参照文献と使用した版
本文は、以下の一次文献の指定版に基づく。参照日は2026年10月12–14日。引用の節番号は、表に挙げたarXiv版に対応する。本文の次元方程式、射影表現の位相条件、クラスター状態のストリング期待値は、引用した定義・模型から本文内で導いた。
| 文献 | 使用版・本文へのリンク | 本文での役割・対応箇所 |
|---|---|---|
| Xie Chen, Zheng-Cheng Gu, Xiao-Gang Wen, Classification of Gapped Symmetric Phases in 1D Spin Systems | arXiv:1008.3745v2, 2010-09-05。Phys. Rev. B 83, 035107 (2011) | 一次元の局所ユニタリ同値、対称性を外した積状態への帰着。概要および分類の枠組み |
| Ryan Thorngren, Yifan Wang, Fusion Category Symmetry I: Anomaly In-Flow and Gapped Phases | arXiv:1912.02817v1, 2019-12-05 | §§2.3–2.4：モジュール圏、真空数、ランク1とファイバー関手。§3.2.4–3.2.5：二次形式の細分、符号和の条件、 の三つのファイバー関手と界面符号 |
| Kyle Kawagoe, Michael Levin, Anomalies in bosonic SPT edge theories: connection to F-symbols and a method for calculation | arXiv:2105.02909v1, 2021-05-06 | §§I, III：2+1次元ボソンSPTバルクの 類と1+1次元境界のアノマリー、境界の欠陥接合の 記号 |
| Kansei Inamura, Topological field theories and symmetry protected topological phases with fusion category symmetries | arXiv:2103.15588v1, 2021-03-29 | §2：線と融合圏。§3.2：時間反転を含まないボソンSPTのファイバー関手分類、ねじった空間の次元（式3.2）。§4：時間反転を含む拡張 |
| Lakshya Bhardwaj, Lea E. Bottini, Daniel Pajer, Sakura Schafer-Nameki, Gapped Phases with Non-Invertible Symmetries: (1+1)d | arXiv:2310.03784v3, 2024-03-01 | §3.3：SPT、Vec_GとRep(G)、群の異常。§3.4：電荷と秩序変数。§3.5：SymTFTの二つの境界、分類への使用 |
| Sahand Seifnashri, Shu-Heng Shao, Cluster state as a non-invertible symmetry protected topological phase | arXiv:2404.01369v2, 2024-09-26 | §I：クラスター状態と局所回路。§II, App. B.3：非可逆演算とRep(D8)の同定。§III：三相とKT変換。§IV, 式(23)–(27)：界面の射影代数と三相の符号。§V：積み重ねと基準の問題 |
| Chenqi Meng, Xinping Yang, Tian Lan, Zhengcheng Gu, Non-invertible SPTs: an on-site realization of (1+1)d anomaly-free fusion category symmetry | arXiv:2412.20546v2, PDF, 2025-03-31 | §I, pp.2–3：UVデータ(C,f)、自明相、積み重ね。§§II–III：オンサイトMPO実現。§IV：固定点模型。§§VI–VII：電荷・欠陥の融合を含む分類の精度 |
| Yichul Choi, Brandon C. Rayhaun, Yaman Sanghavi, Shu-Heng Shao, Remarks on Boundaries, Anomalies, and Noninvertible Symmetries | arXiv:2305.09713v2。Phys. Rev. D 108, 125005 (2023) | §3：一意な対称的ギャップ相の障害とゲージ化の障害の区別。§3.2：線の網と代数対象によるゲージ化 |
| Shu-Heng Shao, What's Done Cannot Be Undone: TASI Lectures on Non-Invertible Symmetries | arXiv:2308.00747v2, 2024-03-30 | §§2.1–2.2：対称演算と欠陥。§3.1：Isingの融合。§3.4.1：一般の融合圏とFibonacciの例 |
| Da-Chuan Lu, Zhengdi Sun, Intrinsic NISPT Phases, igNISPT Phases, and Mixed Anomalies of Non-Invertible Symmetries | arXiv:2511.01965v2, 2025-11-13 | §§1, 3：群型のギャップ相へゲージ化で帰着しないintrinsic NISPT。§4：igNISPTとUV/IRの異常の区別。§5：3+1次元の構成 |
分類を読む際の条件
- ファイバー関手による分類は、本文で指定した1+1次元・ボソン系・有限ユニタリ内部融合圏対称性の、時間反転を含まない低エネルギー分類として用いる。
- 融合係数だけの一致、量子次元の整数性、周期鎖での保存演算の可換性だけでは、融合圏の同定やSPT分類を完了しない。
- ファイバー関手がないという意味の異常と、指定した線の代数対象をゲージ化できないという意味の障害は区別する。
- UVの対称性作用・局所性・電荷融合を固定する分類は、融合圏だけを指定したIR分類へ自動的には還元しない。Mengほかでは、局所作用を指定するデータと、その指定に対応する自明相の構成を扱う。
- Lu–Sunは近年の構成例を示す文献として用いる。研究先端の全体を網羅する文献一覧ではない。