非可逆対称性に保護されたトポロジカル相

対称性を課さなければギャップを閉じずにつながる二つの状態も、指定した対称性を保つギャップ経路ではつながらないことがある。この区別を支える対称操作に逆操作がなくても、同じ現象は起こりうる。非可逆対称性に保護されたトポロジカル相（non-invertible symmetry-protected topological phase、NISPT）は、そのような相を扱う。

中心となる問いは、与えられた非可逆対称性の下で一意なギャップ基底状態を持つ相が存在するか、存在するなら何が相を区別するかである。対象はスピン鎖を含む空間一次元・時間一次元（1+1次元）のボソン系と、空間を動かさない有限の内部対称性である。対称操作を時空中の線で表し、線を融合・接合する規則をまとめたものがユニタリフュージョン圏（unitary fusion category）である。一意なギャップ基底状態を持つ相では、その対称線を入れたときの状態空間を各線に割り当て、線の融合・接合を状態空間の線形写像に対応させる。この対応が三本以上の線でも矛盾なく成り立つとき、その割り当てをファイバー関手と呼ぶ。ファイバー関手が存在するかで相の存在を判定し、異なる割り当てで相を区別する。格子上では、対称線の抽象的なデータに加え、実際の対称演算や局所自由度から相を見分ける。

1. 相、短距離エンタングルメント、保護

1.1 何を同じ相とみなすか

二つの局所ハミルトニアンを同じギャップ相に属するとするのは、それらを結ぶ局所ハミルトニアンの連続な経路があり、熱力学極限でも基底状態と励起の間のギャップが閉じないときである。必要に応じて、積状態にある補助自由度を加えることも許す。対称性で相を分類する場合は、経路の全体で指定した対称性の作用を保つ。

積状態は各サイトの状態のテンソル積であり、サイト間のエンタングルメントを持たない。積状態と対称性を課さないギャップ経路でつながる状態を、ここでは短距離エンタングルメント状態（short-range entangled state）と呼ぶ。固定点を表す簡単な状態では、有限の範囲に作用するユニタリ演算を、系の長さによらない段数だけ施す有限深さの局所回路によって積状態から作れる。一次元ボソン系の、バルク基底状態が一意なギャップ相が、対称性を外すと積状態の相に帰着することが、通常のSPT分類の出発点である。Chen–Gu–Wen, Classification of Gapped Symmetric Phases in 1D Spin Systems。

SPT相は、対称性を保ち、通常の周期境界条件の鎖では基底状態が一意で、対称性を外せば積状態の相になるギャップ相である。ここでの「保護」は、異なるSPT相の間を、指定した対称性とギャップの両方を保って移動できないことを指す。開いた鎖のエッジ（端）には縮退がありうるため、周期鎖での一意性と開いた鎖での一意性は区別する。自発的対称性の破れ（SSB）では、ハミルトニアンは対称でも、熱力学極限の純粋な基底状態が対称性で別の基底状態に移る。有限鎖で対称な重ね合わせが一つ見つかるだけでは、SSBを除外できない。Inamura, §1。

1.2 群対称性で既に現れるエッジの情報

通常の有限群対称性を $G$ とする。群の元 $g$ に対応する全系のユニタリ演算は $U_gU_h=U_{gh}$ を満たす。オンサイト作用とは、この演算がサイトごとの演算の積 $U_g=\bigotimes_j u_g^{(j)}$ になることである。非自明なSPTの開いた鎖では、低エネルギー空間に左右のエッジへ局在した自由度が残りうる。十分長い鎖では、この空間に制限した $U_g$ の作用を、離れた二つのエッジに作用する因子 $V_g^L V_g^R$ に分けられる。以下の $V_g$ は片方の因子を表す。このエッジの演算 $V_g$ は

となりうる。$U(1)$ は絶対値1の複素数の集合であり、$\beta$ は積に現れる位相である。この形を射影表現という。図では左端の位相を $\beta(g,h)$ とする。左右のエッジに作用する演算は互いに可換なので、全系の積は左右それぞれの積へ分けて計算できる。全系で $U_gU_h=U_{gh}$ が成り立つため、右端には逆の位相 $\beta(g,h)^{-1}$ が現れ、両端の位相は打ち消し合う。

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左右の色を付けた範囲はエッジに局在した演算の支持領域を表す。上段から下段への矢印は、同じ端に作用する二つの演算の積を計算する操作であり、鎖に沿う物理的な移動ではない。図中の等式は、十分長い開いた鎖の低エネルギー空間に制限した作用についてのものである。

三つの演算の積をどちらから計算しても同じであることから、

を得る。また、エッジ演算の位相を $V_g\mapsto\lambda(g)V_g$ と選び直すと、

となる。三つの演算の積から得た等式を満たす位相関数を2コサイクル、位相の選び直しで $\beta(g,h)$ に掛かる $\lambda(g)\lambda(h)/\lambda(gh)$ を2コバウンダリと呼ぶ。2コバウンダリだけ異なる2コサイクルを同値とみなした同値類の集合が、群コホモロジー $H^2(G,U(1))$ である。ここで次数2は二つの群要素の積に付く位相を表している。1+1次元のボソン系・有限オンサイト内部群対称性では、この同値類がSPT相を分類する。Inamura, §§1, 3.2。

例えば $G=\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ の二つの生成元 $a,b$ は群では可換だが、エッジでの作用は、位相の選び直しでも消せない $V_aV_b=-V_bV_a$ を持ちうる。片方のエッジだけに加える対称な局所摂動は $V_a,V_b$ と可換なので、摂動後の各エネルギー固有空間にもこの反交換関係が残る。一次元の固有空間では演算は複素数となり、反交換できない。したがって片端の対称な局所摂動だけではエッジ自由度を完全には消せない。有限長の鎖で左右のエッジが直接結合する効果は、鎖を長くすると消える。バルクの局所秩序変数では捉えられない、こうした対称性の実現の仕方が相を区別する。

2. 非可逆対称性を記録するフュージョン圏

2.1 対称性演算子と時空中の欠陥線

虚時間幅 $\tau$ の時間発展を $e^{-\tau H}$ と書く（$\hbar=1$）。その行列要素を短い時間刻みに分け、刻みの間に状態の完全系を挿入して足し合わせると、各時刻の状態が空間に沿って並ぶ時空の記述になる。局所ハミルトニアンでは、近くのサイトと近くの時刻の状態を結ぶ行列要素から、この振幅を組み立てられる。

通常の群対称性を例にすると、ある時刻に $U_g$ を挿入する操作は、その時刻の上下の状態を $U_g$ の行列要素でつなぐことである。時空の図では、これは空間方向へ伸びる一本の線になる。挿入の前後の虚時間幅を $\tau_1,\tau_2$ とすると、

なので、$[U_g,H]=0$ なら線の挿入時刻を変えても振幅は変わらない。

このように、時空中の曲線上で、状態をつなぐ行列要素や結合の規則を変更する挿入を 欠陥線（defect line） と呼ぶ。群の場合は、線をまたぐ際に片側の状態へ $g$ を作用させる接続がその例である。線を時間方向に伸ばす場合には、空間の一か所でこの接続を変更したハミルトニアンを、各時刻で使い続ける。

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横軸は鎖の位置 $x$、縦軸は虚時間 $\tau$。青線は一つの時刻で鎖全体に作用する $U_g$ を表し、左から中央への矢印は総虚時間を固定した挿入時刻の変更を表す。右の橙色の破線は時間方向の欠陥、短い横線は各時刻で変更する同じ結合を表す。格子は局所的な時空の接続を示す模式図である。

非可逆な場合にも、曲線上の局所的な行列要素と接合によって欠陥を定義するが、必ずしも群要素による状態のつなぎ替えにはならない。この線を、他の演算挿入を横切らずに連続的に動かしても相関関数が変わらないとき、線はトポロジカルである。以下では、この性質を持つ欠陥線を対称性として扱う。空間方向の線を動かせることが、対応する演算と時間発展との可換性を与える。Shao, §§2.1–2.2。

二本の平行な線を近づけ、一つの線として扱う操作を融合と呼び、$a\otimes b$ と書く。これ以上異なる線の和に分解できない線を単純線と呼ぶ。有限個の単純線について、融合は

と表せる。$N_{ab}^{\ c}$ は、$a,b$ を $c$ に接合する独立な仕方の数であり、非負整数である。$\oplus$ は直和を表す。相関関数に直和の線を挿入するとは、各線を挿入した振幅を加えることに対応する。何も挿入しない単位線を $1$ と書く。

線 $a$ に逆の線 $a^{-1}$ があり、融合すると単位線だけになるなら $a$ は可逆である。融合結果に複数の単純線が現れ、どの線と融合しても単位線だけには戻せないものが非可逆線である。ヒルベルト空間上の対称演算としては、核を持つ演算が具体例になる。ここで扱う有限な対称性は、局所的な欠陥と接合として実現され、以下の整合条件を満たす。Inamura, §2。

2.2 融合則だけでは対称性が決まらない

二本の単純線 $a,b$ を出力の単純線 $c$ へつなぐ接合演算は、複素係数で線形結合できる。その接合演算のベクトル空間の次元が、§2.1の融合係数 $N_{ab}^{\ c}$ である。したがって「独立な仕方」とは、この空間の基底に選んだ接合の数を指す。Inamura, §2、Thorngren–Wang, §2.3、式(2.9)の後。

三本の単純線 $a,b,c$ を入力に取り、融合結果に含まれる一つの単純線 $d$ を最終出力として固定する。まず $a,b$ をつなぐ順序では、中間の単純線 $e$ を選び、$a,b$ から $e$ への接合と、$e,c$ から $d$ への接合を続けて置く。$a,b$ から $e$ への接合の基底番号を $\mu$、$e,c$ から $d$ への接合の基底番号を $\nu$ とすると、接合の選択はそれぞれ $N_{ab}^{\ e}$ 通り、$N_{ec}^{\ d}$ 通りある。融合を単純線の直和へ分解するため、両方の接合が存在するすべての $e$ とこの二つの基底の組合せを取ると、三本から $d$ への接合空間の基底になる。

まず $b,c$ をつなぐ順序では、中間の単純線 $f$ を選び、$b,c$ から $f$、続いて $a,f$ から同じ $d$ へ接合する。この二つの接合の基底番号を $\mu',\nu'$ と書くと、選択の数はそれぞれ $N_{bc}^{\ f}$、$N_{af}^{\ d}$ である。こちらも両方の接合が存在するすべての $f$ と基底の組合せを取る。

この二つの順序の入力は、括弧の付け方が異なる複合線 $(a\otimes b)\otimes c$ と $a\otimes(b\otimes c)$ である。両者を可逆な接合演算で対応させるものが associator（結合子） である：

右の順序で三本から $d$ へつなぐ接合の前に $\alpha_{a,b,c}$ を置けば、左の括弧の入力から同じ $d$ へつなぐ接合になる。この対応によって二つの接合空間を同一視する。一方の基底で表した同じ接合を、他方の基底の線形結合へ書き直す可逆行列が $F$ であり、その行列要素を $F$ 記号という。Thorngren–Wang, §2.1、式(2.1)・図2。

図では、行を左の基底番号 $(e,\mu,\nu)$、列を右の基底番号 $(f,\mu',\nu')$ として、左の基底要素を右の基底で展開する係数を $F_{(e,\mu,\nu),(f,\mu',\nu')}$ と記した。

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枝は単純線、点は基底に選んだ接合を表す。左右で入力 $a,b,c$ の順序と最終出力 $d$ を保つ。橙色の枝は中間の単純線 $e$ または $f$ で、左は中間線と二つの番号を選んだ一つの基底要素、右は和を取る各基底要素を表す。中央の和は、右で両方の接合が存在する $f$ とその基底番号 $\mu',\nu'$ のすべてを取り、対応する $F$ 行列の成分を係数として掛ける。縦方向は実時間の経過を表さない。

四本の線では、括弧の付け替えを異なる順序で行っても同じ変換になる必要がある。この条件が五角形関係である。associator は演算の積が非結合的であるという意味ではなく、融合を異なる接合の基底で表したときの整合データである。

ユニタリフュージョン圏 $\mathcal C$ は、有限個の単純線、その直和、融合、線をつなぐ局所的な接合演算、整合的な associator、線の向きを反転する双対をまとめた数学的構造である。圏の「対象」は線、「射」は接合演算に当たり、射の合成は接合演算を続けて置くことに当たる。ユニタリとは、これらの接合空間が内積と随伴を持ち、基底変換をユニタリに選べることを指す。融合係数 $N_{ab}^{\ c}$ だけを記録したものが融合環であり、フュージョン圏はそれに associator などを加えたものなので、同じ融合環を持つ異なる対称性がありうる。Thorngren–Wang, §§1, 2.3。

線 $a$ の量子次元 $d_a$ は、他の演算挿入を囲まない、点へ縮められる $a$ の閉ループを削除したとき、残る振幅に掛かる係数である。ユニタリフュージョン圏では正の数であり、

を満たす。通常の状態空間の次元とは違い、整数とは限らない。単純線の可逆性は $d_a=1$ と同値であり、$d_a>1$ の単純線は非可逆である。Inamura, §2。

2.3 群の元を並べる場合と、群の表現を並べる場合

表現とは、群の積を保つ行列の割り当てであり、既約表現とは共通の不変部分空間へさらに分解できない表現である。

$\mathrm{Rep}(G)$ の量子次元は既約表現の通常の次元に一致する。$\mathrm{Vec}_G$ の「Vec」は、群要素のラベルを付けた有限次元複素ベクトル空間をまとめるという数学的定義に由来する。 通常の $G$ 対称性の欠陥線は $\mathrm{Vec}_G$ 型であり、$\mathrm{Rep}(G)$ 型の対称性とは別である。 群対称性をゲージ化すると $\mathrm{Rep}(G)$ 型の対称性が現れる場合があるが、それは元の群の元を表現と呼び直すことではない。Bhardwajほか, §§3.3, 4。

3. 一意なギャップ基底状態が許される条件

3.1 真空の集合からモジュール圏へ

ギャップより十分低いエネルギーでは、局所的な励起を除いた基底状態のセクターと、欠陥線がそれらにどう作用するかが残る。この記述を、振幅が距離や形の連続変化に依存しない トポロジカル量子場理論（TQFT） としてまとめる。ここで真空は、熱力学極限で局所観測により区別される純粋な基底状態のセクターを指す。

真空セクターを $m_i$ と書く。線 $a$ と入力側の真空 $m_i$、出力側の真空 $m_j$ が会う局所接合を考える。固定した $a,i,j$ に対して接合演算が張る複素ベクトル空間を $V^a_{ji}$ とし、その次元を $n^a_{ji}$ と書く。線 $a$ の作用は、群対称性なら真空の置換だが、一般には

となる。右辺の直和は、許される出力真空を独立な接合チャネルごとに並べている。線 $b$ を作用させ、続けて $a$ を作用させると、中間の真空 $m_j$ ごとに接合の仕方を掛け合わせて足す。したがって、$n^a$ を行列とみなせば、その成分は

を満たす。右辺は、二本の線を先に $a\otimes b=\bigoplus_cN_{ab}^{\ c}c$ へ融合してから作用させた場合である。この等式は、二通りの経路で得られる接合空間の次元が一致するための条件である。接合演算の空間についても、逐次作用の経路では各 $m_j$ に対する $V^a_{kj}\otimes V^b_{ji}$ を直和し、融合の経路では $a\otimes b$ から単純線 $c$ を選ぶ接合と $V^c_{ki}$ を組み合わせて直和する。両経路の空間を結ぶ可逆な線形写像と、三本の線に対するその整合性を指定する。真空セクター、接合、作用 $\triangleright$ とこの整合データをまとめたものが $\mathcal C$-モジュール圏である。その単純対象は分解できない真空セクターに対応し、単純対象の同型類の数をランクと呼ぶ。

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矢印は真空セクターへの作用を表す。左は複数の出力がある場合で、枝の $n^a_{ji}$ は各出力への接合の数である。右では真空 $m$ が一つでも、接合の数 $n^a_{11}$ は一つとは限らない。

1+1次元のボソン系でユニタリフュージョン圏を対称性とする標準的な低エネルギー分類では、ギャップ相は対応するモジュール圏で記述される。ここでは、互いに無関係な二つの相を直和として並べた場合を除く。周期境界条件の鎖で数えた真空の数がそのランクであり、SPT相はランク1の場合である。Thorngren–Wang, §2.4, Theorem 3。

3.2 ランク1とファイバー関手

真空が一つなら、線 $a$ を作用させても同じ真空に戻るが、その接合には複数の独立な仕方がありうる。この接合の空間を有限次元複素ベクトル空間として記録する。物理的には、§2.1の時間方向の欠陥 $a$ が周期空間の一点を通り続ける場合の、低エネルギーの状態空間としても解釈できる。これが 欠陥でねじったセクターであり、欠陥のない通常の周期鎖とは境界条件が異なる。したがって「一つの真空」と「どの欠陥を入れても状態が一つ」は異なる条件である。

この空間の割り当てを $\mathcal F(a)$ と書く。接合演算も線形写像へ移す。さらに、線を別々に作用させた場合と融合して作用させた場合を対応させる可逆な写像

を与える。$J_{a,b}$ はテンソル構造の写像であり、空間の割り当てだけではSPT相は決まらない。三本の線に対しては、まず左の二本を合わせる経路と、右の二本を合わせる経路が、線の associator を挟んで一致する必要がある：

右辺・左辺はいずれも、三つの空間 $\mathcal F(a),\mathcal F(b),\mathcal F(c)$ を、$\mathcal F(a\otimes(b\otimes c))$ にまとめる写像である。ベクトル空間の通常の括弧の同一視は省略した。

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各式はベクトル空間、矢印は線形写像を表す。左の経路は最初に $J_{a,b}$、右の経路は最初に $J_{b,c}$ を使う。左下からさらに $\mathcal F(\alpha_{a,b,c})$ を適用すると、両経路は同じ右下の空間に到達する。整合式は、同じ入力に対する両経路の合成写像が等しいことを要求する。

直和・接合の合成を保ち、こうしたテンソル構造と単位を整合的に持つ割り当て

をファイバー関手と呼ぶ。対象側の $\mathrm{Vec}$ は、有限次元複素ベクトル空間と線形写像の圏である。ユニタリな場合には内積と随伴にも両立させる。 時間反転を含めない1+1次元のSPT相は、ファイバー関手の同値類で分類される。 同値とは、各空間 $\mathcal F(a)$ の基底を変え、すべての接合と $J_{a,b}$ を同時に対応させられることをいう。対称性の線の識別は固定する。Inamura, §3.2。

ここで $\mathcal F(a)$ は零次元にはならない。フュージョン圏では、線 $a$ と向きを反転した双対線 $a^*$ を融合すると、単位線 $1$ が成分として含まれる。もし $\mathcal F(a)=0$ なら、テンソル積を保つため $\mathcal F(a^*\otimes a)=0$ となるが、直和を保つためその空間には $\mathcal F(1)=\mathbb C$ が含まれるはずであり、矛盾する。

この条件から、まず空間の次元だけについて判定できる。真空が一つのとき、前節の行列は正の整数 $n_a=\dim\mathcal F(a)$ になり、行列の等式は

へ縮む。接合空間の次元を掛けてから足す計算なので、$n_a$ は抽象的な線の量子次元ではなく、ねじったセクターの状態数である。一方、同じ融合則には§2.2の正の量子次元 $d_a$ も従う。ユニタリフュージョン圏では、単位線で1となる正の次元の解は量子次元に一致するため、SPTでは

という必要条件がある。これにより、量子次元から一意なギャップ相の可否をまず調べられる。

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左右の円筒の空間断面は閉じた円であり、右だけに時間方向の欠陥 $a$ がある。SPTの一意性が要求するのは、欠陥のない左の空間 $\mathcal F(1)$ の次元が1であること。右の空間 $\mathcal F(a)$ の次元は、同じ真空に対する接合の独立な仕方を数える。円筒の幅や長さは次元やエネルギーを表さない。

例えばIsingフュージョン圏は $1,\eta,\sigma$ を持ち、$\eta^2=1$、$\eta\sigma=\sigma$、$\sigma^2=1\oplus\eta$ である。ランク1を仮定すると $n_\eta^2=n_1=1$ かつ $n_\eta>0$ なので $n_\eta=1$、続いて $n_\sigma^2=n_1+n_\eta=2$ となる。状態空間の次元である正整数 $n_\sigma$ に解はない。Fibonacciフュージョン圏の $\tau^2=1\oplus\tau$ でも $n_\tau^2=1+n_\tau$ の正整数解はない。これらの融合則だけで、基底状態が一意で対称性を保つギャップ相は排除される。対称性の自発的破れを伴うギャップ相や、ギャップレスな系はなお許される。逆に整数解があっても、$J_{a,b}$ と associator の整合条件を解かない限りSPTの存在は示せない。Inamura, §3.2, 式(3.2)、Shao, §§3.1, 3.4.1。

3.3 $H^2$ の分類と $H^3$ の障害

群要素 $g$ で線をラベル付けする $\mathrm{Vec}_G$ では各線の量子次元が1なので、$\mathcal F(g)=\mathbb C$ である。テンソル写像 $J_{g,h}$ は位相 $\beta(g,h)$ となり、前節の整合式は§1.2の2コサイクル条件へ戻る。これが、ファイバー関手による分類が通常の $H^2(G,U(1))$ 分類を含む理由である。

一方、群の積自体が同じでも、三本の欠陥線の括り方を $(gh)k$ から $g(hk)$ へ付け替える associator に位相 $\omega(g,h,k)$ が現れる対称性作用がある。四本の線では、同じ始点と終点の括り方を、三回または二回の付け替えで結べる。

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頂点は四本の線の括り方、矢印は三本の線の括り方を一回変える associator を表す。矢印の位相を経路に沿って掛け、二つの経路で同じ変換になることを要求する。

三回の経路と二回の経路に沿う位相の積をそれぞれ書くと、

この五角形関係を満たす位相関数 $\omega$ を3コサイクルと呼ぶ。次に、二本の線 $g,h$ をつなぐ接合基底を位相 $u(g,h)\in U(1)$ 倍して選び直す。三本の線の左側の括り方には $u(g,h)u(gh,k)$、右側には $u(h,k)u(g,hk)$ が掛かる。

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点に記した $u$ は各二本の線をつなぐ接合基底の位相である。同じ三本の線の二通りの括り方を比べ、各側の二つの点の位相を掛け合わせる。

左と右の接合全体を、それぞれ括弧付きの三本の線から出力 $ghk$ への写像 $m_L,m_R$ と書く。associator の位相 $\omega$ を $m_R\circ\alpha=\omega m_L$ で定める。左側の接合を選び直した後は $m'_L=u(g,h)u(gh,k)m_L$、右側は $m'_R=u(h,k)u(g,hk)m_R$ となる。したがって、新しい基底で同じ対応を表す係数には、右側の位相の積を左側の位相の積で割った比が掛かる。

この比は3コバウンダリである。それだけ異なる3コサイクルを同一視して得る同値類全体を $H^3(G,U(1))$ と書く。

§3.2の二経路の図と整合式に $\mathcal F(g)=\mathbb C$、$J_{g,h}=\beta(g,h)$、$\mathcal F(\alpha_{g,h,k})=\omega(g,h,k)$ を代入すると、

例えば抽象群 $G=\mathbb Z_2=\{1,x\}$ を取り、associator の位相が $\omega(x,x,x)=-1$、それ以外の三つ組では $\omega=1$ となる線の対称性作用を考える。この $\omega$ は五角形関係を満たす3コサイクルである。単位線との接合位相を $\beta(1,g)=\beta(g,1)=1$ と選び、上の整合式に $(g,h,k)=(x,x,x)$ を代入すると、$x^2=1$ より

を要求する。ここで $J_{x,x}:\mathbb C\otimes\mathbb C\to\mathbb C$ の係数が $\beta(x,x)$ である。$J_{x,x}$ は可逆なので $\beta(x,x)\ne0$ であり、これは不可能である。§3.1–3.2のランク1の分類では、対称性を保ち真空が一つのギャップ相には、すべての線の接合について整合するファイバー関手が必要になる。この例では $(x,x,x)$ の接合だけでその整合条件が破れる。同じ抽象群 $\mathbb Z_2$ でも、$\omega=1$ の通常の作用なら $\beta\equiv1$ が整合式を満たす。障害を決めるのは群の名前だけでなく、線の接合に指定された $\omega$ である。

整合式を $\omega$ について解くと、$\omega=\beta(h,k)\beta(g,hk)/[\beta(g,h)\beta(gh,k)]$ となる。右辺は接合位相 $\beta$ の3コバウンダリなので、整合する $\beta$ を選べるのは $[\omega]=0$ の場合に限る。この文脈では、$[\omega]\ne0$ の対称性線の実現を ’t Hooftアノマリー（anomaly） を持つと呼ぶ。その実現の下では、対称性を保ち真空が一つの1+1次元ギャップ相は存在しない。

通常の1次元オンサイト作用では、領域 $R$ のサイトだけに作用する $U_g(R)=\bigotimes_{j\in R}u_g^{(j)}$ を考えられる。三つの演算 $U_g(R),U_h(R),U_k(R)$ は同じサイトに作用し、各サイトで $u_g^{(j)}u_h^{(j)}=u_{gh}^{(j)}$ を満たす。したがって、$g,h$ を先に掛けても $h,k$ を先に掛けても、領域上の積は $U_{ghk}(R)$ になる。この積で対称性線の接合を定めると、三本の線の付け替えを位相 $1$ で表せる。ゆえに $[\omega]=0$ である。Else–Nayak, §I.2。

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縦の破線は各行で同じサイトを表し、中央の濃い列はその一つ $j$ を示す。二通りの積が同じ $U_{ghk}(R)$ に合流する。

前段で、厳密に1次元のオンサイト作用から作る対称性線には $[\omega]=0$ を選べると分かった。では、2+1次元系の縁に現れる1+1次元の対称性作用にも同じことが言えるだろうか。この問いでは、全系の演算子がオンサイトかどうかと、境界状態だけに誘導された演算子がどのように作用するかを分けて調べる。以下では群コホモロジーで構成するボソンSPTの固定点模型を一つ取り、境界状態だけに誘導された演算子の作用を計算する。調べる量は、境界の区間に限った $g$ と $h$ の作用を一つの $gh$ の作用と比較したときに端点へ残る演算子、および三つの作用をまとめる二通りの順序の位相差である。

まず、境界から離れた場所で固定点状態とオンサイト作用を定める。対称性群 $G$ は有限なユニタリ内部群とし、試料の2次元空間を $\Sigma$、その1次元の境界を $\partial\Sigma$ と書く。以下では試料の縁を直線とする。一つの物理サイトには四つの $G$ 値成分があり、各成分は別々のプラケットに属する。逆に一つのプラケットは隣接する四サイトから一成分ずつ受け取る。その四成分を同じ値 $z$ にそろえて $z\in G$ について和を取った状態を $|\Phi_p\rangle$ とすると、バルク内部の固定点状態はプラケット状態の積である：

ここでは規格化を省いた。物理サイトとプラケットが異なる四成分の束ね方をすることが、後で隣接サイトの位相を相殺させる。Chenほか, §VI.C, 式(29), Fig. 8。

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橙の囲みが物理サイト、紫の破線が中央の一プラケットである。中央の四点は四つの別々のサイトから来る。

この状態を保つ対称性演算子を、群の3コサイクル $\nu_3$ から作る。前段では3コサイクルを三つの群元の関数 $\omega(g,h,k)$ で書いた。ここでの $\nu_3(x_0,x_1,x_2,x_3)\in U(1)$ は、バルクの3コサイクルを四つの群ラベルで書く表示である。具体的には $\nu_3(x_0,x_1,x_2,x_3)=\omega_{\mathrm{bulk}}(x_0^{-1}x_1,x_1^{-1}x_2,x_2^{-1}x_3)$ と定めるので、$\omega_{\mathrm{bulk}}(g,h,k)=\nu_3(1,g,gh,ghk)$ となる。全ラベルを同じ群元で左から掛けても、$\omega_{\mathrm{bulk}}$ に入る三つの群元差は変わらず、$\nu_3$ も変わらない。前に描いた五角形関係は、この四引数表示では五つの $\nu_3$ を含む等式になる。基準ラベルを $1$ に固定し、二つの成分ラベル $(x,y)$ に対する位相を

と略記する。各サイト $r$ の四成分 $\alpha_1,\ldots,\alpha_4$ を図の左上から時計回りに番号付けし、四辺に沿う $q_g$ の正負の寄与を掛ける：

四成分を $\boldsymbol\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_4)$ とまとめる。五項関係を四辺の $q_g$ に用いると、$F_g(h\boldsymbol\alpha)F_h(\boldsymbol\alpha)/F_{gh}(\boldsymbol\alpha)$ に現れる各頂点の位相は隣の辺の逆位相と打ち消し合う。よって各サイトで $u_r(g)u_r(h)=u_r(gh)$ が成り立つ。この $u_r(g)$ は一つの物理サイトの四成分だけに作用するので、全系の対称性演算子 $U_g^{\mathrm{bulk}}=\bigotimes_r u_r(g)$ はオンサイトである。Chenほか, §VI.C, 式(30)–(31); Appendix G.1。

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正方形全体が一つの物理サイトである。各辺の位相を掛けたものが $F_g$ になる。

開放境界を作る際には、内部の四成分プラケットの並びを試料の縁で止め、そこに残る連結成分にも等値条件を課す。直線状の縁では、隣り合う物理サイトの外縁成分が二つずつ連結され、図の紫の線で示される。各組が一つの有効な境界サイトとなり、左から $\alpha_i$ と番号付けする。異なる組のラベルは独立である。各 $\alpha_i$ を固定し、内部プラケットごとの独立なラベル $\beta,\gamma,\ldots$ について和を取ると、境界ラベル付き状態は

である。Chenほか, Appendix G.3, Fig. 35, 式(G7)。

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紫の線で結ばれた二成分が一つの $\alpha_i$ を共有する。中央の物理サイトの橙色の下辺は、隣接する二つの境界ラベル $(\alpha_i,\alpha_{i+1})$ を結ぶ。

$U_g^{\mathrm{bulk}}$ を作用させると、ラベルはすべて左から $g$ 倍される。内部ラベルの和は $\beta'=g\beta$ などと再添字できる。一方、プラケット状態が等しくした内部の対応辺には $q_g$ と $q_g^{-1}$ が掛かるため、積では消える。外縁の辺だけは片側の寄与が残る。右向きの境界結合 $(\alpha_i,\alpha_{i+1})$ に残る位相を

と書く。この相殺は、バルク全体ではサイトごとの演算子を掛けたのに、境界状態上で見える作用には二つの隣接ラベルに依存する係数が残る理由である。Chenほか, Appendix G.3, 式(G4)–(G7)。

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内部の対応辺では逆位相が相殺する。橙色の $f_g$ は左図の入力ラベル $(\alpha_i,\alpha_{i+1})$ から求め、右図の出力状態に掛ける。

したがって、境界状態全体に誘導された対称性作用 $U_g^{\partial}$ は

ここで積は向きを右にそろえた境界結合にわたる。$U_g^{\partial}$ の各ラベルは $g$ 倍されるが、その係数は隣接ラベルの組にかかる。非自明な3コサイクルの同値類を調べるときに重要なのは、この境界上の作用を区間に切った後の端点である。Chenほか, Appendix G.3, 式(G5)–(G7); Appendix I, 式(I2)。

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点の縦矢印はラベルの変換、結合上の橙色の印は入力ラベルの組に依存する位相である。

境界上の区間 $I=[x_L,x_R]$ を選ぶ。区間作用 $U_g^I$ は、区間内のラベルだけを $g$ 倍し、両端点の間に完全に収まる結合の $f_g$ だけを掛ける、と定める。区間の端をまたぐ二本の結合は含めない：

この切り方で、二回の作用と一回の作用の差が両端にどう残るかを比較できる。端点を追う時間区間を $I_t$ と書く。Else–Nayak, §I.B, Fig. 2, 式(3)–(5)。

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中央では青い区間内結合だけに $f_g$ を掛け、赤い印のある両端の結合は除く。右の薄紫は $g$ を作用させる境界上の領域、二本の濃紫の線はその左右端を時間方向へ追ったものである。

同じ二本の境界欠陥線を、バルク側からも見る。固定時刻の2次元バルク $\Sigma$ で、区間の二端点を結ぶ切れ目 $C_g$ を引く。切れ目の両側を $g$ の対称性で貼るという約束を、有限の時間区間 $I_t$ にわたって続けると、時空 $M=\Sigma\times\mathbb R$ 内に欠陥面 $S_g=C_g\times I_t$ ができる。バルクで描いた $C_g$ の端点が、境界時空面 $\partial M=\partial\Sigma\times\mathbb R$ 上にどんな線を描くかを求める。Gaiottoほか, §2。

図の局所座標では $\Sigma=\{(x,y)\mid y\ge 0\}$、$\partial\Sigma=\{y=0\}$ と置き、紫の切れ目を次の半円で表す：

$y=0$ となるのは $\theta=0,\pi$ の二点だけである。境界時空面では座標 $(x,0,t)$ を $(x,t)$ と表す。この座標で各点を $I_t$ にわたって追うと、$S_g\cap\partial M=\{x_L,x_R\}\times I_t$ となる。これは先ほどの区間作用の両端を、境界時空面に描き直した二本の線である。

1. 固定時刻2. 時空の面3. 境界時空

「固定時刻」は切れ目 $C_g$ と境界区間 $I$。「時空の面」は同じ弧を各 $t\in I_t$ に置いてできる面 $S_g$ と、青い境界時空面 $\partial M$。「境界時空」はその青い面を正面から示す。二本の紫の線は、どちらも最初の図の $x_L,x_R$ を時間方向に追ったものである。

次に、区間作用を二回続けた結果を、一回の作用と比較する。区間内の右向き結合の入力ラベルを $(a,b)$ とし、先に $h$、次に $g$ を作用させると、その結合には $f_h(a,b)f_g(ha,hb)$ が掛かる。一回の $gh$ 作用では $f_{gh}(a,b)$ である。結合ごとの比を区間全体で掛けたとき、内部ラベルの因子が消えて両端だけに残るかを調べる。

まず四引数を同じ $h^{-1}$ で左から掛けても $\nu_3$ が変わらないことから、$f_g(ha,hb)=\nu_3(a,b,h^{-1}g^{-1},h^{-1})^{-1}$ と書き直せる。次に用いる3コサイクルの五項関係は、必要な比の形に直すと

この式に $(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,b,h^{-1}g^{-1},h^{-1},1)$ を入れると、結合ごとの比は

この等式の左側は一つの結合での二回と一回の作用の差、右側はその結合の左右の端点に分かれた位相である。例えば連続する $(a,b)$ と $(b,c)$ では二つの比を掛けると $\lambda(b)$ が消え、$\lambda(a)/\lambda(c)$ だけになる。全区間でも同様に内部ラベルの因子が消えるので、左右端の入力ラベルを $a,c$ と書けば

$\Omega_{g,h}^I$ は二端点のラベルだけに作用する。従って、二本の欠陥線 $g,h$ を一本の $gh$ 線にまとめるとき、左端では残った $\lambda_{g,h}(a)$ を取り除く接合写像を指定する必要がある。ここではその写像の係数を $\lambda_{g,h}(a)^{-1}$ と取る。右端では逆向きの因子になる。Else–Nayak, §I.B, 式(3)–(5)、Chenほか, Appendix I, 式(I3)–(I10)。

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橙色は結合ごとの比、青い点は左端の接合写像である。図の $\lambda$ は二回作用の後に残る因子で、接合写像にはその逆数を使う。

結合子を得るには三つの作用を比較する。右から $k,h,g$ の順に作用させ、左端の最初のラベルを $a$ とする。先に $g,h$ をまとめる経路と、先に $h,k$ をまとめる経路で、取り除く前に残る端点因子はそれぞれ

第一項の引数が $ka$ なのは、$g,h$ をまとめる時点では $k$ がすでに左端のラベルを変えているからである。接合写像の係数は残存因子の逆数だから、二つの経路の係数は $m_L=\Lambda_L^{-1}$ と $m_R=\Lambda_R^{-1}$。前段と同じく左の木 $((gh)k)$ から右の木 $g(hk)$ への付け替え位相を $m_R/m_L$ と定めると、$\omega_{\partial}=\Lambda_L/\Lambda_R$ である。

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橙色の $\lambda$ は接合前の残存因子である。青い点の接合写像の係数は各因子の逆数であり、二経路の係数比が $\omega_{\partial}$ になる。

同じ五項関係を今度は $(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4)=(a,k^{-1}h^{-1}g^{-1},k^{-1}h^{-1},k^{-1},1)$ としてこの比に用いると、端点ラベル $a$ は消え、

最後の等号では、四引数をすべて同じ $ghk$ で左から掛けても $\nu_3$ が変わらないことを使った。この四引数で評価した値は、バルクの3コサイクルを三引数で書いた $\omega_{\mathrm{bulk}}(g,h,k)=\nu_3(1,g,gh,ghk)$ である。選んだ境界の向きと接合規約で二つの代表元は等しい。二本線の接合係数を $u(g,h)$ 倍して選び直すと、前に描いた二つの接合木と同じく、境界の $\omega_{\partial}$ には右木と左木の位相比 $u(h,k)u(g,hk)/[u(g,h)u(gh,k)]$ が掛かる。この比は3コバウンダリなので、不変な主張は

である。Chenほか, Appendix I, 式(I11)–(I13)、Bhardwaj–Gaiotto–Kapustin, §3.3, Fig. 17。

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左の四頂点はバルクの $\nu_3$ の引数、右の二つの木は境界の接合順である。下の等式は、選び直しに依らない $H^3$ の類の一致を示す。

$[\omega_{\mathrm{bulk}}]\ne0$ の固定点模型では、境界の接合順の差も $[\omega_{\partial}]\ne0$ になる。これは前段で調べた、厳密に1次元のオンサイト作用なら $[\omega]=0$ を選べるという結果と対照的である。全バルクの対称性はサイトごとの積で実現されるが、境界状態に誘導された作用には結合位相が残り、その区間制限の端点は非自明な結合子を持つ。この意味で、境界のアノマリーがバルクの2+1次元群コホモロジーSPTの類を表している。

$[\omega]=0$ で代表元を $\omega=1$ と選べば、整合式は§1.2の2コサイクル条件になる。厳密な1次元系のSPTでは、接合位相の選び直しを同一視した $H^2(G,U(1))$ が相を区別する。一方、ここで計算した $H^3(G,U(1))$ の類は、境界の $\mathrm{Vec}_G^\omega$ 対称性作用を厳密な1次元のオンサイト作用として実現する際の障害を記録する。Thorngren–Wang, §§2.2–2.3、Bhardwajほか, §3.3。

$\mathrm{Vec}_G^\omega$ では、§3.2のファイバー関手のテンソル写像 $J_{g,h}:\mathbb C\otimes\mathbb C\to\mathbb C$ が接合位相 $\beta(g,h)$ である。三本の線についての整合条件がこの節の $\omega$ と $\beta$ の式になり、それを満たす $\beta$ が存在するのは $[\omega]=0$ の場合に限る。したがって $[\omega]\ne0$ はファイバー関手の不存在としても現れる。§3.2の分類では、一般のユニタリフュージョン圏 $\mathcal C$ でも、真空が一つで対称性を保つ1+1次元のギャップ相には $\mathcal F:\mathcal C\to\mathrm{Vec}$ が必要である。この関手が存在しないことを、そのような相への障害としてアノマリーと呼ぶ。

4. 具体例：$\mathrm{Rep}(D_8)$ では何が三つに分かれるか

4.1 線の融合と、鎖上で逆演算が存在しない理由

ここでの $D_8$ は位数8の正方形の二面体群である。90度回転を $r$、反射を $s$ とすると $r^4=s^2=1$、$srs=r^{-1}$ を満たす。同じ群を $D_4$ と呼ぶ文献もある。$\mathrm{Rep}(D_8)$ の単純線は、四つの一次元表現 $1,\eta_e,\eta_o,\eta_e\eta_o$ と、一つの二次元表現 $D$ からなる。一次元表現は $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ として掛け合わされ、$D$ については

右辺の直和は、二本の $D$ 線を融合したときに得られる四つの経路を表す。したがって $D$ は一本の線に融合して戻る逆線を持たない。量子次元も $d_D^2=1+1+1+1$ から $d_D=2$ となる。$\mathrm{Rep}(D_8)$ という指定には、この融合則とともに接合の組み替え方が含まれる。以下の鎖でその圏が実現するという同定には、ゲージ化後に双対な $D_8$ 対称性を得る一次資料の結果を用いる。Seifnashri–Shao, §II, App. B.3

偶数個のサイトを持つ周期鎖で $X_j,Z_j$ を各サイトのパウリ演算子とする。$X_j^2=Z_j^2=1$、$X_jZ_j=-Z_jX_j$ であり、別のサイトの演算子とは可換である。

と置く。$K_j$ は互いに可換で、周期鎖では独立な $K_j=+1$ の条件が一意なギャップ付き基底状態を定める。この鎖の非可逆な保存演算 $D$ は、$\eta_e,\eta_o$ に不変な局所演算子の間で

という交換を実装する。この二つの式を続けて使うと $DK_j=K_jD$ となり、クラスター・ハミルトニアンを保つことが分かる。Seifnashri–Shao, §II, 式(4)–(8)

この交換をユニタリ $U$ による共役変換だと仮定すると、偶数サイトの式をすべて掛けた左辺は $U\eta_eU^{-1}$、右辺は各奇数サイトの $Z$ が二回ずつ現れるので $1$ になる。すると $\eta_e=1$ とならなければならないが、全ヒルベルト空間には $\eta_e=-1$ の状態もある。ゆえに、この交換は全ヒルベルト空間上の可逆な共役変換では実現できない。実際の $D$ は

を満たす。$\eta_e$ または $\eta_o$ が $-1$ の状態には $D=0$ であり、ここに核がある。両方が $+1$ の部分では $D^2=4$ となる。この射影を伴う作用こそ、融合則が格子演算子として現れる仕方である。論文の規格化ではクラスター基底状態に $D|\mathrm{cluster}\rangle=2|\mathrm{cluster}\rangle$ と作用する。係数2は上で求めた $d_D$ に一致する。Seifnashri–Shao, §II, 式(7)–(8), App. E.1

4.2 同じ群SPTの内部に、なぜ三つあるのか

クラスター相、odd相、even相は、可逆対称性 $\eta_e,\eta_o$ だけで見れば同じ非自明な群SPT相に属する。一方、非可逆線 $D$ の接合まで固定すると、三つは異なる $\mathrm{Rep}(D_8)$ 対称な相になる。群対称な有限深さ回路は三状態を結ぶが、その回路は $D$ を保たない。Seifnashri–Shao, §III.2, 式(16)–(20)

クラスター状態の構成も、群対称性と回路の関係を具体的に示す。$|+\rangle^{\otimes L}$ に全隣接結合の controlled-$Z$（CZ）を作用させるとクラスター状態になる。CZは $Z$ 基底の $|11\rangle$ の符号だけを反転する二サイトゲートであり、$X_j$ を $X_jZ_{j+1}$ に変える。全結合のCZを掛けた回路 $V$ は $X_j$ を $K_j$ に変える。周期鎖で偶数 $j$ の $K_j$ を掛けると、奇数サイトの $Z$ が二回ずつ現れて消え、$V\eta_eV^{-1}=\eta_e$ となる。奇数側も同じである。回路全体は群対称だが、個々のCZは対称ではないので、この計算だけでは群SPTを積状態と同一視できない。Seifnashri–Shao, §I, 式(1)–(3)

クラスター状態で偶数サイトの安定化子を区間 $p\le n\le q$ で掛けると、内側の $Z$ は対になって消え、

となる。これは群SPTのストリング秩序を具体的に示す。三相の差は、次に調べる $D$ の接合位相に現れる。

§3.2で得た一つの真空に $D$ 欠陥を入れると、その状態空間 $\mathcal F(D)$ は $d_D=2$ 次元である。可逆線 $g$ は $g\otimes D\cong D\cong D\otimes g$ を満たすので、$D$ の左から $g$ を接合しても、右から接合しても、この二次元空間の中に戻る。二つの付け方が定める作用は、§3.2のテンソル写像 $J$ と接合演算を使って比較する。通常の周期鎖の一意な真空 $\mathcal F(1)$ では見えなかった、欠陥付き空間の接合情報がここに残る。

可逆線の群を $A=\{1,e,o,d=e+o\}\cong\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$ と書く。$e,o$ は上の $\eta_e,\eta_o$ に対応する。$\mathrm{Rep}(D_8)$ についての文献の分類では、左と右からの接合を整合的に対応させる位相を、共通の接合規約の下で $\nu(g)\in\{+1,-1\}$ と記録する。これは $D$ 自身の固有値ではなく、同じ $g$ を欠陥の両側から作用させる 二つの接合の比較 である。二本の可逆線 $g,h$ を一緒に動かす経路と順に動かす経路の差は、圏の結合則に含まれる符号 $\chi(g,h)$ で決まる。$\chi$ は各ラベルについて群積を保つ 双指標（bicharacter） であり、この二経路の整合性から、比較位相 $\nu$ は $\nu(1)=1$ と

を満たす。これを $\chi$ の 二次形式の細分（quadratic refinement） と呼ぶ。この圏の非対角な $\chi$ は $\chi(e,o)=-1$、$\chi(e,e)=\chi(o,o)=+1$ なので、$\nu(d)=-\nu(e)\nu(o)$ である。したがって最初の二符号を選ぶと第三の符号が決まる。Thorngren–Wang, §3.2.5

それでも候補は四つある。$D$ は自分の向きを反転した線と同じであり、その二本を単位線へつなぐ不変な双線形形式がある。$D_8$ の通常の二次元実表現ではこの形式は対称であり、その性質を表す Frobenius–Schur 指標は $\epsilon=+1$ である。$D$ を二本融合する接合の結合則は、符号和 $\sum_{g\in A}\nu(g)$ の符号が $\epsilon$ と一致することを要求する。この結合則の結果は一次資料に委ね、ここでは四候補への適用を計算する。$a=\nu(e),b=\nu(o)$ と書けば

したがって最後の候補だけが除かれ、三つのファイバー関手が残る。ファイバー関手は、各線にベクトル空間を対応させ、融合と接合を矛盾なく具体化するデータであり、この条件下で基底状態が一意で対称性を保つギャップ相を分類する。三という数は融合係数や $d_D=2$ だけから数えたものではない。Thorngren–Wang, §3.2.4–3.2.5, 式(3.61)