3 / 2 J^0=J^3/\sqrt2 J 0 = J 3 / 2
1 2 ∑ a = 1 3 : J a J a : = : J 0 J 0 : + 1 2 : J + J − : + 1 2 : J − J + : \frac12\sum_{a=1}^3:J^aJ^a:
=
:J^0J^0:
+\frac12:J^+J^-:
+\frac12:J^-J^+: 2 1 a = 1 ∑ 3 : J a J a :=: J 0 J 0 : + 2 1 : J + J − : + 2 1 : J − J + : となる。
Q 0 Q_0 Q 0
Q 0 = ( J 0 0 ) 2 + 1 2 ( J 0 + J 0 − + J 0 − J 0 + ) + ∑ m = 1 ∞ ( 2 J − m 0 J m 0 + J − m + J m − + J − m − J m + ) . \begin{aligned}
Q_0
=
&(J_0^0)^2
+\frac12(J_0^+J_0^-+J_0^-J_0^+)\\
&+\sum_{m=1}^{\infty}
\left(
2J_{-m}^0J_m^0
+J_{-m}^+J_m^-
+J_{-m}^-J_m^+
\right).
\end{aligned} Q 0 = ( J 0 0 ) 2 + 2 1 ( J 0 + J 0 − + J 0 − J 0 + ) + m = 1 ∑ ∞ ( 2 J − m 0 J m 0 + J − m + J m − + J − m − J m + ) . 量子補正の由来を、最初の正モード J 1 0 J_1^0 J 1 0 J 0 J^0 J 0 Q 0 ( 0 ) = ( J 0 0 ) 2 + 2 ∑ m > 0 J − m 0 J m 0 Q_0^{(0)}=(J_0^0)^2+2\sum_{m>0}J_{-m}^0J_m^0 Q 0 ( 0 ) = ( J 0 0 ) 2 + 2 ∑ m > 0 J − m 0 J m 0 m = 1 m=1 m = 1
[ Q 0 ( 0 ) , J 1 0 ] = 2 [ J − 1 0 , J 1 0 ] J 1 0 = − k J 1 0 . [Q_0^{(0)},J_1^0]=2[J_{-1}^0,J_1^0]J_1^0=-kJ_1^0. [ Q 0 ( 0 ) , J 1 0 ] = 2 [ J − 1 0 , J 1 0 ] J 1 0 = − k J 1 0 . 残りを Q 0 ( ± ) = Q 0 − Q 0 ( 0 ) Q_0^{(\pm)}=Q_0-Q_0^{(0)} Q 0 ( ± ) = Q 0 − Q 0 ( 0 ) (affine-su2) から
[ J − m + J m − , J 1 0 ] = − J 1 − m + J m − + J − m + J m + 1 − , [ J − m − J m + , J 1 0 ] = + J 1 − m − J m + − J − m − J m + 1 + \begin{aligned}
[J_{-m}^+J_m^-,J_1^0]&=-J_{1-m}^+J_m^-+J_{-m}^+J_{m+1}^-,\\
[J_{-m}^-J_m^+,J_1^0]&=+J_{1-m}^-J_m^+-J_{-m}^-J_{m+1}^+
\end{aligned} [ J − m + J m − , J 1 0 ] [ J − m − J m + , J 1 0 ] = − J 1 − m + J m − + J − m + J m + 1 − , = + J 1 − m − J m + − J − m − J m + 1 + が成り立つ。第一式の第一項で m ≥ 2 m\ge2 m ≥ 2 p = m − 1 p=m-1 p = m − 1 m = 1 m=1 m = 1
∑ m > 0 [ J − m + J m − , J 1 0 ] = − J 0 + J 1 − , ∑ m > 0 [ J − m − J m + , J 1 0 ] = + J 0 − J 1 + . \begin{aligned}
\sum_{m>0}[J_{-m}^+J_m^-,J_1^0]&=-J_0^+J_1^-,\\
\sum_{m>0}[J_{-m}^-J_m^+,J_1^0]&=+J_0^-J_1^+.
\end{aligned} m > 0 ∑ [ J − m + J m − , J 1 0 ] m > 0 ∑ [ J − m − J m + , J 1 0 ] = − J 0 + J 1 − , = + J 0 − J 1 + . 和は先に定めた有限grade状態上で評価している。一方、零モード部分の交換子は
1 2 [ J 0 + J 0 − + J 0 − J 0 + , J 1 0 ] = 1 2 ( − J 1 + J 0 − + J 0 + J 1 − + J 1 − J 0 + − J 0 − J 1 + ) . \begin{aligned}
\frac12[J_0^+J_0^-+J_0^-J_0^+,J_1^0]
=\frac12\bigl(-J_1^+J_0^-+J_0^+J_1^-+J_1^-J_0^+-J_0^-J_1^+\bigr).
\end{aligned} 2 1 [ J 0 + J 0 − + J 0 − J 0 + , J 1 0 ] = 2 1 ( − J 1 + J 0 − + J 0 + J 1 − + J 1 − J 0 + − J 0 − J 1 + ) . これに端の二項を足すと、積が交換子にまとまる：
[ Q 0 ( ± ) , J 1 0 ] = 1 2 [ J 0 − , J 1 + ] + 1 2 [ J 1 − , J 0 + ] = 1 2 ( − 2 J 1 0 ) + 1 2 ( − 2 J 1 0 ) = − 2 J 1 0 . \begin{aligned}
[Q_0^{(\pm)},J_1^0]
&=\tfrac12[J_0^-,J_1^+]+\tfrac12[J_1^-,J_0^+]\\
&=\tfrac12(-2J_1^0)+\tfrac12(-2J_1^0)=-2J_1^0.
\end{aligned} [ Q 0 ( ± ) , J 1 0 ] = 2 1 [ J 0 − , J 1 + ] + 2 1 [ J 1 − , J 0 + ] = 2 1 ( − 2 J 1 0 ) + 2 1 ( − 2 J 1 0 ) = − 2 J 1 0 . 最後の交換子には中心項がなく、S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 )
[ Q 0 , J 1 0 ] = − ( k + 2 ) J 1 0 . \boxed{[Q_0,J_1^0]=-(k+2)J_1^0}. [ Q 0 , J 1 0 ] = − ( k + 2 ) J 1 0 . カレントの共形ウェイト1に対応する条件は [ L 0 , J 1 0 ] = − J 1 0 [L_0,J_1^0]=-J_1^0 [ L 0 , J 1 0 ] = − J 1 0 Q 0 Q_0 Q 0 k + 2 k+2 k + 2 2 2 2
補足では n = 0 , r = 1 n=0,r=1 n = 0 , r = 1
[ Q n , J r a ] = − ( k + 2 ) r J n + r a (Sugawara-key) \boxed{
[Q_n,J_r^a]
=-(k+2)rJ_{n+r}^a
}
\tag{Sugawara-key} [ Q n , J r a ] = − ( k + 2 ) r J n + r a ( Sugawara-key ) を第3章の式 (3.7) から採用する。係数の k k k 2 2 2 S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 )
一般の単純Lie代数 g \mathfrak g g 2 2 2 h ∨ h^\vee h ∨
[ Q n , J r a ] = − ( k + h ∨ ) r J n + r a . [Q_n,J_r^a]
=-(k+h^\vee)rJ_{n+r}^a. [ Q n , J r a ] = − ( k + h ∨ ) r J n + r a . h ∨ h^\vee h ∨ S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) h ∨ = 2 h^\vee=2 h ∨ = 2 U ( 1 ) U(1) U ( 1 ) h ∨ = 0 h^\vee=0 h ∨ = 0
カレントの共形ウェイト1という条件は
[ L n , J r a ] = − r J n + r a (weight-one) [L_n,J_r^a]=-rJ_{n+r}^a
\tag{weight-one} [ L n , J r a ] = − r J n + r a ( weight-one ) である。
共形ウェイト1のOPEをモード交換子へ移す 共形ウェイト1であるとは、エネルギー運動量テンソルとのOPEが
T ( z ) J a ( w ) ∼ J a ( w ) ( z − w ) 2 + ∂ J a ( w ) z − w T(z)J^a(w)
\sim
\frac{J^a(w)}{(z-w)^2}
+\frac{\partial J^a(w)}{z-w} T ( z ) J a ( w ) ∼ ( z − w ) 2 J a ( w ) + z − w ∂ J a ( w ) となることである。これをモードへ移すと
[ L n , J r a ] = − r J n + r a [L_n,J_r^a]=-rJ_{n+r}^a [ L n , J r a ] = − r J n + r a と変換しなければならない。
L n = ( 2 π i ) − 1 ∮ d z z n + 1 T ( z ) L_n=(2\pi i)^{-1}\oint dz\,z^{n+1}T(z) L n = ( 2 πi ) − 1 ∮ d z z n + 1 T ( z )
( n + 1 ) w n J a ( w ) + w n + 1 ∂ J a ( w ) (n+1)w^nJ^a(w)+w^{n+1}\partial J^a(w) ( n + 1 ) w n J a ( w ) + w n + 1 ∂ J a ( w ) となる。外側で w r w^r w r
1 2 π i ∮ d w w n + r + 1 ∂ J a ( w ) = − ( n + r + 1 ) 1 2 π i ∮ d w w n + r J a ( w ) = − ( n + r + 1 ) J n + r a . \begin{aligned}
\frac1{2\pi i}\oint dw\,w^{n+r+1}\partial J^a(w)
&=-(n+r+1)\frac1{2\pi i}\oint dw\,w^{n+r}J^a(w)\\
&=-(n+r+1)J_{n+r}^a.
\end{aligned} 2 πi 1 ∮ d w w n + r + 1 ∂ J a ( w ) = − ( n + r + 1 ) 2 πi 1 ∮ d w w n + r J a ( w ) = − ( n + r + 1 ) J n + r a . 二重極からの ( n + 1 ) J n + r a (n+1)J_{n+r}^a ( n + 1 ) J n + r a ( n + 1 ) − ( n + r + 1 ) = − r (n+1)-(n+r+1)=-r ( n + 1 ) − ( n + r + 1 ) = − r
(Sugawara-key) と比較すると、正しい規格化は
L n = Q n k + h ∨ = 1 2 ( k + h ∨ ) ∑ a , m : J m a J n − m a : (6.6) \boxed{
L_n
=\frac{Q_n}{k+h^\vee}
=
\frac{1}{2(k+h^\vee)}
\sum_{a,m}:J_m^aJ_{n-m}^a:
}
\tag{6.6} L n = k + h ∨ Q n = 2 ( k + h ∨ ) 1 a , m ∑ : J m a J n − m a : ( 6.6 ) に一意に決まる。S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 )
L n = 1 2 ( k + 2 ) ∑ a , m : J m a J n − m a : . \boxed{
L_n
=
\frac{1}{2(k+2)}
\sum_{a,m}:J_m^aJ_{n-m}^a:
}. L n = 2 ( k + 2 ) 1 a , m ∑ : J m a J n − m a : . ここで用いるSugawara定理は、単純Lie代数の正整数レベルのカレント代数に対し、式 (6.6) が
[ L n , L m ] = ( n − m ) L n + m + c 12 ( n 3 − n ) δ n + m , 0 [L_n,L_m]=(n-m)L_{n+m}+\frac{c}{12}(n^3-n)\delta_{n+m,0} [ L n , L m ] = ( n − m ) L n + m + 12 c ( n 3 − n ) δ n + m , 0 というVirasoro代数を満たすことを保証する（原著式 (3.7)、(6.6) ）。この閉性が、カレント代数から共形対称性を得るための外部入力である。その中心電荷は
c = k dim g k + h ∨ \boxed{
c=\frac{k\,\dim\mathfrak g}{k+h^\vee}
} c = k + h ∨ k dim g となる。S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) dim s u ( 2 ) = 3 \dim\mathfrak{su}(2)=3 dim su ( 2 ) = 3
c = 3 k k + 2 . \boxed{
c=\frac{3k}{k+2}
}. c = k + 2 3 k . 真空の二次励起から中心電荷を計算する 標準的なSugawara定理は、L n L_n L n ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0 ⟩ J m a ∣ 0 ⟩ = 0 J_m^a|0\rangle=0 J m a ∣0 ⟩ = 0 m ≥ 0 m\geq0 m ≥ 0 L 0 ∣ 0 ⟩ = 0 L_0|0\rangle=0 L 0 ∣0 ⟩ = 0
L − 2 ∣ 0 ⟩ = 1 2 ( k + h ∨ ) ∑ a J − 1 a J − 1 a ∣ 0 ⟩ . L_{-2}|0\rangle=\frac1{2(k+h^\vee)}\sum_a J_{-1}^aJ_{-1}^a|0\rangle. L − 2 ∣0 ⟩ = 2 ( k + h ∨ ) 1 a ∑ J − 1 a J − 1 a ∣0 ⟩ . [ L 2 , J − 1 a ] = J 1 a [L_2,J_{-1}^a]=J_1^a [ L 2 , J − 1 a ] = J 1 a
L 2 L − 2 ∣ 0 ⟩ = 1 2 ( k + h ∨ ) ∑ a ( J 1 a J − 1 a + J − 1 a J 1 a ) ∣ 0 ⟩ = 1 2 ( k + h ∨ ) ∑ a [ J 1 a , J − 1 a ] ∣ 0 ⟩ = k dim g 2 ( k + h ∨ ) ∣ 0 ⟩ . \begin{aligned}
L_2L_{-2}|0\rangle
&=\frac1{2(k+h^\vee)}\sum_a
\left(J_1^aJ_{-1}^a+J_{-1}^aJ_1^a\right)|0\rangle\\
&=\frac1{2(k+h^\vee)}\sum_a[J_1^a,J_{-1}^a]|0\rangle\\
&=\frac{k\dim\mathfrak g}{2(k+h^\vee)}|0\rangle.
\end{aligned} L 2 L − 2 ∣0 ⟩ = 2 ( k + h ∨ ) 1 a ∑ ( J 1 a J − 1 a + J − 1 a J 1 a ) ∣0 ⟩ = 2 ( k + h ∨ ) 1 a ∑ [ J 1 a , J − 1 a ] ∣0 ⟩ = 2 ( k + h ∨ ) k dim g ∣0 ⟩ . 同じ添字の交換子では構造定数の項が零なので、最後には各 a a a k k k [ L 2 , L − 2 ] = 4 L 0 + c / 2 [L_2,L_{-2}]=4L_0+c/2 [ L 2 , L − 2 ] = 4 L 0 + c /2 c = k dim g / ( k + h ∨ ) c=k\dim\mathfrak g/(k+h^\vee) c = k dim g / ( k + h ∨ )
k → ∞ k\to\infty k → ∞ c → 3 c\to3 c → 3 S 3 S^3 S 3 k k k c < 3 c<3 c < 3
基底状態の共形ウェイト
得られた L 0 L_0 L 0 f a b c = 2 ε a b c f^{abc}=\sqrt2\varepsilon^{abc} f ab c = 2 ε ab c
J n 0 = J n 3 2 , J n ± = J n 1 ± i J n 2 2 (Cartan-Weyl-basis) J_n^0=\frac{J_n^3}{\sqrt2},\qquad
J_n^\pm=\frac{J_n^1\pm iJ_n^2}{\sqrt2}
\tag{Cartan-Weyl-basis} J n 0 = 2 J n 3 , J n ± = 2 J n 1 ± i J n 2 ( Cartan-Weyl-basis ) へ移る。零モードは [ J 0 0 , J 0 ± ] = ± J 0 ± [J_0^0,J_0^\pm]=\pm J_0^\pm [ J 0 0 , J 0 ± ] = ± J 0 ± [ J 0 + , J 0 − ] = 2 J 0 0 [J_0^+,J_0^-]=2J_0^0 [ J 0 + , J 0 − ] = 2 J 0 0 L 0 L_0 L 0 j j j
∣ j ; ℓ ⟩ , j ∈ 1 2 Z ≥ 0 , ℓ = − j , − j + 1 , … , j |j;\ell\rangle,
\qquad
j\in\frac12\mathbb Z_{\geq0},
\qquad
\ell=-j,-j+1,\ldots,j ∣ j ; ℓ ⟩ , j ∈ 2 1 Z ≥ 0 , ℓ = − j , − j + 1 , … , j として選ぶ。定義は
J n a ∣ j ; ℓ ⟩ = 0 ( n > 0 ) , J 0 0 ∣ j ; ℓ ⟩ = ℓ ∣ j ; ℓ ⟩ , J 0 + ∣ j ; j ⟩ = 0 \begin{aligned}
J_n^a|j;\ell\rangle&=0
&& (n>0),\\
J_0^0|j;\ell\rangle&=\ell|j;\ell\rangle,\\
J_0^+|j;j\rangle&=0
\end{aligned} J n a ∣ j ; ℓ ⟩ J 0 0 ∣ j ; ℓ ⟩ J 0 + ∣ j ; j ⟩ = 0 = ℓ ∣ j ; ℓ ⟩ , = 0 ( n > 0 ) , である。
式 (6.6) の L 0 L_0 L 0
L 0 ∣ g r o u n d = 1 k + 2 [ ( J 0 0 ) 2 + 1 2 ( J 0 + J 0 − + J 0 − J 0 + ) ] = j ( j + 1 ) k + 2 1 L_0\big|_{\mathrm{ground}}
=\frac1{k+2}\left[(J_0^0)^2+\frac12(J_0^+J_0^-+J_0^-J_0^+)\right]
=\frac{j(j+1)}{k+2}\mathbf1 L 0 ground = k + 2 1 [ ( J 0 0 ) 2 + 2 1 ( J 0 + J 0 − + J 0 − J 0 + ) ] = k + 2 j ( j + 1 ) 1 となる。角括弧は通常のスピン j j j
基底状態のウェイトが j ( j + 1 ) / ( k + 2 ) j(j+1)/(k+2) j ( j + 1 ) / ( k + 2 ) L 0 = Q 0 / ( k + 2 ) L_0=Q_0/(k+2) L 0 = Q 0 / ( k + 2 ) Sugawara構成 の量子補正」の補足で展開した Q 0 Q_0 Q 0
右側にある正モード J n a J_n^a J n a S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 )
C 2 : = ( J 0 0 ) 2 + 1 2 ( J 0 + J 0 − + J 0 − J 0 + ) C_2
:=
(J_0^0)^2
+\frac12(J_0^+J_0^-+J_0^-J_0^+) C 2 := ( J 0 0 ) 2 + 2 1 ( J 0 + J 0 − + J 0 − J 0 + ) であり、スピン j j j
C 2 ∣ j ; ℓ ⟩ = j ( j + 1 ) ∣ j ; ℓ ⟩ C_2|j;\ell\rangle
=j(j+1)|j;\ell\rangle C 2 ∣ j ; ℓ ⟩ = j ( j + 1 ) ∣ j ; ℓ ⟩ と作用する。
固有値 j ( j + 1 ) j(j+1) j ( j + 1 ) [ J 0 + , J 0 − ] = 2 J 0 0 [J_0^+,J_0^-]=2J_0^0 [ J 0 + , J 0 − ] = 2 J 0 0 J 0 + ∣ j ; j ⟩ = 0 J_0^+|j;j\rangle=0 J 0 + ∣ j ; j ⟩ = 0
C 2 ∣ j ; j ⟩ = ( ( J 0 0 ) 2 + 1 2 [ J 0 + , J 0 − ] + J 0 − J 0 + ) ∣ j ; j ⟩ = ( j 2 + j ) ∣ j ; j ⟩ . \begin{aligned}
C_2|j;j\rangle
&=\left((J_0^0)^2+\frac12[J_0^+,J_0^-]+J_0^-J_0^+\right)|j;j\rangle\\
&=(j^2+j)|j;j\rangle.
\end{aligned} C 2 ∣ j ; j ⟩ = ( ( J 0 0 ) 2 + 2 1 [ J 0 + , J 0 − ] + J 0 − J 0 + ) ∣ j ; j ⟩ = ( j 2 + j ) ∣ j ; j ⟩ . C 2 C_2 C 2 J 0 − J_0^- J 0 − ∣ j ; ℓ ⟩ |j;\ell\rangle ∣ j ; ℓ ⟩
したがって
L 0 ∣ j ; ℓ ⟩ = h j ∣ j ; ℓ ⟩ , h j = j ( j + 1 ) k + 2 (6.7) \boxed{
L_0|j;\ell\rangle
=h_j|j;\ell\rangle,
\qquad
h_j=\frac{j(j+1)}{k+2}
}
\tag{6.7} L 0 ∣ j ; ℓ ⟩ = h j ∣ j ; ℓ ⟩ , h j = k + 2 j ( j + 1 ) ( 6.7 ) を得る。
また (weight-one) で n = 0 n=0 n = 0
[ L 0 , J r a ] = − r J r a . [L_0,J_r^a]=-rJ_r^a. [ L 0 , J r a ] = − r J r a . よって
[ L 0 , J − n a ] = n J − n a ( n > 0 ) [L_0,J_{-n}^a]=nJ_{-n}^a
\qquad(n>0) [ L 0 , J − n a ] = n J − n a ( n > 0 ) である。J − n a J_{-n}^a J − n a n n n
可積分表現
負のカレントモードはエネルギーを上げる。そこで、通常のSU(2)表現と同じようにスピン j j j V j \mathcal V_j V j j j j
確率解釈を保つには、基底状態だけでなく、そこから作った全ての励起のノルムが非負でなければならない。この条件と候補 V j \mathcal V_j V j
最初に調べる励起として J − 1 + ∣ j ; j ⟩ J_{-1}^+|j;j\rangle J − 1 + ∣ j ; j ⟩ [ L 0 , J − 1 + ] = J − 1 + [L_0,J_{-1}^+]=J_{-1}^+ [ L 0 , J − 1 + ] = J − 1 + [ J 0 0 , J − 1 + ] = J − 1 + [J_0^0,J_{-1}^+]=J_{-1}^+ [ J 0 0 , J − 1 + ] = J − 1 + ( J n + ) † = J − n − (J_n^+)^\dagger=J_{-n}^- ( J n + ) † = J − n −
∥ J − 1 + ∣ j ; j ⟩ ∥ 2 = ⟨ j ; j ∣ J 1 − J − 1 + ∣ j ; j ⟩ = ⟨ j ; j ∣ [ J 1 − , J − 1 + ] ∣ j ; j ⟩ = ( k − 2 j ) ∥ ∣ j ; j ⟩ ∥ 2 . \begin{aligned}
\|J_{-1}^+|j;j\rangle\|^2
&=\langle j;j|J_1^-J_{-1}^+|j;j\rangle\\
&=\langle j;j|[J_1^-,J_{-1}^+]|j;j\rangle\\
&=(k-2j)\||j;j\rangle\|^2.
\end{aligned} ∥ J − 1 + ∣ j ; j ⟩ ∥ 2 = ⟨ j ; j ∣ J 1 − J − 1 + ∣ j ; j ⟩ = ⟨ j ; j ∣ [ J 1 − , J − 1 + ] ∣ j ; j ⟩ = ( k − 2 j ) ∥∣ j ; j ⟩ ∥ 2 . 二行目では J 1 − ∣ j ; j ⟩ = 0 J_1^-|j;j\rangle=0 J 1 − ∣ j ; j ⟩ = 0 [ J 1 − , J − 1 + ] = k − 2 J 0 0 [J_1^-,J_{-1}^+]=k-2J_0^0 [ J 1 − , J − 1 + ] = k − 2 J 0 0 j > k / 2 j>k/2 j > k /2
残る j ≤ k / 2 j\leq k/2 j ≤ k /2
E : = J − 1 + , F : = J 1 − , E † = F E:=J_{-1}^+,
\qquad
F:=J_1^-,
\qquad E^\dagger=F E := J − 1 + , F := J 1 − , E † = F と置く。交換子 [ E , F ] = 2 J 0 0 − k [E,F]=2J_0^0-k [ E , F ] = 2 J 0 0 − k
H a f f : = J 0 0 − k 2 H_{\mathrm{aff}}:=J_0^0-\frac{k}{2} H aff := J 0 0 − 2 k と書けば、三つの演算子だけで交換関係が閉じる。
E , F , H a f f E,F,H_{\mathrm{aff}} E , F , H aff (affine-su2) から
[ H a f f , E ] = [ J 0 0 , J − 1 + ] = J − 1 + = E , [ H a f f , F ] = [ J 0 0 , J 1 − ] = − J 1 − = − F , [ E , F ] = [ J − 1 + , J 1 − ] = 2 J 0 0 − k = 2 H a f f . \begin{aligned}
[H_{\mathrm{aff}},E]
&=[J_0^0,J_{-1}^+]
=J_{-1}^+
=E,\\
[H_{\mathrm{aff}},F]
&=[J_0^0,J_1^-]
=-J_1^-
=-F,\\
[E,F]
&=[J_{-1}^+,J_1^-]\\
&=2J_0^0-k\\
&=2H_{\mathrm{aff}}.
\end{aligned} [ H aff , E ] [ H aff , F ] [ E , F ] = [ J 0 0 , J − 1 + ] = J − 1 + = E , = [ J 0 0 , J 1 − ] = − J 1 − = − F , = [ J − 1 + , J 1 − ] = 2 J 0 0 − k = 2 H aff . したがって E , F , H a f f E,F,H_{\mathrm{aff}} E , F , H aff [ H a f f , E ] = E [H_{\mathrm{aff}},E]=E [ H aff , E ] = E [ H a f f , F ] = − F [H_{\mathrm{aff}},F]=-F [ H aff , F ] = − F [ E , F ] = 2 H a f f [E,F]=2H_{\mathrm{aff}} [ E , F ] = 2 H aff s l 2 \mathfrak{sl}_2 sl 2 − k -k − k H a f f = J 0 0 − k / 2 H_{\mathrm{aff}}=J_0^0-k/2 H aff = J 0 0 − k /2
状態空間 V j \mathcal V_j V j V j \mathcal V_j V j ( J 0 − ) 2 j + 1 ∣ j ; j ⟩ = 0 (J_0^-)^{2j+1}|j;j\rangle=0 ( J 0 − ) 2 j + 1 ∣ j ; j ⟩ = 0
J − 1 + J_{-1}^+ J − 1 + 有限次元スピン j j j ∣ j ; j ⟩ |j;j\rangle ∣ j ; j ⟩ F = J 1 − F=J_1^- F = J 1 −
F ∣ j ; j ⟩ = 0. F|j;j\rangle=0. F ∣ j ; j ⟩ = 0. また
H a f f ∣ j ; j ⟩ = ( j − k 2 ) ∣ j ; j ⟩ . H_{\mathrm{aff}}|j;j\rangle
=\left(j-\frac{k}{2}\right)|j;j\rangle. H aff ∣ j ; j ⟩ = ( j − 2 k ) ∣ j ; j ⟩ . ここで
N : = k − 2 j N:=k-2j N := k − 2 j と置けば
H a f f ∣ j ; j ⟩ = − N 2 ∣ j ; j ⟩ . H_{\mathrm{aff}}|j;j\rangle=-\frac{N}{2}|j;j\rangle. H aff ∣ j ; j ⟩ = − 2 N ∣ j ; j ⟩ . ユニタリー表現では
( J n + ) † = J − n − (J_n^+)^\dagger=J_{-n}^- ( J n + ) † = J − n − なので
E † = F . E^\dagger=F. E † = F . r r r
∣ r ⟩ : = E r ∣ j ; j ⟩ |r\rangle:=E^r|j;j\rangle ∣ r ⟩ := E r ∣ j ; j ⟩ とする。随伴関係 E † = F E^\dagger=F E † = F
∥ ∣ r ⟩ ∥ 2 = r ( N − r + 1 ) ∥ ∣ r − 1 ⟩ ∥ 2 (norm-recursion) \boxed{\lVert|r\rangle\rVert^2=r(N-r+1)\lVert|r-1\rangle\rVert^2}
\tag{norm-recursion} ∥ ∣ r ⟩ ∥ 2 = r ( N − r + 1 ) ∥ ∣ r − 1 ⟩ ∥ 2 ( norm-recursion ) を満たす。この係数の符号が、スピンの上限と零ノルム状態の位置を同時に決める。
交換子を r r r そのノルムを求めるため、まず F E r ∣ j ; j ⟩ F E^r|j;j\rangle F E r ∣ j ; j ⟩ [ F , E ] = − 2 H a f f [F,E]=-2H_{\mathrm{aff}} [ F , E ] = − 2 H aff
[ F , E r ] = ∑ s = 0 r − 1 E s [ F , E ] E r − 1 − s = − 2 ∑ s = 0 r − 1 E s H a f f E r − 1 − s . \begin{aligned}
[F,E^r]
&=\sum_{s=0}^{r-1}E^s[F,E]E^{r-1-s}\\
&=-2\sum_{s=0}^{r-1}E^sH_{\mathrm{aff}}E^{r-1-s}.
\end{aligned} [ F , E r ] = s = 0 ∑ r − 1 E s [ F , E ] E r − 1 − s = − 2 s = 0 ∑ r − 1 E s H aff E r − 1 − s . [ H a f f , E ] = E [H_{\mathrm{aff}},E]=E [ H aff , E ] = E
H a f f E q = E q ( H a f f + q ) H_{\mathrm{aff}}E^q=E^q(H_{\mathrm{aff}}+q) H aff E q = E q ( H aff + q ) なので、H a f f ∣ j ; j ⟩ = − N 2 ∣ j ; j ⟩ H_{\mathrm{aff}}|j;j\rangle=-\tfrac N2|j;j\rangle H aff ∣ j ; j ⟩ = − 2 N ∣ j ; j ⟩
E s H a f f E r − 1 − s ∣ j ; j ⟩ = E r − 1 ( H a f f + r − 1 − s ) ∣ j ; j ⟩ = ( − N 2 + r − 1 − s ) E r − 1 ∣ j ; j ⟩ . \begin{aligned}
E^sH_{\mathrm{aff}}E^{r-1-s}|j;j\rangle
&=
E^{r-1}
\left(H_{\mathrm{aff}}+r-1-s\right)|j;j\rangle\\
&=
\left(
-\frac{N}{2}+r-1-s
\right)
E^{r-1}|j;j\rangle.
\end{aligned} E s H aff E r − 1 − s ∣ j ; j ⟩ = E r − 1 ( H aff + r − 1 − s ) ∣ j ; j ⟩ = ( − 2 N + r − 1 − s ) E r − 1 ∣ j ; j ⟩ . s = 0 , … , r − 1 s=0,\ldots,r-1 s = 0 , … , r − 1
[ F , E r ] ∣ j ; j ⟩ = − 2 [ − r N 2 + ∑ s = 0 r − 1 ( r − 1 − s ) ] E r − 1 ∣ j ; j ⟩ = − 2 [ − r N 2 + r ( r − 1 ) 2 ] E r − 1 ∣ j ; j ⟩ = r ( N − r + 1 ) E r − 1 ∣ j ; j ⟩ . \begin{aligned}
[F,E^r]|j;j\rangle
&=
-2\left[
-\frac{rN}{2}
+\sum_{s=0}^{r-1}(r-1-s)
\right]E^{r-1}|j;j\rangle\\
&=
-2\left[
-\frac{rN}{2}
+\frac{r(r-1)}{2}
\right]E^{r-1}|j;j\rangle\\
&=
r(N-r+1)E^{r-1}|j;j\rangle.
\end{aligned} [ F , E r ] ∣ j ; j ⟩ = − 2 [ − 2 r N + s = 0 ∑ r − 1 ( r − 1 − s ) ] E r − 1 ∣ j ; j ⟩ = − 2 [ − 2 r N + 2 r ( r − 1 ) ] E r − 1 ∣ j ; j ⟩ = r ( N − r + 1 ) E r − 1 ∣ j ; j ⟩ . F ∣ j ; j ⟩ = 0 F|j;j\rangle=0 F ∣ j ; j ⟩ = 0 [ F , E r ] ∣ j ; j ⟩ = F E r ∣ j ; j ⟩ [F,E^r]|j;j\rangle=FE^r|j;j\rangle [ F , E r ] ∣ j ; j ⟩ = F E r ∣ j ; j ⟩
F ∣ r ⟩ = r ( N − r + 1 ) ∣ r − 1 ⟩ . \boxed{
F|r\rangle
=r(N-r+1)|r-1\rangle
}. F ∣ r ⟩ = r ( N − r + 1 ) ∣ r − 1 ⟩ . これを用いると
∥ ∣ r ⟩ ∥ 2 \displaystyle \lVert|r\rangle\rVert^2 ∥ ∣ r ⟩ ∥ 2 = ⟨ j ; j ∣ F r E r ∣ j ; j ⟩ \displaystyle \langle j;j|F^rE^r|j;j\rangle ⟨ j ; j ∣ F r E r ∣ j ; j ⟩ = r ( N − r + 1 ) ⟨ j ; j ∣ F r − 1 E r − 1 ∣ j ; j ⟩ \displaystyle r(N-r+1) \langle j;j|F^{r-1}E^{r-1}|j;j\rangle r ( N − r + 1 ) ⟨ j ; j ∣ F r − 1 E r − 1 ∣ j ; j ⟩ = r ( N − r + 1 ) ∥ ∣ r − 1 ⟩ ∥ 2 \displaystyle r(N-r+1) \lVert|r-1\rangle\rVert^2 r ( N − r + 1 ) ∥ ∣ r − 1 ⟩ ∥ 2 すなわち
∥ ∣ r ⟩ ∥ 2 = r ( N − r + 1 ) ∥ ∣ r − 1 ⟩ ∥ 2 . \boxed{
\lVert|r\rangle\rVert^2
=r(N-r+1)\lVert|r-1\rangle\rVert^2
}. ∥ ∣ r ⟩ ∥ 2 = r ( N − r + 1 ) ∥ ∣ r − 1 ⟩ ∥ 2 . 漸化式を繰り返せば
∥ ∣ r ⟩ ∥ 2 = r ! ∏ q = 0 r − 1 ( N − q ) ∥ ∣ j ; j ⟩ ∥ 2 . \lVert|r\rangle\rVert^2
=r!\prod_{q=0}^{r-1}(N-q)\lVert|j;j\rangle\rVert^2. ∥ ∣ r ⟩ ∥ 2 = r ! q = 0 ∏ r − 1 ( N − q ) ∥ ∣ j ; j ⟩ ∥ 2 . r = 0 r=0 r = 0 N N N r ≤ N r\leq N r ≤ N r ! N ! / ( N − r ) ! r!N!/(N-r)! r ! N ! / ( N − r )! r ≥ N + 1 r\geq N+1 r ≥ N + 1
スピンの上限と零ノルム状態
一励起のノルムから得た必要条件を満たす場合、すなわち
0 ≤ j ≤ k 2 0\leq j\leq\frac{k}{2} 0 ≤ j ≤ 2 k を考える。延長を変えても量子振幅が一致する条件から k ∈ Z k\in\mathbb Z k ∈ Z k > 0 k>0 k > 0 S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) 2 j ∈ Z ≥ 0 2j\in\mathbb Z_{\geq0} 2 j ∈ Z ≥ 0 N = k − 2 j N=k-2j N = k − 2 j 1 ≤ r ≤ N 1\leq r\leq N 1 ≤ r ≤ N
r ( N − r + 1 ) > 0 , r(N-r+1)>0, r ( N − r + 1 ) > 0 , だが、r = N + 1 r=N+1 r = N + 1
( N + 1 ) ( N − ( N + 1 ) + 1 ) = 0 (N+1)\bigl(N-(N+1)+1\bigr)=0 ( N + 1 ) ( N − ( N + 1 ) + 1 ) = 0 となる。よって
ψ s i n g j = E N + 1 ∣ j ; j ⟩ = ( J − 1 + ) k + 1 − 2 j ∣ j ; j ⟩ \boxed{
\psi_{\mathrm{sing}}^j
=E^{N+1}|j;j\rangle
=
\left(J_{-1}^+\right)^{k+1-2j}|j;j\rangle
} ψ sing j = E N + 1 ∣ j ; j ⟩ = ( J − 1 + ) k + 1 − 2 j ∣ j ; j ⟩ は零ノルム状態である。
この零ノルム状態は、新しい最高ウェイト状態でもある。まず零モード J 0 + J_0^+ J 0 + J n + J_n^+ J n + n > 0 n>0 n > 0 E = J − 1 + E=J_{-1}^+ E = J − 1 + ∣ j ; j ⟩ |j;j\rangle ∣ j ; j ⟩ J n 0 J_n^0 J n 0 n > 0 n>0 n > 0 E E E J n − 1 + J_{n-1}^+ J n − 1 + J n − J_n^- J n − n ≥ 2 n\geq2 n ≥ 2 J n − 1 0 J_{n-1}^0 J n − 1 0 J n − 2 + J_{n-2}^+ J n − 2 + J 1 − = F J_1^-=F J 1 − = F ( N + 1 ) ( N − ( N + 1 ) + 1 ) = 0 (N+1)(N-(N+1)+1)=0 ( N + 1 ) ( N − ( N + 1 ) + 1 ) = 0
零ノルム状態が全ての最高ウェイト条件を満たすことを確かめる 実際、F ∣ r ⟩ = r ( N − r + 1 ) ∣ r − 1 ⟩ F|r\rangle=r(N-r+1)|r-1\rangle F ∣ r ⟩ = r ( N − r + 1 ) ∣ r − 1 ⟩
F ψ s i n g j = 0 F\psi_{\mathrm{sing}}^j=0 F ψ sing j = 0 である。さらに J 0 + J_0^+ J 0 + J − 1 + J_{-1}^+ J − 1 + J 0 + ∣ j ; j ⟩ = 0 J_0^+|j;j\rangle=0 J 0 + ∣ j ; j ⟩ = 0
J 0 + ψ s i n g j = 0. J_0^+\psi_{\mathrm{sing}}^j=0. J 0 + ψ sing j = 0. 残りの正モードについても確認する。まず [ J n + , E ] = 0 [J_n^+,E]=0 [ J n + , E ] = 0 J n + E N + 1 ∣ j ; j ⟩ = E N + 1 J n + ∣ j ; j ⟩ = 0 J_n^+E^{N+1}|j;j\rangle=E^{N+1}J_n^+|j;j\rangle=0 J n + E N + 1 ∣ j ; j ⟩ = E N + 1 J n + ∣ j ; j ⟩ = 0 n > 0 n>0 n > 0
[ J n 0 , E ] = J n − 1 + , [ J n 0 , E N + 1 ] = ( N + 1 ) E N J n − 1 + . [J_n^0,E]=J_{n-1}^+,
\qquad
[J_n^0,E^{N+1}]=(N+1)E^{N}J_{n-1}^+. [ J n 0 , E ] = J n − 1 + , [ J n 0 , E N + 1 ] = ( N + 1 ) E N J n − 1 + . n = 1 n=1 n = 1 J 0 + J_0^+ J 0 + n ≥ 2 n\geq2 n ≥ 2 J n − J_n^- J n − n = 1 n=1 n = 1 F ψ s i n g j = 0 F\psi_{\mathrm{sing}}^j=0 F ψ sing j = 0 n ≥ 2 n\geq2 n ≥ 2
[ J n − , E ] = − 2 J n − 1 0 , [ J n − 1 0 , E ] = J n − 2 + . [J_n^-,E]=-2J_{n-1}^0,
\qquad
[J_{n-1}^0,E]=J_{n-2}^+. [ J n − , E ] = − 2 J n − 1 0 , [ J n − 1 0 , E ] = J n − 2 + . したがって
[ J n − , E N + 1 ] = − 2 ∑ s = 0 N E s J n − 1 0 E N − s = − 2 ( N + 1 ) E N J n − 1 0 − ( N + 1 ) N E N − 1 J n − 2 + . \begin{aligned}
[J_n^-,E^{N+1}]
&=-2\sum_{s=0}^{N}E^sJ_{n-1}^0E^{N-s}\\
&=-2(N+1)E^{N}J_{n-1}^0-(N+1)NE^{N-1}J_{n-2}^+.
\end{aligned} [ J n − , E N + 1 ] = − 2 s = 0 ∑ N E s J n − 1 0 E N − s = − 2 ( N + 1 ) E N J n − 1 0 − ( N + 1 ) N E N − 1 J n − 2 + . N = 0 N=0 N = 0 n = 2 n=2 n = 2 J 0 + J_0^+ J 0 + n > 2 n>2 n > 2 ∣ j ; j ⟩ |j;j\rangle ∣ j ; j ⟩
したがって
J n a ψ s i n g j = 0 ( n > 0 ) , J_n^a\psi_{\mathrm{sing}}^j=0
\qquad(n>0), J n a ψ sing j = 0 ( n > 0 ) , であり、ψ s i n g j \psi_{\mathrm{sing}}^j ψ sing j
スピンを j ≤ k / 2 j\leq k/2 j ≤ k /2 V j \mathcal V_j V j ψ s i n g j \psi_{\mathrm{sing}}^j ψ sing j N j \mathcal N_j N j
具体的には、ψ s i n g j \psi_{\mathrm{sing}}^j ψ sing j J 0 − J_0^- J 0 − N j \mathcal N_j N j J 0 − J_0^- J 0 −
正整数 k k k 0 ≤ j ≤ k / 2 0\leq j\leq k/2 0 ≤ j ≤ k /2 N j \mathcal N_j N j
H j : = V j / N j \boxed{
\mathcal H_j
:=
\mathcal V_j/\mathcal N_j
} H j := V j / N j として定義する。商とは、N j \mathcal N_j N j
零ノルム状態を除いた内積が一意に定まる条件 自己ノルムが零でも、他の状態との内積が零とは限らない。不定値内積空間では特にこの区別が必要である。代表元 v v v v + n v+n v + n n ∈ N j n\in\mathcal N_j n ∈ N j ⟨ v , w ⟩ \langle v,w\rangle ⟨ v , w ⟩ w w w ⟨ n , w ⟩ = 0 \langle n,w\rangle=0 ⟨ n , w ⟩ = 0
ここで用いる分類定理は、N j \mathcal N_j N j N j \mathcal N_j N j k k k 0 ≤ j ≤ k / 2 0\leq j\leq k/2 0 ≤ j ≤ k /2
ここまでの直接計算が示したのは、j ≤ k / 2 j\leq k/2 j ≤ k /2 E = J − 1 + E=J_{-1}^+ E = J − 1 +
j = 0 , 1 2 , 1 , … , k 2 \boxed{
j=0,\frac12,1,\ldots,\frac{k}{2}
} j = 0 , 2 1 , 1 , … , 2 k に限られ、その個数は k + 1 k+1 k + 1
k = 2 k=2 k = 2 k = 2 k=2 k = 2 E = J − 1 + E=J_{-1}^+ E = J − 1 +
j N = k − 2 j ψ s i n g j 0 2 ( J − 1 + ) 3 ∣ 0 ; 0 ⟩ 1 2 1 ( J − 1 + ) 2 ∣ 1 2 ; 1 2 ⟩ 1 0 J − 1 + ∣ 1 ; 1 ⟩ \begin{array}{c|c|c}
j & N=k-2j & \psi_{\mathrm{sing}}^j\\
\hline
0 & 2 & (J_{-1}^+)^3|0;0\rangle\\
\frac12 & 1 & (J_{-1}^+)^2|\frac12;\frac12\rangle\\
1 & 0 & J_{-1}^+|1;1\rangle
\end{array} j 0 2 1 1 N = k − 2 j 2 1 0 ψ sing j ( J − 1 + ) 3 ∣0 ; 0 ⟩ ( J − 1 + ) 2 ∣ 2 1 ; 2 1 ⟩ J − 1 + ∣1 ; 1 ⟩ となる。次の候補 j = 3 2 j=\frac32 j = 2 3
N = 2 − 3 = − 1 N=2-3=-1 N = 2 − 3 = − 1 なので、最初の励起だけで
∥ J − 1 + ∣ 3 2 ; 3 2 ⟩ ∥ 2 = − ∥ ∣ 3 2 ; 3 2 ⟩ ∥ 2 < 0. \left\lVert
J_{-1}^+\left|\frac32;\frac32\right\rangle
\right\rVert^2
=
-\left\lVert
\left|\frac32;\frac32\right\rangle
\right\rVert^2
<0. J − 1 + 2 3 ; 2 3 ⟩ 2 = − 2 3 ; 2 3 ⟩ 2 < 0. これが j = 3 2 j=\frac32 j = 2 3
三つの許容基底状態の共形ウェイトは
h 0 = 0 , h 1 2 = 3 16 , h 1 = 1 2 , h_0=0,
\qquad
h_{\frac12}=\frac{3}{16},
\qquad
h_1=\frac12, h 0 = 0 , h 2 1 = 16 3 , h 1 = 2 1 , 中心電荷は
c = 3 ⋅ 2 2 + 2 = 3 2 c=\frac{3\cdot2}{2+2}=\frac32 c = 2 + 2 3 ⋅ 2 = 2 3 である。
これで、与えられた正整数レベル k k k k = 2 k=2 k = 2 0 , 1 2 , 1 0,\frac12,1 0 , 2 1 , 1 3 2 \frac32 2 3
一本の励起鎖から直接分かったのは上限の必要性と零ノルム状態の位置であり、全ての負モードを含めた商の正定値性と既約性には、先ほどの分類定理を使った。また、制限されたのは各表現の出発点のラベル j j j j ≤ k / 2 j\leq k/2 j ≤ k /2
作用で R 2 = k α ′ R^2=k\alpha' R 2 = k α ′ k k k 半径・level・表現上限はどこでつながるか
半径と表現の上限を、なぜ同じ整数が決めるのか？ WZW作用では、計量項とフラックスの結合を同じ係数でそろえると左右のカレントが保存される。この共通係数が、作用の量子化とカレント代数を通じて表現の上限にも現れる。
計量項を通常の弦の作用と比較すると R 2 = k α ′ R^2=k\alpha' R 2 = k α ′ k k k
カレント代数の中心項は、励起状態のノルムにも寄与する。スピン j j j J − 1 + J_{-1}^+ J − 1 + k − 2 j k-2j k − 2 j j ≤ k / 2 j\leq k/2 j ≤ k /2
R 2 = k α ′ , ∥ J − 1 + ∣ j ; j ⟩ ∥ 2 = ( k − 2 j ) ∥ ∣ j ; j ⟩ ∥ 2 . R^2=k\alpha',\qquad \|J_{-1}^+|j;j\rangle\|^2=(k-2j)\||j;j\rangle\|^2. R 2 = k α ′ , ∥ J − 1 + ∣ j ; j ⟩ ∥ 2 = ( k − 2 j ) ∥∣ j ; j ⟩ ∥ 2 . 参照：6.1 · 式 (6.2) –(6.7) とノルム漸化式
characterとmodular変換
レベル k = 2 k=2 k = 2 j = 0 , 1 2 , 1 j=0,\frac12,1 j = 0 , 2 1 , 1
その状態数を一つの関数にまとめたものが character である。
レベル k ∈ Z > 0 k\in\mathbb Z_{>0} k ∈ Z > 0 H j \mathcal H_j H j
j = 0 , 1 2 , 1 , … , k 2 , h j = j ( j + 1 ) k + 2 , c = 3 k k + 2 j=0,\frac12,1,\ldots,\frac{k}{2},
\qquad
h_j=\frac{j(j+1)}{k+2},
\qquad
c=\frac{3k}{k+2} j = 0 , 2 1 , 1 , … , 2 k , h j = k + 2 j ( j + 1 ) , c = k + 2 3 k である。H j \mathcal H_j H j j j j
トーラスを
C / ( Z + τ Z ) , Im τ > 0 \mathbb C/(\mathbb Z+\tau\mathbb Z),
\qquad \operatorname{Im}\tau>0 C / ( Z + τ Z ) , Im τ > 0 と書き、
q : = e 2 π i τ q:=e^{2\pi i\tau} q := e 2 πi τ と定める。specialised characterは
χ j ( τ ) : = Tr H j q L 0 − c / 24 \boxed{
\chi_j(\tau)
:=
\operatorname{Tr}_{\mathcal H_j}
q^{L_0-c/24}
} χ j ( τ ) := Tr H j q L 0 − c /24 である。L 0 L_0 L 0 h j + N h_j+N h j + N d j ( N ) d_j(N) d j ( N )
χ j ( τ ) = q h j − c / 24 ∑ N ≥ 0 d j ( N ) q N . \chi_j(\tau)
=q^{h_j-c/24}
\sum_{N\geq0}d_j(N)q^N. χ j ( τ ) = q h j − c /24 N ≥ 0 ∑ d j ( N ) q N . つまり q q q N N N J − n a J_{-n}^a J − n a n n n − c / 24 -c/24 − c /24
長方形トーラスで τ = i t \tau=it τ = i t t > 0 t>0 t > 0 q = e − 2 π t q=e^{-2\pi t} q = e − 2 π t e − 2 π t ( L 0 − c / 24 ) e^{-2\pi t(L_0-c/24)} e − 2 π t ( L 0 − c /24 ) 2 π 2\pi 2 π 0 0 0 j j j
d j ( 0 ) = 2 j + 1. d_j(0)=2j+1. d j ( 0 ) = 2 j + 1. k = 2 k=2 k = 2 j = 1 j=1 j = 1 1 1 1 ∣ 1 ; m ⟩ |1;m\rangle ∣1 ; m ⟩ m = − 1 , 0 , 1 m=-1,0,1 m = − 1 , 0 , 1 J − 1 a J_{-1}^a J − 1 a 3 × 3 = 9 3\times3=9 3 × 3 = 9 S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) 1 ⊗ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 2 1\otimes1=0\oplus1\oplus2 1 ⊗ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 2
前節で得た零ノルム状態 J − 1 + ∣ 1 ; 1 ⟩ J_{-1}^+|1;1\rangle J − 1 + ∣1 ; 1 ⟩ 2 2 2 J 0 − J_0^- J 0 − 2 2 2
grade 1 1 1 状態数 カレントから作る候補：スピン 0 , 1 , 2 0,1,2 0 , 1 , 2 1 + 3 + 5 = 9 1+3+5=9 1 + 3 + 5 = 9 除かれる零ノルムのスピン 2 2 2 5 5 5 残るスピン 0 , 1 0,1 0 , 1 1 + 3 = 4 1+3=4 1 + 3 = 4
ここでは h 1 = 1 / 2 h_1=1/2 h 1 = 1/2 c / 24 = 1 / 16 c/24=1/16 c /24 = 1/16 χ 1 ( τ ) = q 7 / 16 ( 3 + 4 q + ⋯ ) \chi_1(\tau)=q^{7/16}(3+4q+\cdots) χ 1 ( τ ) = q 7/16 ( 3 + 4 q + ⋯ )
k = 2 k=2 k = 2 例えば k = 2 k=2 k = 2 c = 3 2 c=\frac32 c = 2 3
χ 0 ( τ ) = q − 1 / 16 ( 1 + ⋯ ) , χ 1 2 ( τ ) = q 1 / 8 ( 2 + ⋯ ) , χ 1 ( τ ) = q 7 / 16 ( 3 + ⋯ ) . \begin{aligned}
\chi_0(\tau)&=q^{-1/16}(1+\cdots),\\
\chi_{\frac12}(\tau)&=q^{1/8}(2+\cdots),\\
\chi_1(\tau)&=q^{7/16}(3+\cdots).
\end{aligned} χ 0 ( τ ) χ 2 1 ( τ ) χ 1 ( τ ) = q − 1/16 ( 1 + ⋯ ) , = q 1/8 ( 2 + ⋯ ) , = q 7/16 ( 3 + ⋯ ) . 三つのcharacterは、それぞれ j = 0 , 1 2 , 1 j=0,\frac12,1 j = 0 , 2 1 , 1
k + 2 = 4 k+2=4 k + 2 = 4 c / 24 = 1 / 16 c/24=1/16 c /24 = 1/16
h 0 = 0 , h 1 / 2 = ( 1 / 2 ) ( 3 / 2 ) 4 = 3 16 , h 1 = 1 ⋅ 2 4 = 1 2 . h_0=0,\qquad h_{1/2}=\frac{(1/2)(3/2)}4=\frac3{16},\qquad h_1=\frac{1\cdot2}4=\frac12. h 0 = 0 , h 1/2 = 4 ( 1/2 ) ( 3/2 ) = 16 3 , h 1 = 4 1 ⋅ 2 = 2 1 . 各指数は順に 0 − 1 / 16 = − 1 / 16 0-1/16=-1/16 0 − 1/16 = − 1/16 3 / 16 − 1 / 16 = 1 / 8 3/16-1/16=1/8 3/16 − 1/16 = 1/8 1 / 2 − 1 / 16 = 7 / 16 1/2-1/16=7/16 1/2 − 1/16 = 7/16 2 j + 1 = 1 , 2 , 3 2j+1=1,2,3 2 j + 1 = 1 , 2 , 3
電荷付きcharacter
同じエネルギーでも、回転軸方向のスピンが異なる状態がある。通常のcharacterはそれらをまとめて数えるが、回転に対する応答を調べるには電荷も記録しておくとよい。6.2節では、開弦の二つの端点で、左右のcurrentの反射の仕方を違える場合を考える。その違いは開弦のエネルギーにどう現れるだろうか。
characterに電荷の情報も含めるには？ L 0 L_0 L 0 J 0 3 J_0^3 J 0 3 J 3 = 2 J 0 J^3=\sqrt2J^0 J 3 = 2 J 0 ∣ j ; m ⟩ |j;m\rangle ∣ j ; m ⟩ J 0 3 J_0^3 J 0 3 2 m \sqrt2m 2 m J 0 3 J_0^3 J 0 3
χ j ( z , τ , u ) : = e − 2 π i k u Tr H j ( q L 0 − c / 24 e − 2 π i z J 0 3 ) \boxed{
\chi_j(z,\tau,u)
:=
e^{-2\pi iku}
\operatorname{Tr}_{\mathcal H_j}
\left(
q^{L_0-c/24}e^{-2\pi izJ_0^3}
\right)
} χ j ( z , τ , u ) := e − 2 πik u Tr H j ( q L 0 − c /24 e − 2 πi z J 0 3 ) と定める。z z z J 0 3 J_0^3 J 0 3 u u u k k k
z = u = 0 z=u=0 z = u = 0 1 1 1 3 3 3
e 2 π i 2 z + 1 + e − 2 π i 2 z e^{2\pi i\sqrt2z}+1+e^{-2\pi i\sqrt2z} e 2 πi 2 z + 1 + e − 2 πi 2 z として区別される。回転軸の両向きと電荷ゼロの成分が、異なる重みを持つことが見える。
補助変数 u u u (6.8) –(6.10) に与えられたcharacterの結果として用いる。
参照用データ：零ノルム状態を除いて数えるcharacterの閉形式 (6.8), (6.10) characterの閉形式には、負モードで作る候補から零ノルム部分加群を除く効果が含まれる。以下はWeyl–Kac character公式をSU(2)へ適用した表現論データとして採用する（原著 p.239, 式 (6.8) , (6.10) ）。この無限和の機械的評価を、状態を構成した計算そのものとは区別する。
まず、電荷付きの式に使うtheta関数を定める。正整数 K K K ℓ \ell ℓ
Θ ℓ ( K ) ( z , τ , u ) : = e − 2 π i K u ∑ r ∈ Z + ℓ / ( 2 K ) q K r 2 e − 2 π i 2 K r z , q = e 2 π i τ \Theta_\ell^{(K)}(z,\tau,u)
:=e^{-2\pi iKu}\sum_{r\in\mathbb Z+\ell/(2K)}
q^{Kr^2}e^{-2\pi i\sqrt2Krz},
\qquad q=e^{2\pi i\tau} Θ ℓ ( K ) ( z , τ , u ) := e − 2 πi K u r ∈ Z + ℓ / ( 2 K ) ∑ q K r 2 e − 2 πi 2 Krz , q = e 2 πi τ とする。r r r ℓ / ( 2 K ) \ell/(2K) ℓ / ( 2 K ) z z z J 0 3 = 2 J 0 0 J_0^3=\sqrt2J_0^0 J 0 3 = 2 J 0 0 J 0 0 J_0^0 J 0 0 2 z \sqrt2z 2 z u u u
この規約で式 (6.8) は
χ j ( z , τ , u ) = e − 2 π i k u Tr H j ( q L 0 − c / 24 e − 2 π i z J 0 3 ) = Θ 2 j + 1 ( k + 2 ) − Θ − 2 j − 1 ( k + 2 ) Θ 1 ( 2 ) − Θ − 1 ( 2 ) ( z , τ , u ) . (6.8) \chi_j(z,\tau,u)
=e^{-2\pi iku}\operatorname{Tr}_{\mathcal H_j}
\left(q^{L_0-c/24}e^{-2\pi izJ_0^3}\right)
=\frac{\Theta_{2j+1}^{(k+2)}-\Theta_{-2j-1}^{(k+2)}}
{\Theta_1^{(2)}-\Theta_{-1}^{(2)}}(z,\tau,u).
\tag{6.8} χ j ( z , τ , u ) = e − 2 πik u Tr H j ( q L 0 − c /24 e − 2 πi z J 0 3 ) = Θ 1 ( 2 ) − Θ − 1 ( 2 ) Θ 2 j + 1 ( k + 2 ) − Θ − 2 j − 1 ( k + 2 ) ( z , τ , u ) . ( 6.8 ) 比の先頭の電荷依存性は sin [ π 2 ( 2 j + 1 ) z ] / sin ( π 2 z ) = ∑ m = − j j e − 2 π i 2 m z \sin[\pi\sqrt2(2j+1)z]/\sin(\pi\sqrt2z)=\sum_{m=-j}^j e^{-2\pi i\sqrt2 mz} sin [ π 2 ( 2 j + 1 ) z ] / sin ( π 2 z ) = ∑ m = − j j e − 2 πi 2 m z q q q
電荷を記録しない式は、補助変数 u = 0 u=0 u = 0 z → 0 z\to0 z → 0
η ( q ) = q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) \eta(q)=q^{1/24}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n) η ( q ) = q 1/24 n = 1 ∏ ∞ ( 1 − q n ) とし、和に現れる整数を N j ( m ) : = 2 ( k + 2 ) m + 2 j + 1 N_j(m):=2(k+2)m+2j+1 N j ( m ) := 2 ( k + 2 ) m + 2 j + 1 (6.10) は
χ j ( τ ) = 1 η ( q ) 3 ∑ m ∈ Z N j ( m ) q N j ( m ) 2 / [ 4 ( k + 2 ) ] (6.10) \boxed{\chi_j(\tau)=\frac1{\eta(q)^3}
\sum_{m\in\mathbb Z}N_j(m)q^{N_j(m)^2/[4(k+2)]}}
\tag{6.10} χ j ( τ ) = η ( q ) 3 1 m ∈ Z ∑ N j ( m ) q N j ( m ) 2 / [ 4 ( k + 2 )] ( 6.10 ) である。N j ( m ) N_j(m) N j ( m ) m = 0 m=0 m = 0 η ( q ) − 3 \eta(q)^{-3} η ( q ) − 3
( 2 j + 1 ) 2 4 ( k + 2 ) − 1 8 = j ( j + 1 ) k + 2 − 3 k 24 ( k + 2 ) = h j − c 24 , \frac{(2j+1)^2}{4(k+2)}-\frac18
=\frac{j(j+1)}{k+2}-\frac{3k}{24(k+2)}
=h_j-\frac c{24}, 4 ( k + 2 ) ( 2 j + 1 ) 2 − 8 1 = k + 2 j ( j + 1 ) − 24 ( k + 2 ) 3 k = h j − 24 c , 係数は 2 j + 1 2j+1 2 j + 1 d j ( N ) d_j(N) d j ( N )
トーラスの周期交換とmodular S S S
character χ i ( τ ) \chi_i(\tau) χ i ( τ )
w ∼ w + 1 , w ∼ w + τ w\sim w+1,
\qquad
w\sim w+\tau w ∼ w + 1 , w ∼ w + τ で定まる二つの基本周期がある。どちらを空間方向、どちらをEuclid時間方向として切るかは一意ではない。modular変換
S : τ ⟼ − 1 τ S:\quad \tau\longmapsto-\frac1\tau S : τ ⟼ − τ 1 は、向きを保ちながら二周期の役割を交換する。例えば τ = i t \tau=it τ = i t − 1 / τ = i / t -1/\tau=i/t − 1/ τ = i / t
交換前の χ i ( τ ) \chi_i(\tau) χ i ( τ ) χ i ( − 1 / τ ) \chi_i(-1/\tau) χ i ( − 1/ τ ) S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k k + 1 k+1 k + 1
エネルギーだけを数えるspecialised characterについて
χ i ( − 1 τ ) = ∑ j S i j χ j ( τ ) \boxed{
\chi_i\!\left(-\frac1\tau\right)
=
\sum_jS_{ij}\chi_j(\tau)
} χ i ( − τ 1 ) = j ∑ S ij χ j ( τ ) となる。
電荷付きcharacterのmodular変換 「電荷付きcharacter」で定義した電荷変数 z z z u u u
χ i ( z τ , − 1 τ , u + z 2 2 τ ) = ∑ j S i j χ j ( z , τ , u ) . \chi_i\!\left(\frac z\tau,-\frac1\tau,u+\frac{z^2}{2\tau}\right)
=\sum_jS_{ij}\chi_j(z,\tau,u). χ i ( τ z , − τ 1 , u + 2 τ z 2 ) = j ∑ S ij χ j ( z , τ , u ) . u u u z 2 / τ z^2/\tau z 2 / τ u = z = 0 u=z=0 u = z = 0
theta関数のPoisson再和公式から得られる S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k
S i j = 2 k + 2 sin [ π ( 2 i + 1 ) ( 2 j + 1 ) k + 2 ] i , j = 0 , 1 2 , … , k 2 . (6.9) \boxed{
S_{ij}
=
\sqrt{\frac{2}{k+2}}
\sin\!\left[
\frac{\pi(2i+1)(2j+1)}{k+2}
\right]
}
\qquad
i,j=0,\frac12,\ldots,\frac k2.
\tag{6.9} S ij = k + 2 2 sin [ k + 2 π ( 2 i + 1 ) ( 2 j + 1 ) ] i , j = 0 , 2 1 , … , 2 k . ( 6.9 ) この公式は特殊関数の変換公式として採用する。
行列要素 S i j S_{ij} S ij i i i j j j
S S S 半整数ラベルの代わりに
a : = 2 i + 1 , b : = 2 j + 1 a:=2i+1,
\qquad
b:=2j+1 a := 2 i + 1 , b := 2 j + 1 を使う。i , j = 0 , 1 2 , … , k 2 i,j=0,\frac12,\ldots,\frac k2 i , j = 0 , 2 1 , … , 2 k a , b a,b a , b
1 , 2 , … , k + 1 1,2,\ldots,k+1 1 , 2 , … , k + 1 をすべて動く。すると、元の添字との対応を残して書けば
S a − 1 2 , b − 1 2 = 2 k + 2 sin π a b k + 2 S_{\frac{a-1}{2},\frac{b-1}{2}}
=
\sqrt{\frac{2}{k+2}}
\sin\frac{\pi ab}{k+2} S 2 a − 1 , 2 b − 1 = k + 2 2 sin k + 2 πab は、両端 a = 0 , k + 2 a=0,k+2 a = 0 , k + 2
これらの波の内積は
∑ b = 1 k + 1 sin π a b k + 2 sin π a ′ b k + 2 = k + 2 2 δ a a ′ \sum_{b=1}^{k+1}\sin\frac{\pi ab}{k+2}\sin\frac{\pi a'b}{k+2}
=\frac{k+2}{2}\delta_{aa'} b = 1 ∑ k + 1 sin k + 2 πab sin k + 2 π a ′ b = 2 k + 2 δ a a ′ である。正弦の積を二つの余弦の差に直し、それぞれを有限等比級数で足すとこの値になる。従って異なる波は直交し、係数 2 / ( k + 2 ) \sqrt{2/(k+2)} 2/ ( k + 2 )
S T S = 1. S^{\mathsf T}S=\mathbf1. S T S = 1 . 有限和から正弦波の直交性と規格化を確かめる L : = k + 2 L:=k+2 L := k + 2 1 ≤ a , a ′ ≤ L − 1 1\leq a,a'\leq L-1 1 ≤ a , a ′ ≤ L − 1
T a a ′ : = ∑ b = 1 L − 1 sin π a b L sin π a ′ b L T_{aa'}:=\sum_{b=1}^{L-1}\sin\frac{\pi ab}{L}\sin\frac{\pi a'b}{L} T a a ′ := b = 1 ∑ L − 1 sin L πab sin L π a ′ b を求めればよい。積を和にする公式から
2 T a a ′ = C a − a ′ − C a + a ′ , C m : = ∑ b = 1 L − 1 cos π m b L . 2T_{aa'}=C_{a-a'}-C_{a+a'},\qquad
C_m:=\sum_{b=1}^{L-1}\cos\frac{\pi mb}{L}. 2 T a a ′ = C a − a ′ − C a + a ′ , C m := b = 1 ∑ L − 1 cos L πmb . まず C 0 = L − 1 C_0=L-1 C 0 = L − 1 m ≠ 0 m\neq0 m = 0 ∣ m ∣ < 2 L |m|<2L ∣ m ∣ < 2 L
m m m b b b L − b L-b L − b
cos π m ( L − b ) L = cos ( π m − π m b L ) = − cos π m b L \cos\frac{\pi m(L-b)}L
=\cos\left(\pi m-\frac{\pi mb}L\right)
=-\cos\frac{\pi mb}L cos L πm ( L − b ) = cos ( πm − L πmb ) = − cos L πmb となり打ち消す。L L L cos ( π m / 2 ) = 0 \cos(\pi m/2)=0 cos ( πm /2 ) = 0 C m = 0 C_m=0 C m = 0
m m m r : = e i π m / L r:=e^{i\pi m/L} r := e iπm / L r L = 1 r^L=1 r L = 1 r ≠ 1 r\neq1 r = 1
∑ b = 0 L − 1 r b = 1 − r L 1 − r = 0. \sum_{b=0}^{L-1}r^b=\frac{1-r^L}{1-r}=0. b = 0 ∑ L − 1 r b = 1 − r 1 − r L = 0. b = 0 b=0 b = 0 C m = − 1 C_m=-1 C m = − 1 m m m
a ≠ a ′ a\neq a' a = a ′ a − a ′ a-a' a − a ′ a + a ′ a+a' a + a ′ C C C T a a ′ = 0 T_{aa'}=0 T a a ′ = 0 a = a ′ a=a' a = a ′ a − a ′ = 0 a-a'=0 a − a ′ = 0 a + a ′ = 2 a a+a'=2a a + a ′ = 2 a
2 T a a = ( L − 1 ) − ( − 1 ) = L . 2T_{aa}=(L-1)-(-1)=L. 2 T aa = ( L − 1 ) − ( − 1 ) = L . 両方をまとめると
∑ b = 1 k + 1 sin π a b k + 2 sin π a ′ b k + 2 = k + 2 2 δ a a ′ . \sum_{b=1}^{k+1}
\sin\frac{\pi ab}{k+2}\sin\frac{\pi a'b}{k+2}
=\frac{k+2}{2}\delta_{aa'}. b = 1 ∑ k + 1 sin k + 2 πab sin k + 2 π a ′ b = 2 k + 2 δ a a ′ . S S S 2 / ( k + 2 ) \sqrt{2/(k+2)} 2/ ( k + 2 ) 2 / ( k + 2 ) 2/(k+2) 2/ ( k + 2 ) δ a a ′ \delta_{aa'} δ a a ′ S S T = 1 SS^{\mathsf T}=\mathbf1 S S T = 1 S T S = 1 S^{\mathsf T}S=\mathbf1 S T S = 1
S S S
S − 1 = S T = S , S 2 = 1 S^{-1}=S^{\mathsf T}=S,
\qquad
S^2=\mathbf1 S − 1 = S T = S , S 2 = 1 となる。
共役表現とは、群の変換行列を複素共役した変換則である。SU(2)の有限次元既約表現は次元 2 j + 1 2j+1 2 j + 1 j j j j + = j j^+=j j + = j S 2 = C S^2=C S 2 = C C C C
個々のcharacterが周期交換で不変になるわけではない。変換されるのは k + 1 k+1 k + 1 S i j S_{ij} S ij q q q
この二つの数え方を結ぶと、直接には多数の励起を足す問題を、低いエネルギーの状態から調べられる。空間の円周を固定して τ = i t \tau=it τ = i t t t t i / t i/t i / t τ = i / t \tau=i/t τ = i / t χ i ( i t ) = ∑ j S i j χ j ( i / t ) \chi_i(it)=\sum_jS_{ij}\chi_j(i/t) χ i ( i t ) = ∑ j S ij χ j ( i / t )
低温の真空から高温のcharacterを求める 上の変換則に τ = i / t \tau=i/t τ = i / t
χ i ( i t ) = ∑ j S i j χ j ( i / t ) . \chi_i(it)=\sum_j S_{ij}\chi_j(i/t). χ i ( i t ) = j ∑ S ij χ j ( i / t ) . 右辺の展開変数は q ′ = e − 2 π / t q'=e^{-2\pi/t} q ′ = e − 2 π / t t → 0 + t\to0^+ t → 0 + q ′ → 0 q'\to0 q ′ → 0 j > 0 j>0 j > 0 h j > 0 h_j>0 h j > 0 h 0 = 0 h_0=0 h 0 = 0 d 0 ( 0 ) = 1 d_0(0)=1 d 0 ( 0 ) = 1
χ 0 ( i / t ) ∼ e π c / ( 12 t ) , χ i ( i t ) ∼ S i 0 e π c / ( 12 t ) . \chi_0(i/t)\sim e^{\pi c/(12t)},
\qquad
\chi_i(it)\sim S_{i0}\,e^{\pi c/(12t)}. χ 0 ( i / t ) ∼ e π c / ( 12 t ) , χ i ( i t ) ∼ S i 0 e π c / ( 12 t ) . 固定した k k k S i 0 > 0 S_{i0}>0 S i 0 > 0 S i 0 S_{i0} S i 0
k = 2 k=2 k = 2 0 , 1 2 , 1 0,\frac12,1 0 , 2 1 , 1
S = ( 1 2 1 2 1 2 1 2 0 − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 ) \boxed{
S=
\begin{pmatrix}
\frac12&\frac1{\sqrt2}&\frac12\\
\frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\\
\frac12&-\frac1{\sqrt2}&\frac12
\end{pmatrix}
} S = 2 1 2 1 2 1 2 1 0 − 2 1 2 1 − 2 1 2 1 である。例えば中央の行を使えば、
χ 1 2 ( − 1 τ ) = χ 0 ( τ ) − χ 1 ( τ ) 2 \chi_{\frac12}\!\left(-\frac1\tau\right)
=\frac{\chi_0(\tau)-\chi_1(\tau)}{\sqrt2} χ 2 1 ( − τ 1 ) = 2 χ 0 ( τ ) − χ 1 ( τ ) と、交換後の一つのcharacterを交換前の二つから再構成できる。負号があるのは、右辺が状態の部分集合の足し合わせではなく、切り方を変えるための振幅の線形結合だからである。もう一度交換すれば S 2 = 1 S^2=\mathbf1 S 2 = 1
この行列の各列は、三点の有限区間に許された三つの定在波でもある。周期交換による状態の数え直しは分かったが、二つの場を近づけたときに現れる表現はまだ求めていない。その局所的な結合を調べると、同じ正弦波がfusion行列の固有モードとして現れる。
周期交換を二度行うと元へ戻ることと、表現の自己共役性 一般の有理CFTでは、modular変換の関係 S 2 = C S^2=C S 2 = C C C C S 2 = 1 S^2=\mathbf1 S 2 = 1 S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k
表現の共役 とは、各群要素 g g g D j ( g ) D_j(g) D j ( g ) D j ( g ) ∗ D_j(g)^* D j ( g ) ∗ j + j^+ j + + + +
S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) j j j 2 j + 1 2j+1 2 j + 1
2 j + + 1 = dim V j ‾ = dim V j = 2 j + 1 ⟹ j + = j . 2j^++1=\dim\overline{V_j}=\dim V_j=2j+1
\quad\Longrightarrow\quad j^+=j. 2 j + + 1 = dim V j = dim V j = 2 j + 1 ⟹ j + = j . このように、複素共役した変換行列が、基底を取り直すと元の変換行列に一致する性質を自己共役 という。等しいのは表現の種類を表すラベルであり、基底を固定した行列の各成分が実数である必要はない。
複素共役してもスピン 1 / 2 1/2 1/2 基本表現の行列を
g = ( a b − b ∗ a ∗ ) , ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 = 1 g=\begin{pmatrix}a&b\\-b^*&a^*\end{pmatrix},
\qquad |a|^2+|b|^2=1 g = ( a − b ∗ b a ∗ ) , ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 = 1 と書く。二成分を交換し、片方の符号を変えるPauli行列の組合せ
i σ 2 = ( 0 1 − 1 0 ) i\sigma_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} i σ 2 = ( 0 − 1 1 0 ) を用いると、直接の掛け算で
( i σ 2 ) g ( i σ 2 ) − 1 = ( a ∗ b ∗ − b a ) = g ∗ (i\sigma_2)g(i\sigma_2)^{-1}
=\begin{pmatrix}a^*&b^*\\-b&a\end{pmatrix}
=g^* ( i σ 2 ) g ( i σ 2 ) − 1 = ( a ∗ − b b ∗ a ) = g ∗ となる。同じ i σ 2 i\sigma_2 i σ 2 g g g 1 / 2 1/2 1/2 ( 1 / 2 ) + = 1 / 2 (1/2)^+=1/2 ( 1/2 ) + = 1/2
S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k j j j j j j C = 1 C=\mathbf1 C = 1 S 2 S^2 S 2
fusionとfusing行列
ここまでは、一つの表現に属する状態を数え、その数え方がトーラスの周期交換でどう変わるかを調べた。次に、異なる表現の場を近づけたときに現れる表現を求める。この局所的な結合の問題も、先ほどの S S S
表現 i i i j j j r r r
N i j r ∈ Z ≥ 0 N_{ij}{}^r\in\mathbb Z_{\geq0} N ij r ∈ Z ≥ 0 と書く。この結び方をchiral intertwinerと呼び、途中に現れる表現の選択をchannelと呼ぶ。fusion積は
[ i ] ⋆ [ j ] = ∑ r N i j r [ r ] [i]\star[j]
=
\sum_rN_{ij}{}^r[r] [ i ] ⋆ [ j ] = r ∑ N ij r [ r ] である。N i j r ≠ 0 N_{ij}{}^r\neq0 N ij r = 0 i i i j j j r r r
これは通常の有限次元 S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) s u ( 2 ) \mathfrak{su}(2) su ( 2 )
固定した i i i
( N i ) j r : = N i j r (N_i)_j{}^r:=N_{ij}{}^r ( N i ) j r := N ij r と置けば、N i N_i N i [ i ] [i] [ i ]
Verlinde公式とfusion行列
第3章で導入されたVerlinde公式は
N i j r = ∑ ℓ S i ℓ S j ℓ S r ℓ ∗ S 0 ℓ (3.76) \boxed{
N_{ij}{}^r
=
\sum_{\ell}
\frac{
S_{i\ell}S_{j\ell}S_{r\ell}^{*}
}{S_{0\ell}}
}
\tag{3.76} N ij r = ℓ ∑ S 0 ℓ S i ℓ S j ℓ S r ℓ ∗ ( 3.76 ) である。和は全可積分表現 ℓ = 0 , 1 2 , … , k 2 \ell=0,\frac12,\ldots,\frac k2 ℓ = 0 , 2 1 , … , 2 k 0 0 0 トーラスの周期交換から得た同じ S S S を述べる。両者を結ぶのは、場を含む曲面を異なる順序で切り分け、途中状態を足し合わせても同じ振幅を得るというCFTの整合性である。局所的に二つの挿入をまとめればfusionの中間表現が現れ、トーラスの周期を入れ替えて状態を数えれば S S S S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k 大域的な切り方が局所OPEを知る理由
トーラスの周期交換から、なぜOPEの組合せが分かるのか？ 同じ曲面上の相関関数は、途中状態をどの順序でまとめて計算しても一致しなければならない。その整合性が、局所的なfusionとトーラスの周期交換を結び付ける。
曲面を、二つの入口と一つの出口を持つ三つ穴の部分に分けて考える。それぞれの切り口で表現を指定し、内部の切り口では許される中間状態を足し合わせる。一つの部分でどの表現を結び付けられるかを数えるのがfusion係数である。
一方、トーラスを別の周期に沿って切ると、同じ状態の数え方が S S S S S S S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k (3.76) として使える。S S S
N i = S diag ℓ ( S i ℓ S 0 ℓ ) S − 1 . N_i=S\,\operatorname{diag}_{\ell}\!\left(\frac{S_{i\ell}}{S_{0\ell}}\right)S^{-1}. N i = S diag ℓ ( S 0 ℓ S i ℓ ) S − 1 . 参照：6.1 · 式 (6.9) –(6.11) とVerlinde公式
Verlinde公式の和を三つの行列の積として読む。S i ℓ / S 0 ℓ S_{i\ell}/S_{0\ell} S i ℓ / S 0 ℓ
N i = S diag ℓ ( S i ℓ S 0 ℓ ) S − 1 \boxed{
N_i
=
S\,\operatorname{diag}_{\ell}
\left(\frac{S_{i\ell}}{S_{0\ell}}\right)S^{-1}
} N i = S diag ℓ ( S 0 ℓ S i ℓ ) S − 1 である。S S S ℓ \ell ℓ N i N_i N i N i N_i N i S i ℓ / S 0 ℓ S_{i\ell}/S_{0\ell} S i ℓ / S 0 ℓ
modular S S S S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k 0 < π ( 2 ℓ + 1 ) / ( k + 2 ) < π 0<\pi(2\ell+1)/(k+2)<\pi 0 < π ( 2 ℓ + 1 ) / ( k + 2 ) < π S 0 ℓ > 0 S_{0\ell}>0 S 0 ℓ > 0
この式を行列の形へ書き直す。対角行列
( D i ) ℓ ℓ ′ : = δ ℓ ℓ ′ S i ℓ S 0 ℓ (D_i)_{\ell\ell'}
:=
\delta_{\ell\ell'}
\frac{S_{i\ell}}{S_{0\ell}} ( D i ) ℓ ℓ ′ := δ ℓ ℓ ′ S 0 ℓ S i ℓ を定めると
( S D i S † ) j r \displaystyle (S D_i S^{\dagger})_j{}^r ( S D i S † ) j r = ∑ ℓ , ℓ ′ S j ℓ ( D i ) ℓ ℓ ′ ( S † ) ℓ ′ r \displaystyle \sum_{\ell,\ell'} S_{j\ell} (D_i)_{\ell\ell'} (S^\dagger)_{\ell'r} ℓ , ℓ ′ ∑ S j ℓ ( D i ) ℓ ℓ ′ ( S † ) ℓ ′ r = ∑ ℓ , ℓ ′ S j ℓ δ ℓ ℓ ′ S i ℓ S 0 ℓ ( S † ) ℓ ′ r \displaystyle \sum_{\ell,\ell'} S_{j\ell} \delta_{\ell\ell'}\frac{S_{i\ell}}{S_{0\ell}} (S^\dagger)_{\ell'r} ℓ , ℓ ′ ∑ S j ℓ δ ℓ ℓ ′ S 0 ℓ S i ℓ ( S † ) ℓ ′ r = ∑ ℓ S j ℓ S i ℓ S 0 ℓ ( S † ) ℓ r \displaystyle \sum_{\ell} S_{j\ell} \frac{S_{i\ell}}{S_{0\ell}} (S^\dagger)_{\ell r} ℓ ∑ S j ℓ S 0 ℓ S i ℓ ( S † ) ℓ r = ∑ ℓ S j ℓ S i ℓ S 0 ℓ S r ℓ ∗ \displaystyle \sum_{\ell} S_{j\ell} \frac{S_{i\ell}}{S_{0\ell}} S_{r\ell}^* ℓ ∑ S j ℓ S 0 ℓ S i ℓ S r ℓ ∗ = N i j r \displaystyle N_{ij}{}^r N ij r 行列の各成分がVerlinde公式に等しいので N i = S D i S † N_i=SD_iS^\dagger N i = S D i S † S † = S − 1 S^\dagger=S^{-1} S † = S − 1
さらに、S S S m m m N i N_i N i
( N i S ) j m = ∑ r N i j r S r m = ∑ r ∑ ℓ S i ℓ S j ℓ S r ℓ ∗ S 0 ℓ S r m = ∑ ℓ S i ℓ S j ℓ S 0 ℓ ( ∑ r S r ℓ ∗ S r m ) = ∑ ℓ S i ℓ S j ℓ S 0 ℓ δ ℓ m = S i m S 0 m S j m . \begin{aligned}
(N_iS)_{jm}
&=\sum_rN_{ij}{}^rS_{rm}\\
&=\sum_r\sum_\ell
\frac{S_{i\ell}S_{j\ell}S_{r\ell}^{*}}{S_{0\ell}}S_{rm}\\
&=\sum_\ell\frac{S_{i\ell}S_{j\ell}}{S_{0\ell}}
\left(\sum_rS_{r\ell}^{*}S_{rm}\right)\\
&=\sum_\ell\frac{S_{i\ell}S_{j\ell}}{S_{0\ell}}\delta_{\ell m}\\
&=\frac{S_{im}}{S_{0m}}S_{jm}.
\end{aligned} ( N i S ) jm = r ∑ N ij r S r m = r ∑ ℓ ∑ S 0 ℓ S i ℓ S j ℓ S r ℓ ∗ S r m = ℓ ∑ S 0 ℓ S i ℓ S j ℓ ( r ∑ S r ℓ ∗ S r m ) = ℓ ∑ S 0 ℓ S i ℓ S j ℓ δ ℓ m = S 0 m S im S jm . 三行目では r r r ( S † S ) ℓ m (S^\dagger S)_{\ell m} ( S † S ) ℓ m δ ℓ m \delta_{\ell m} δ ℓ m ℓ = m \ell=m ℓ = m m m m S i m / S 0 m S_{im}/S_{0m} S im / S 0 m
これはVerlinde公式を入力として行った線形代数の計算であり、Verlinde定理自体の証明ではない。
基本表現とのfusionと有限鎖
k = 2 k=2 k = 2 0 , 1 2 , 1 0,\frac12,1 0 , 2 1 , 1
N 1 2 = ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ) . N_{\frac12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}. N 2 1 = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . ラベルを 0 ⟷ 1 2 ⟷ 1 0\longleftrightarrow\frac12\longleftrightarrow1 0 ⟷ 2 1 ⟷ 1 1 2 \frac12 2 1 S S S k k k
一般の k k k
S 1 2 , ℓ S 0 ℓ = sin [ 2 π ( 2 ℓ + 1 ) / ( k + 2 ) ] sin [ π ( 2 ℓ + 1 ) / ( k + 2 ) ] = 2 cos π ( 2 ℓ + 1 ) k + 2 \frac{S_{\frac12,\ell}}{S_{0\ell}}
=\frac{\sin[2\pi(2\ell+1)/(k+2)]}{\sin[\pi(2\ell+1)/(k+2)]}
=2\cos\frac{\pi(2\ell+1)}{k+2} S 0 ℓ S 2 1 , ℓ = sin [ π ( 2 ℓ + 1 ) / ( k + 2 )] sin [ 2 π ( 2 ℓ + 1 ) / ( k + 2 )] = 2 cos k + 2 π ( 2 ℓ + 1 ) となる。一方、許容ラベルの両隣だけを1で結ぶ行列 A A A A j r = 1 A_j{}^r=1 A j r = 1 ∣ j − r ∣ = 1 / 2 |j-r|=1/2 ∣ j − r ∣ = 1/2 A A A
( A S ) j ℓ = S j − 1 2 , ℓ + S j + 1 2 , ℓ = 2 cos π ( 2 ℓ + 1 ) k + 2 S j ℓ (AS)_{j\ell}=S_{j-\frac12,\ell}+S_{j+\frac12,\ell}
=2\cos\frac{\pi(2\ell+1)}{k+2}\,S_{j\ell} ( A S ) j ℓ = S j − 2 1 , ℓ + S j + 2 1 , ℓ = 2 cos k + 2 π ( 2 ℓ + 1 ) S j ℓ が成り立つ。許容区間の外では S − 1 / 2 , ℓ = 0 S_{-1/2,\ell}=0 S − 1/2 , ℓ = 0 S ( k + 1 ) / 2 , ℓ = 0 S_{(k+1)/2,\ell}=0 S ( k + 1 ) /2 , ℓ = 0 A A A N 1 / 2 N_{1/2} N 1/2 S S S A S = N 1 / 2 S AS=N_{1/2}S A S = N 1/2 S S − 1 S^{-1} S − 1 A = N 1 / 2 A=N_{1/2} A = N 1/2
基本表現とのfusionが、有限鎖の隣接行列になる理由 i = 1 2 i=\frac12 i = 2 1
x ℓ : = π ( 2 ℓ + 1 ) k + 2 x_\ell
:=
\frac{\pi(2\ell+1)}{k+2} x ℓ := k + 2 π ( 2 ℓ + 1 ) と置いてラベルすると、固有値は
S 1 2 , ℓ S 0 ℓ = sin ( 2 x ℓ ) sin x ℓ = 2 cos x ℓ . \begin{aligned}
\frac{S_{\frac12,\ell}}{S_{0\ell}}
&=
\frac{
\sin\!\left(2x_\ell\right)
}{
\sin x_\ell
}\\
&=2\cos x_\ell.
\end{aligned} S 0 ℓ S 2 1 , ℓ = sin x ℓ sin ( 2 x ℓ ) = 2 cos x ℓ . ここで、k + 1 k+1 k + 1 a = 1 , … , k + 1 a=1,\ldots,k+1 a = 1 , … , k + 1 a a a
j = a − 1 2 j=\frac{a-1}{2} j = 2 a − 1 を表す。隣接点だけを結ぶ行列 A A A
A a a ′ = { 1 , ∣ a − a ′ ∣ = 1 , 0 , otherwise A_{aa'}
=
\begin{cases}
1,&|a-a'|=1,\\
0,&\text{otherwise}
\end{cases} A a a ′ = { 1 , 0 , ∣ a − a ′ ∣ = 1 , otherwise と定める。境界の外では v 0 = v k + 2 = 0 v_0=v_{k+2}=0 v 0 = v k + 2 = 0
v a ( ℓ ) : = 2 k + 2 sin ( a x ℓ ) = S a − 1 2 , ℓ v_a^{(\ell)}
:=
\sqrt{\frac{2}{k+2}}
\sin(ax_\ell)
=S_{\frac{a-1}{2},\ell} v a ( ℓ ) := k + 2 2 sin ( a x ℓ ) = S 2 a − 1 , ℓ と置くと
( A v ( ℓ ) ) a \displaystyle (Av^{(\ell)})_a ( A v ( ℓ ) ) a = v a − 1 ( ℓ ) + v a + 1 ( ℓ ) \displaystyle v_{a-1}^{(\ell)} + v_{a+1}^{(\ell)} v a − 1 ( ℓ ) + v a + 1 ( ℓ ) = 2 k + 2 sin ( ( a − 1 ) x ℓ ) + v a + 1 ( ℓ ) \displaystyle \sqrt{\frac{2}{k+2}}\sin((a-1)x_\ell) + v_{a+1}^{(\ell)} k + 2 2 sin (( a − 1 ) x ℓ ) + v a + 1 ( ℓ ) = 2 k + 2 sin ( ( a − 1 ) x ℓ ) + 2 k + 2 sin ( ( a + 1 ) x ℓ ) \displaystyle \sqrt{\frac{2}{k+2}}\sin((a-1)x_\ell) + \sqrt{\frac{2}{k+2}}\sin((a+1)x_\ell) k + 2 2 sin (( a − 1 ) x ℓ ) + k + 2 2 sin (( a + 1 ) x ℓ ) = 2 k + 2 [ sin ( ( a − 1 ) x ℓ ) + sin ( ( a + 1 ) x ℓ ) ] \displaystyle \sqrt{\frac{2}{k+2}} \left[\sin((a-1)x_\ell)+\sin((a+1)x_\ell)\right] k + 2 2 [ sin (( a − 1 ) x ℓ ) + sin (( a + 1 ) x ℓ ) ] = 2 k + 2 2 cos x ℓ sin ( a x ℓ ) \displaystyle \sqrt{\frac{2}{k+2}} 2\cos x_\ell\,\sin(ax_\ell) k + 2 2 2 cos x ℓ sin ( a x ℓ ) = 2 cos x ℓ v a ( ℓ ) \displaystyle 2\cos x_\ell\, v_a^{(\ell)} 2 cos x ℓ v a ( ℓ ) つまり A A A N 1 2 N_{\frac12} N 2 1
N 1 2 = A \boxed{N_{\frac12}=A} N 2 1 = A である。特に k = 2 k=2 k = 2
x 0 = π 4 , x 1 2 = π 2 , x 1 = 3 π 4 x_0=\frac\pi4,
\qquad
x_{\frac12}=\frac\pi2,
\qquad
x_1=\frac{3\pi}{4} x 0 = 4 π , x 2 1 = 2 π , x 1 = 4 3 π なので、三つの固有値は 2 , 0 , − 2 \sqrt2,0,-\sqrt2 2 , 0 , − 2 S S S k = 2 k=2 k = 2 S S S
N 1 2 S = S diag ( 2 , 0 , − 2 ) N_{\frac12}S
=S\,\operatorname{diag}(\sqrt2,0,-\sqrt2) N 2 1 S = S diag ( 2 , 0 , − 2 ) を満たす。
境界条件も確認する。左端では sin ( 0 x ℓ ) = 0 \sin(0x_\ell)=0 sin ( 0 x ℓ ) = 0
sin ( ( k + 2 ) x ℓ ) = sin ( π ( 2 ℓ + 1 ) ) = 0 \sin((k+2)x_\ell)=\sin(\pi(2\ell+1))=0 sin (( k + 2 ) x ℓ ) = sin ( π ( 2 ℓ + 1 )) = 0 である。2 ℓ + 1 2\ell+1 2 ℓ + 1 a = 1 a=1 a = 1 v a − 1 v_{a-1} v a − 1 a = k + 1 a=k+1 a = k + 1 v a + 1 v_{a+1} v a + 1
「同じ固有ベクトルと固有値」から行列が等しいことも、A S = S D 1 / 2 AS=SD_{1/2} A S = S D 1/2 S − 1 S^{-1} S − 1
A = S D 1 / 2 S − 1 = N 1 / 2 A=SD_{1/2}S^{-1}=N_{1/2} A = S D 1/2 S − 1 = N 1/2 と直接確認できる。
一般の k k k
1 2 ⋆ j = ( j − 1 2 ) ⊕ ( j + 1 2 ) \boxed{
\frac12\star j
=
\left(j-\frac12\right)
\oplus
\left(j+\frac12\right)
} 2 1 ⋆ j = ( j − 2 1 ) ⊕ ( j + 2 1 ) となる。ただし許容区間
0 ≤ j ≤ k 2 0\leq j\leq\frac k2 0 ≤ j ≤ 2 k の外へ出る項は存在しない。したがって j = 0 j=0 j = 0 j = k / 2 j=k/2 j = k /2
基本表現 j = 1 2 j=\frac12 j = 2 1 N 1 2 N_{\frac12} N 2 1 N i N_i N i S S S S S S
modular S は、有限な表現鎖の固有モードを並べた行列である。 \boxed{
\text{modular $S$ は、有限な表現鎖の固有モードを並べた行列である。}
} modular S は、有限な表現鎖の固有モードを並べた行列である。 基本fusionから高いスピンのfusion行列を順に求める fusion積の結合則と分配則により、[ i ] ⋆ [ j ] = ∑ r N i j r [ r ] [i]\star[j]=\sum_rN_{ij}{}^r[r] [ i ] ⋆ [ j ] = ∑ r N ij r [ r ]
N i N j = ∑ r N i j r N r N_iN_j=\sum_rN_{ij}{}^rN_r N i N j = r ∑ N ij r N r を満たす。真空は積の単位元なので N 0 = 1 N_0=\mathbf1 N 0 = 1 A = N 1 / 2 A=N_{1/2} A = N 1/2 1 / 2 ≤ j ≤ ( k − 1 ) / 2 1/2\leq j\leq(k-1)/2 1/2 ≤ j ≤ ( k − 1 ) /2
A N j = N j − 1 / 2 + N j + 1 / 2 , N j + 1 / 2 = A N j − N j − 1 / 2 AN_j=N_{j-1/2}+N_{j+1/2},\qquad
N_{j+1/2}=AN_j-N_{j-1/2} A N j = N j − 1/2 + N j + 1/2 , N j + 1/2 = A N j − N j − 1/2 を与える。この引き算は行列の恒等式を解いているもので、fusion係数が負になるという意味ではない。許容範囲に各ラベルが存在するとき、順に
N 0 = 1 , N 1 / 2 = A , N 1 = A 2 − 1 , N 3 / 2 = A ( A 2 − 1 ) − A = A 3 − 2 A , N 2 = A ( A 3 − 2 A ) − ( A 2 − 1 ) = A 4 − 3 A 2 + 1 \begin{aligned}
N_0&=\mathbf1,\qquad N_{1/2}=A,\\
N_1&=A^2-\mathbf1,\\
N_{3/2}&=A(A^2-\mathbf1)-A=A^3-2A,\\
N_2&=A(A^3-2A)-(A^2-\mathbf1)=A^4-3A^2+\mathbf1
\end{aligned} N 0 N 1 N 3/2 N 2 = 1 , N 1/2 = A , = A 2 − 1 , = A ( A 2 − 1 ) − A = A 3 − 2 A , = A ( A 3 − 2 A ) − ( A 2 − 1 ) = A 4 − 3 A 2 + 1 と求められる。上端では [ ( k + 1 ) / 2 ] [(k+1)/2] [( k + 1 ) /2 ]
A N k / 2 = N ( k − 1 ) / 2 AN_{k/2}=N_{(k-1)/2} A N k /2 = N ( k − 1 ) /2 を満たさなければならない。この境界条件が行列 A A A
例えば k = 2 k=2 k = 2 N 1 = A 2 − 1 N_1=A^2-\mathbf1 N 1 = A 2 − 1 A N 1 = A AN_1=A A N 1 = A A 3 = 2 A A^3=2A A 3 = 2 A A 4 = 2 A 2 A^4=2A^2 A 4 = 2 A 2
N 1 2 = ( A 2 − 1 ) 2 = A 4 − 2 A 2 + 1 = 1 = N 0 . N_1^2=(A^2-\mathbf1)^2=A^4-2A^2+\mathbf1=\mathbf1=N_0. N 1 2 = ( A 2 − 1 ) 2 = A 4 − 2 A 2 + 1 = 1 = N 0 . fusion行列は積の情報を失わない。真空行に作用させると ( N i ) 0 r = N i 0 r = δ i r (N_i)_0{}^r=N_{i0}{}^r=\delta_i{}^r ( N i ) 0 r = N i 0 r = δ i r N 1 2 = 1 = N 0 N_1^2=\mathbf1=N_0 N 1 2 = 1 = N 0 [ 1 ] ⋆ [ 1 ] = [ 0 ] [1]\star[1]=[0] [ 1 ] ⋆ [ 1 ] = [ 0 ]
これが行列で見た 1 ⋆ 1 = 0 1\star1=0 1 ⋆ 1 = 0 0 0 0
k = 2 k=2 k = 2 有限鎖から分かる 1 2 ⋆ 1 2 = 0 ⊕ 1 \frac12\star\frac12=0\oplus1 2 1 ⋆ 2 1 = 0 ⊕ 1 1 2 ⋆ 1 = 1 2 \frac12\star1=\frac12 2 1 ⋆ 1 = 2 1 1 ⋆ 1 1\star1 1 ⋆ 1 S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 )
1 ⊗ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 2 1\otimes1=0\oplus1\oplus2 1 ⊗ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 2 なので、上限を超えた 2 2 2 0 ⊕ 1 0\oplus1 0 ⊕ 1
三つの表現を結合した結果は括り方に依らない。一方の括り方では
( 1 2 ⋆ 1 2 ) ⋆ 1 = ( 0 ⊕ 1 ) ⋆ 1 = 1 ⊕ ( 1 ⋆ 1 ) , \begin{aligned}
\left(\frac12\star\frac12\right)\star1
&=(0\oplus1)\star1\\
&=1\oplus(1\star1),
\end{aligned} ( 2 1 ⋆ 2 1 ) ⋆ 1 = ( 0 ⊕ 1 ) ⋆ 1 = 1 ⊕ ( 1 ⋆ 1 ) , 他方では
1 2 ⋆ ( 1 2 ⋆ 1 ) = 1 2 ⋆ 1 2 = 0 ⊕ 1. \begin{aligned}
\frac12\star\left(\frac12\star1\right)
&=\frac12\star\frac12\\
&=0\oplus1.
\end{aligned} 2 1 ⋆ ( 2 1 ⋆ 1 ) = 2 1 ⋆ 2 1 = 0 ⊕ 1. ここで最初の候補 1 ⋆ 1 = 0 ⊕ 1 1\star1=0\oplus1 1 ⋆ 1 = 0 ⊕ 1 1 ⊕ ( 0 ⊕ 1 ) = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 1\oplus(0\oplus1)=0\oplus1\oplus1 1 ⊕ ( 0 ⊕ 1 ) = 0 ⊕ 1 ⊕ 1 0 ⊕ 1 0\oplus1 0 ⊕ 1 1 1 1
結合則を満たすには、二つの結果の各表現の多重度を一致させる。共通の 1 1 1
1 ⋆ 1 = 0 1\star1=0 1 ⋆ 1 = 0 が強制される。この値を戻すと、一方は 1 ⊕ 0 1\oplus0 1 ⊕ 0 0 ⊕ 1 0\oplus1 0 ⊕ 1 1 1 1
有限鎖の端で 1 2 ⋆ 1 \frac12\star1 2 1 ⋆ 1 1 ⋆ 1 1\star1 1 ⋆ 1 k = 2 k=2 k = 2
0 ⋆ j = j , 1 2 ⋆ 1 2 = 0 ⊕ 1 , 1 2 ⋆ 1 = 1 2 , 1 ⋆ 1 = 0. \begin{aligned}
0\star j&=j,\\
\frac12\star\frac12&=0\oplus1,\\
\frac12\star1&=\frac12,\\
1\star1&=0.
\end{aligned} 0 ⋆ j 2 1 ⋆ 2 1 2 1 ⋆ 1 1 ⋆ 1 = j , = 0 ⊕ 1 , = 2 1 , = 0. ここで決めたのは k = 2 k=2 k = 2 k k k
k = 2 k=2 k = 2 1 ⋆ 1 = 0 1\star1=0 1 ⋆ 1 = 0 fusion環では、基底 [ 0 ] , [ 1 2 ] , [ 1 ] [0],[\frac12],[1] [ 0 ] , [ 2 1 ] , [ 1 ] [ 1 ] ⋆ [ 1 ] + [ 1 ] = [ 0 ] + [ 1 ] [1]\star[1]+[1]=[0]+[1] [ 1 ] ⋆ [ 1 ] + [ 1 ] = [ 0 ] + [ 1 ]
N 11 0 = 1 , N 11 1 / 2 = 0 , N 11 1 + 1 = 1 N_{11}{}^0=1,\qquad N_{11}{}^{1/2}=0,\qquad N_{11}{}^1+1=1 N 11 0 = 1 , N 11 1/2 = 0 , N 11 1 + 1 = 1 となり、[ 1 ] ⋆ [ 1 ] = [ 0 ] [1]\star[1]=[0] [ 1 ] ⋆ [ 1 ] = [ 0 ] (6.11) からも j 1 = j 2 = 1 j_1=j_2=1 j 1 = j 2 = 1
0 ≤ j 3 ≤ min ( 2 , 2 − 1 − 1 ) = 0 0\leq j_3\leq\min(2,2-1-1)=0 0 ≤ j 3 ≤ min ( 2 , 2 − 1 − 1 ) = 0 を得るため、出力は j 3 = 0 j_3=0 j 3 = 0
一般のfusion則とレベル壁
S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k
N j 1 j 2 j 3 = { 1 , ∣ j 1 − j 2 ∣ ≤ j 3 ≤ min ( j 1 + j 2 , k − j 1 − j 2 ) , j 1 + j 2 + j 3 ∈ Z , 0 , otherwise (6.11) \boxed{
N_{j_1j_2}{}^{j_3}
=
\begin{cases}
1,
&
|j_1-j_2|\leq j_3
\leq\min(j_1+j_2,\,k-j_1-j_2),\\
&j_1+j_2+j_3\in\mathbb Z,\\[2mm]
0,&\text{otherwise}
\end{cases}
}
\tag{6.11} N j 1 j 2 j 3 = ⎩ ⎨ ⎧ 1 , 0 , ∣ j 1 − j 2 ∣ ≤ j 3 ≤ min ( j 1 + j 2 , k − j 1 − j 2 ) , j 1 + j 2 + j 3 ∈ Z , otherwise ( 6.11 ) である。個々の係数の網羅的な導出は行わず、原著の表現論データとして採用する。ただし、各条件の役割は区別できる。
∣ j 1 − j 2 ∣ ≤ j 3 ≤ j 1 + j 2 |j_1-j_2|\leq j_3\leq j_1+j_2 ∣ j 1 − j 2 ∣ ≤ j 3 ≤ j 1 + j 2 S U ( 2 ) SU(2) S U ( 2 ) j 1 + j 2 + j 3 ∈ Z j_1+j_2+j_3\in\mathbb Z j 1 + j 2 + j 3 ∈ Z j 3 ≤ k − j 1 − j 2 j_3\leq k-j_1-j_2 j 3 ≤ k − j 1 − j 2
最後の条件は三つのスピンの和 j 1 + j 2 + j 3 j_1+j_2+j_3 j 1 + j 2 + j 3 k k k k / 2 k/2 k /2 k = 2 k=2 k = 2 1 ⋆ 1 1\star1 1 ⋆ 1
カイラル頂点演算子とfusing行列
fusion係数は、二つの表現からどの表現へ結べるかを数える。三つを結ぶ場合、最初の二つを先に結ぶ方法と、後ろの二つを先に結ぶ方法がある。同じ相関関数をどちらの順序でも計算するには、途中の表現を指定して選んだ二組の基底を対応させる必要がある。この対応を記録する行列がfusing行列 F F F
括り方を具体化する。最初の二つの表現ラベルを I , J I,J I , J I ⋆ J I\star J I ⋆ J
その候補から一つの表現 P P P I ⋆ J → P I\star J\to P I ⋆ J → P P P P
これに三つ目の表現 K K K L L L ( ( I ⋆ J ) P ⋆ K ) L ((I\star J)_P\star K)_L (( I ⋆ J ) P ⋆ K ) L
もう一方では J ⋆ K J\star K J ⋆ K Q Q Q
( ( I ⋆ J ) P ⋆ K ) L ↔ F ( I ⋆ ( J ⋆ K ) Q ) L . (two-bracketings) \bigl((I\star J)_P\star K\bigr)_L
\quad\xleftrightarrow{\ F\ }\quad
\bigl(I\star(J\star K)_Q\bigr)_L.
\tag{two-bracketings} ( ( I ⋆ J ) P ⋆ K ) L F ( I ⋆ ( J ⋆ K ) Q ) L . ( two-bracketings ) この二つの木が許される条件を並べると、F F F
中間表現 先に行う結合 次に行う結合 P P P I ⋆ J → P I\star J\to P I ⋆ J → P P ⋆ K → L P\star K\to L P ⋆ K → L Q Q Q J ⋆ K → Q J\star K\to Q J ⋆ K → Q I ⋆ Q → L I\star Q\to L I ⋆ Q → L
各行の二つのfusion係数がともに1である表現だけを、blockの基底に使う。SU(2)の表現は自己共役なので、最後の表現 L L L L L L
外線 I , J , K , L I,J,K,L I , J , K , L 0 , x , 1 , ∞ 0,x,1,\infty 0 , x , 1 , ∞ x x x P P P F P ( s ) ( x ) \mathcal F_P^{(s)}(x) F P ( s ) ( x ) Q Q Q F Q ( t ) ( x ) \mathcal F_Q^{(t)}(x) F Q ( t ) ( x )
F P ( s ) ( x ) = ∑ Q F P Q [ J K I L ] F Q ( t ) ( x ) . \boxed{
\mathcal F_P^{(s)}(x)
=\sum_QF_{PQ}\begin{bmatrix}J&K\\ I&L\end{bmatrix}
\mathcal F_Q^{(t)}(x)
}. F P ( s ) ( x ) = Q ∑ F PQ [ J I K L ] F Q ( t ) ( x ) . P , Q P,Q P , Q I , J , K , L I,J,K,L I , J , K , L F F F
例えば k = 2 k=2 k = 2 1 / 2 1/2 1/2 1 / 2 ⋆ 1 / 2 = 0 ⊕ 1 1/2\star1/2=0\oplus1 1/2 ⋆ 1/2 = 0 ⊕ 1 P , Q P,Q P , Q 0 , 1 0,1 0 , 1 1 / 2 1/2 1/2 L = 1 / 2 L=1/2 L = 1/2 F F F 2 × 2 2\times2 2 × 2
F F F 6 j 6j 6 j F F F
blockとCVOの規格化を変えると F F F 基底を F P ′ ( s ) = a P F P ( s ) \mathcal F_P^{\prime(s)}=a_P\mathcal F_P^{(s)} F P ′ ( s ) = a P F P ( s ) F Q ′ ( t ) = b Q F Q ( t ) \mathcal F_Q^{\prime(t)}=b_Q\mathcal F_Q^{(t)} F Q ′ ( t ) = b Q F Q ( t )
F P ′ ( s ) = ∑ Q a P F P Q b Q − 1 F Q ′ ( t ) , F P Q ′ = a P b Q − 1 F P Q . \mathcal F_P^{\prime(s)}
=\sum_Qa_PF_{PQ}b_Q^{-1}\mathcal F_Q^{\prime(t)},
\qquad F'_{PQ}=a_Pb_Q^{-1}F_{PQ}. F P ′ ( s ) = Q ∑ a P F PQ b Q − 1 F Q ′ ( t ) , F PQ ′ = a P b Q − 1 F PQ . 結合 i ⋆ j → r i\star j\to r i ⋆ j → r γ i j r \gamma_{ij}^{r} γ ij r
a P = γ I J P γ P K L , b Q = γ J K Q γ I Q L , a_P=\gamma_{IJ}^{P}\gamma_{PK}^{L},\qquad
b_Q=\gamma_{JK}^{Q}\gamma_{IQ}^{L}, a P = γ I J P γ P K L , b Q = γ J K Q γ I Q L , 従って
F P Q ′ = γ I J P γ P K L γ J K Q γ I Q L F P Q F'_{PQ}
=\frac{\gamma_{IJ}^{P}\gamma_{PK}^{L}}
{\gamma_{JK}^{Q}\gamma_{IQ}^{L}}F_{PQ} F PQ ′ = γ J K Q γ I Q L γ I J P γ P K L F PQ となる。これが原著 p.241 のCVO再規格化則である。相関関数を ∑ P c P F P ( s ) \sum_Pc_P\mathcal F_P^{(s)} ∑ P c P F P ( s ) c P / a P c_P/a_P c P / a P F F F
Sugawara構成からKZ方程式を得て、F F F カレント代数の一次場 v i v_i v i J n a ∣ v i ⟩ = 0 J_n^a|v_i\rangle=0 J n a ∣ v i ⟩ = 0 n > 0 n>0 n > 0 (6.6) の L − 1 L_{-1} L − 1 J − 1 a J 0 a J_{-1}^aJ_0^a J − 1 a J 0 a
L − 1 ∣ v i ⟩ = 1 k + 2 ∑ a J − 1 a J 0 a ∣ v i ⟩ . L_{-1}|v_i\rangle
=\frac1{k+2}\sum_aJ_{-1}^aJ_0^a|v_i\rangle. L − 1 ∣ v i ⟩ = k + 2 1 a ∑ J − 1 a J 0 a ∣ v i ⟩ . L − 1 L_{-1} L − 1 z i z_i z i J 0 a J_0^a J 0 a t a ( i ) t_a^{(i)} t a ( i ) J − 1 a J_{-1}^a J − 1 a
∂ z i F ( z ) = 1 k + 2 ∑ j ≠ i ∑ a t a ( i ) t a ( j ) z i − z j F ( z ) . \boxed{
\partial_{z_i}\mathcal F(\boldsymbol z)
=\frac1{k+2}\sum_{j\ne i}
\frac{\sum_a t_a^{(i)}t_a^{(j)}}{z_i-z_j}
\mathcal F(\boldsymbol z)
}. ∂ z i F ( z ) = k + 2 1 j = i ∑ z i − z j ∑ a t a ( i ) t a ( j ) F ( z ) . これがこのノートの tr ( t a t b ) = δ a b \operatorname{tr}(t_at_b)=\delta_{ab} tr ( t a t b ) = δ ab i , j i,j i , j 1 / ( k + 2 ) 1/(k+2) 1/ ( k + 2 ) t a = σ a / 2 t_a=\sigma_a/2 t a = σ a /2 2 / ( k + 2 ) 2/(k+2) 2/ ( k + 2 )
四点では、この連立方程式を交差比 x x x d Y / d x = M ( x ) Y dY/dx=M(x)Y d Y / d x = M ( x ) Y Y Y Y Y s , Y t Y_s,Y_t Y s , Y t
d d x ( Y t − 1 Y s ) = − Y t − 1 M Y s + Y t − 1 M Y s = 0. \frac{d}{dx}(Y_t^{-1}Y_s)
=-Y_t^{-1}MY_s+Y_t^{-1}MY_s=0. d x d ( Y t − 1 Y s ) = − Y t − 1 M Y s + Y t − 1 M Y s = 0. 従って基底変換の係数は定数である。その成分の閉形式を求めるには、さらに解の漸近条件とCVO規格化が必要になる。
有限レベルの括り替えと大きな k k k
通常の角運動量でも、三つのスピンを結ぶ二つの順序の間には基底変換があり、その係数はWignerの 6 j 6j 6 j
[ n ] k : = sin ( π n / ( k + 2 ) ) sin ( π / ( k + 2 ) ) [n]_k:=\frac{\sin(\pi n/(k+2))}{\sin(\pi/(k+2))} [ n ] k := sin ( π / ( k + 2 )) sin ( πn / ( k + 2 )) である。以下では、Poilblancほか、Appendix A.3 の S U ( 2 ) k SU(2)_k S U ( 2 ) k 6 j 6j 6 j [ m ] k ! : = ∏ n = 1 m [ n ] k [m]_k!:=\prod_{n=1}^m[n]_k [ m ] k ! := ∏ n = 1 m [ n ] k [ 0 ] k ! = 1 [0]_k!=1 [ 0 ] k ! = 1 F F F
F P Q [ J K I L ] = ( − 1 ) I + J + K + L [ 2 P + 1 ] k [ 2 Q + 1 ] k { I J P K L Q } k F_{PQ}\begin{bmatrix}J&K\\ I&L\end{bmatrix}
=(-1)^{I+J+K+L}\sqrt{[2P+1]_k[2Q+1]_k}
\begin{Bmatrix}I&J&P\\ K&L&Q\end{Bmatrix}_{k} F PQ [ J I K L ] = ( − 1 ) I + J + K + L [ 2 P + 1 ] k [ 2 Q + 1 ] k { I K J L P Q } k この規約で選んだ F F F P , Q P,Q P , Q 6 j 6j 6 j
通常のWigner 6 j 6j 6 j [ m ] k ! [m]_k! [ m ] k ! m ! m! m ! NIST DLMF式 (34.4.2) の表現論データとして採用する。
スピンを固定して k → ∞ k\to\infty k → ∞ I + J + P ≤ k I+J+P\leq k I + J + P ≤ k n n n sin x / x → 1 \sin x/x\to1 sin x / x → 1 [ n ] k → n [n]_k\to n [ n ] k → n k k k 6 j 6j 6 j 6 j 6j 6 j
lim k → ∞ F P Q [ J K I L ] = ( − 1 ) I + J + K + L ( 2 P + 1 ) ( 2 Q + 1 ) { I J P K L Q } W i g n e r (6.13) \boxed{
\lim_{k\to\infty}
F_{PQ}\begin{bmatrix}J&K\\ I&L\end{bmatrix}
=(-1)^{I+J+K+L}\sqrt{(2P+1)(2Q+1)}
\begin{Bmatrix}I&J&P\\ K&L&Q\end{Bmatrix}_{\mathrm{Wigner}}
}
\tag{6.13} k → ∞ lim F PQ [ J I K L ] = ( − 1 ) I + J + K + L ( 2 P + 1 ) ( 2 Q + 1 ) { I K J L P Q } Wigner ( 6.13 ) となる。右辺全体が、通常の角運動量の括り替え行列の成分である。原著 (6.13) の「6 j 6j 6 j 6 j 6j 6 j
スピンも k k k π n / ( k + 2 ) \pi n/(k+2) πn / ( k + 2 ) [ n ] k ≃ n [n]_k\simeq n [ n ] k ≃ n (6.13) は固定スピンの極限である。
参照用データ：表の結合順序にそろえた量子Racah和 (6.12) この閉形式は、量子群の括り替えデータとして採用する。Poilblanc et al., Appendix A.3, p.16 の直交recoupling規格化と同じ形である。原著 (6.12) の外線配置と一方の次元因子は、本文のCVO再規格化則および原著 (6.23) の結合条件と合わないため、ここでは結合表で定めた配置へそろえる。
量子階乗と三角係数を
[ n ] k ! : = ∏ r = 1 n [ r ] k , [ 0 ] k ! = 1 , [n]_k!:=\prod_{r=1}^{n}[r]_k,\qquad [0]_k!=1, [ n ] k ! := r = 1 ∏ n [ r ] k , [ 0 ] k ! = 1 , Δ k ( a , b , c ) : = [ a + b − c ] k ! [ b + c − a ] k ! [ c + a − b ] k ! [ a + b + c + 1 ] k ! \Delta_k(a,b,c)
:=\sqrt{\frac{[a+b-c]_k![b+c-a]_k![c+a-b]_k!}
{[a+b+c+1]_k!}} Δ k ( a , b , c ) := [ a + b + c + 1 ] k ! [ a + b − c ] k ! [ b + c − a ] k ! [ c + a − b ] k ! と定める。三つのラベル a , b , c a,b,c a , b , c (6.11) のfusion条件を満たすものに限る。その条件で階乗の引数は非負整数になる。本文の外線順序に対する閉形式は
F P Q [ J K I L ] = ( − 1 ) I + J + K + L [ 2 P + 1 ] k [ 2 Q + 1 ] k × Δ k ( I , J , P ) Δ k ( K , L , P ) Δ k ( J , K , Q ) Δ k ( I , L , Q ) × ∑ s ( − 1 ) s [ s + 1 ] k ! [ s − I − J − P ] k ! [ s − K − L − P ] k ! × 1 [ s − J − K − Q ] k ! [ s − I − L − Q ] k ! × 1 [ I + J + K + L − s ] k ! [ I + K + P + Q − s ] k ! [ J + L + P + Q − s ] k ! . (6.12) \begin{aligned}
F_{PQ}\begin{bmatrix}J&K\\ I&L\end{bmatrix}
={}&(-1)^{I+J+K+L}\sqrt{[2P+1]_k[2Q+1]_k}\\
&\times\Delta_k(I,J,P)\Delta_k(K,L,P)
\Delta_k(J,K,Q)\Delta_k(I,L,Q)\\
&\times\sum_s\frac{(-1)^s[s+1]_k!}
{[s-I-J-P]_k![s-K-L-P]_k!}\,\\
&\hspace{8mm}\times
\frac1{[s-J-K-Q]_k![s-I-L-Q]_k!}\\
&\hspace{8mm}\times
\frac1{[I+J+K+L-s]_k![I+K+P+Q-s]_k![J+L+P+Q-s]_k!}.
\end{aligned}
\tag{6.12} F PQ [ J I K L ] = ( − 1 ) I + J + K + L [ 2 P + 1 ] k [ 2 Q + 1 ] k × Δ k ( I , J , P ) Δ k ( K , L , P ) Δ k ( J , K , Q ) Δ k ( I , L , Q ) × s ∑ [ s − I − J − P ] k ! [ s − K − L − P ] k ! ( − 1 ) s [ s + 1 ] k ! × [ s − J − K − Q ] k ! [ s − I − L − Q ] k ! 1 × [ I + J + K + L − s ] k ! [ I + K + P + Q − s ] k ! [ J + L + P + Q − s ] k ! 1 . ( 6.12 ) 和は、七つの分母の引数がすべて非負整数になる整数 s s s Δ k \Delta_k Δ k [ 2 P + 1 ] [ Q + 1 ] \sqrt{[2P+1][Q+1]} [ 2 P + 1 ] [ Q + 1 ] [ 2 P + 1 ] k [ 2 Q + 1 ] k \sqrt{[2P+1]_k[2Q+1]_k} [ 2 P + 1 ] k [ 2 Q + 1 ] k
量子 6 j 6j 6 j Δ k \Delta_k Δ k
F P Q [ J K I L ] = ( − 1 ) I + J + K + L [ 2 P + 1 ] k [ 2 Q + 1 ] k { I J P K L Q } k F_{PQ}\begin{bmatrix}J&K\\ I&L\end{bmatrix}
=(-1)^{I+J+K+L}\sqrt{[2P+1]_k[2Q+1]_k}
\begin{Bmatrix}I&J&P\\ K&L&Q\end{Bmatrix}_{k} F PQ [ J I K L ] = ( − 1 ) I + J + K + L [ 2 P + 1 ] k [ 2 Q + 1 ] k { I K J L P Q } k である。固定スピンでは和の範囲も固定されるため、[ n ] k → n [n]_k\to n [ n ] k → n (6.13) を得る。
例えば k = 2 k=2 k = 2 1 / 2 1/2 1/2 P , Q = 0 , 1 P,Q=0,1 P , Q = 0 , 1
F = 1 2 ( − 1 1 1 1 ) , F T F = 1. F=\frac1{\sqrt2}
\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad F^\mathsf TF=\mathbf1. F = 2 1 ( − 1 1 1 1 ) , F T F = 1 . 二組の直交基底の変換であることを直接検算できる。別のCVO規格化では行・列の符号も変わるが、その場合はOPE係数にも対応する変換を施す。
恒等表現 0 0 0 N I j K = 1 N_{Ij}{}^K=1 N I j K = 1 0 0 0
F I , j [ 0 j I K ] = F K , j [ j 0 I K ] = 1 F_{I,j}\begin{bmatrix}0&j\\I&K\end{bmatrix}
=F_{K,j}\begin{bmatrix}j&0\\I&K\end{bmatrix}=1 F I , j [ 0 I j K ] = F K , j [ j I 0 K ] = 1 となる。この性質により、後で境界OPE係数を C = F C=F C = F
同じCVO規格化を保って四つの入力表現を結ぶと、括り方は五通りある。その間を F F F pentagon identity と呼ぶ。WZWのfusingデータはこの条件を満たす（原著式 (3.63)、Moore–Seibergの整合性関係 ）。この条件が、後に境界OPEを異なる順序で組み立てたときの一致を保証するための入力になる。
χ j , S i j , N i j r , F \chi_j,S_{ij},N_{ij}{}^r,F χ j , S ij , N ij r , F
データ 決定される対象 χ j H j 内のエネルギー縮退度（電荷付きなら電荷も記録） S i j トーラスの周期交換でcharacterがどう混ざるか N i j r 二つのchiral familyからどのfamilyが何通り生じるか F 同じconformal blockを異なるOPE順序で表す基底の対応 \begin{array}{c|c}
\text{データ}&\text{決定される対象}\\
\hline
\chi_j&\mathcal H_j\text{ 内のエネルギー縮退度（電荷付きなら電荷も記録）}\\
S_{ij}&\text{トーラスの周期交換でcharacterがどう混ざるか}\\
N_{ij}{}^r&\text{二つのchiral familyからどのfamilyが何通り生じるか}\\
F&\text{同じconformal blockを異なるOPE順序で表す基底の対応}
\end{array} データ χ j S ij N ij r F 決定される対象 H j 内のエネルギー縮退度（電荷付きなら電荷も記録） トーラスの周期交換で character がどう混ざるか 二つの chiral family からどの family が何通り生じるか 同じ conformal block を異なる OPE 順序で表す基底の対応 となる。Verlinde公式はcharacterのmodular変換とfusionの多重度を結び付け、F F F
球面上で左右の振動を別々に記録できるか、という問いには、Wess–Zumino項による交換子の相殺と二つの保存カレントで答えた。そのカレントの量子代数を使うと、許容スピンを 0 , 1 2 , … , k / 2 0,\frac12,\ldots,k/2 0 , 2 1 , … , k /2 S S S S S S F F F
これで一方のカイラル理論の状態と結合を扱う材料がそろった。しかし、左右のどの表現を組み合わせるか、弦の端で左右のカレントをどう結ぶかは、まだ指定していない。6.2節 ではこの二つを選び、bulk理論と境界条件を作る。ここで得た S , N , F S,N,F S , N , F
参考文献
A. Recknagel and V. Schomerus, Boundary Conformal Field Theory and the Worldsheet Approach to D-Branes .
WZW作用・カレント・可積分表現・character・fusion・fusing行列：§6.1.1–6.1.2, pp.236–241, 式(6.1) –(6.13) 。
σ模型と背景場：式(2.2), (2.14)–(2.15)。
アフィン代数とSugawara構成：pp.90–91, 式(3.6)–(3.7)。
Verlinde公式：p.119, 式(3.76) 。
theta関数の規約：Appendix A, p.316。
E. Witten, “Non-Abelian Bosonization in Two Dimensions,” Commun. Math. Phys. 92 (1984) 455–472. doi:10.1007/BF01215276 .
D. Poilblanc, A. E. Feiguin, M. Troyer, E. Ardonne and P. Bonderson, “One-dimensional itinerant interacting non-Abelian anyons,” Phys. Rev. B 87 (2013) 085106. 公開著者稿 。Appendix A.3, p.16のSU(2)k _k k
G. Moore and N. Seiberg, “Polynomial Equations for Rational Conformal Field Theories,” Phys. Lett. B 212 (1988) 451–460. doi:10.1016/0370-2693(88)91796-0 。blockの基底変換の整合性、Verlindeとの関係を参照。
