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Fuzzy sphere regularization 入門

球面上の lowest Landau level から 3d CFT の conformal data へ至る構成を追う

Fuzzy sphere regularization は、3d CFT を S2×RS^2\times\mathbb{R} 上の有限サイズ量子多体系として調べる方法である。Radial quantization では 3d CFT の局所演算子が S2S^2 上の状態に対応するので、有限サイズ Hamiltonian の spectrum、matrix element、correlator から conformal data を抽出できる。

問題は、S2S^2 上で自由度を有限個に減らしながら回転対称性を壊さない cutoff をどう作るかである。Spherical lowest Landau level はそのための一粒子空間を与える。この空間の上に対称性を保つ many-body Hamiltonian を置き、critical point に tune すると、対応する 3d CFT の spectrum や matrix element を調べられる。

以下では、まずこの一般的な構成を説明し、その後は 3d Ising CFT を具体例に固定する。Ising の fuzzy-sphere Hamiltonian で spectrum を同定し、その同じ有限サイズ Hilbert space から OPE coefficients、four-point correlator、defect CFT data へ進む。

1. Spherical Landau Levels

fuzzy sphere regularization の入口は、球面上の lowest Landau level (LLL) を有限次元の一粒子 Hilbert space として使うことにある。ここがわかると、「fuzzy sphere は格子化ではない」「有限サイズでも SO(3)SO(3) が保たれる」「orbital 数 Nm=2s+1N_m=2s+1 が cutoff になる」という説明が一つにつながる。

Landau level cutoff

まず平面の Landau level を思い出す。2次元平面上の荷電粒子を一様磁場中に置くと、運動エネルギーのスペクトルは離散的な Landau level に分かれる。各 Landau level は大きな縮退を持つ。

直観的には、強い磁場によって cyclotron motion が高いエネルギーに押し上げられ、低エネルギーでは guiding center の自由度だけが残る。

fuzzy sphere で使うのは、この球面版である。

球面 S2S^2 上で一様磁場を作るには、球の中心に磁気単極子を置く。球面を貫く磁束を

4πs4\pi s

と書く。ここで ss は半整数で、Dirac quantization により

s∈12Zs \in \frac{1}{2}\mathbb{Z}

となる。

この背景磁場中の荷電粒子の一粒子固有状態が、球面 Landau levels を作る。平面 Landau level と違って、球面は有限体積なので、各 Landau level の縮退度も有限になる。

最低 Landau level の縮退度は

Nm=2s+1.N_m = 2s+1.

この NmN_m が fuzzy sphere 文献でよく出てくる orbital 数である。

LLL の状態は

m=−s,−s+1,…,sm=-s,-s+1,\ldots,s

でラベルできる。これは角運動量 ss の multiplet と同じ個数で、実際に LLL は SO(3)SO(3) の spin-ss 表現をなす。

ここが重要で、mm は「球面上の格子点番号」ではない。NmN_m 個の orbital は有限個の自由度として使えるが、その全体が回転対称性の既約表現として変換する。

普通の格子正則化では、球面や平面を点の集合に置き換える。そのため連続回転対称性は有限サイズで壊れ、熱力学極限で回復することを期待する。球面 Landau level cutoff は違う。有限個の LLL orbital を残しても、それらは最初から SO(3)SO(3) 表現になっている。したがって有限サイズでも回転対称性を厳密に保てる。

fuzzy sphere が 3d CFT に向いている理由の一つはこれである。radial quantization では CFT を S2×RS^2\times\mathbb{R} 上の Hamiltonian 問題に変換するので、球面上の回転対称性 SO(3)SO(3) は CFT operator の spin と直接対応する。

Wavefunctions

球面 Landau level の一粒子波動関数は、monopole background に合わせた球面調和関数、つまり monopole harmonics で書かれる。記号はいくつか流儀があるが、典型的には

Yq,ℓ,m(θ,ϕ)Y_{q,\ell,m}(\theta,\phi)

のように書く。ここで qq は monopole charge、ℓ\ell は全角運動量、mm はその zz 成分である。ここでの ss は monopole charge qq に対応する。

monopole charge がない通常の球面調和関数では

ℓ=0,1,2,…,m=−ℓ,…,ℓ\ell=0,1,2,\ldots,\qquad m=-\ell,\ldots,\ell

である。monopole charge が ss の sector では、最小の角運動量が 00 ではなく ss になる。Landau level index を n=0,1,2,…n=0,1,2,\ldots とすると、

ℓ=s+n,m=−ℓ,…,ℓ.\ell=s+n,\qquad m=-\ell,\ldots,\ell.

したがって nn 番目の Landau level の縮退度は

2ℓ+1=2(s+n)+1.2\ell+1=2(s+n)+1.

特に LLL は n=0n=0 なので

ℓ=s,m=−s,…,s,\ell=s,\qquad m=-s,\ldots,s,

となり、縮退度は 2s+12s+1 になる。

LLL の波動関数は、球面の spinor coordinates

u=cos⁡θ2eiϕ/2,v=sin⁡θ2e−iϕ/2u=\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi/2},\qquad v=\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi/2}

を使うと見通しがよい。これは通常の一価な球面関数としての表示ではなく、monopole gauge を選んだときの局所的な波動関数表示だと思うのがよい。規格化を除けば、LLL basis は

ψm(θ,ϕ)∝us+mvs−m,m=−s,…,s.\psi_m(\theta,\phi) \propto u^{s+m}v^{s-m}, \qquad m=-s,\ldots,s.

指数 s+ms+m と s−ms-m は非負整数で、その和は常に

(s+m)+(s−m)=2s(s+m)+(s-m)=2s

である。つまり LLL は、u,vu,v の次数 2s2s の同次多項式全体として見られる。この空間の次元は

2s+12s+1

で、spin-ss 表現そのものになっている。

ただし、uu と vv は ϕ→ϕ+2π\phi\to\phi+2\pi で

u→−u,v→−vu\to -u,\qquad v\to -v

と変わる。したがって us+mvs−mu^{s+m}v^{s-m} は全次数 2s2s のため、同じ変換で (−1)2s(-1)^{2s} を拾う。2s2s が奇数なら、この patch 表示の波動関数は符号が変わる。

これは矛盾ではない。monopole background では、波動関数を全球面上の普通の一価関数として扱うのではなく、gauge の貼り合わせ込みで扱う。物理的に必要なのは、patch 間の gauge transformation まで含めて一貫していることであり、その条件が 2s∈Z2s\in\mathbb{Z} という flux quantization と対応する。

この書き方では、m=sm=s の状態は u2su^{2s}、m=−sm=-s の状態は v2sv^{2s} である。これらはそれぞれ北極・南極付近に重みを持つ。中間の mm は緯度方向に分布する。ただし、これらは厳密な位置固有状態ではない。mm basis は LzL_z を対角化する便利な基底であり、「格子点」ではない。

この holomorphic な同次多項式表示は LLL に特有である。高い Landau level では

ℓ=s+n,n>0\ell=s+n,\qquad n>0

となるので、同じ monopole charge ss のもとで、角運動量だけが大きくなる。その波動関数は単に u,vu,v の次数 2s2s の同次多項式では書けず、uˉ,vˉ\bar u,\bar v も含む monopole harmonics として現れる。

したがって、monopole harmonics 全体は

Ys,ℓ,m,ℓ=s,s+1,s+2,…,m=−ℓ,…,ℓY_{s,\ell,m},\qquad \ell=s,s+1,s+2,\ldots,\qquad m=-\ell,\ldots,\ell

でラベルされるが、fuzzy sphere regularization でまず残す一粒子空間は、そのうち

ℓ=s\ell=s

の LLL multiplet だけである。LLL が特別に扱いやすいのは、この部分だけが u,vu,v の holomorphic 同次多項式として閉じるからである。

Monopole harmonics

普通の球面調和関数 YℓmY_{\ell m} は、monopole charge がない sector の角運動量固有関数である。monopole harmonics はその自然な拡張で、q=0q=0 に戻すと通常の球面調和関数になる。

Y0,ℓ,m(θ,ϕ)=Yℓm(θ,ϕ)Y_{0,\ell,m}(\theta,\phi)=Y_{\ell m}(\theta,\phi)

という関係だと思えばよい。

monopole がない場合、波動関数は球面上の通常の scalar function であり、YℓmY_{\ell m} がその基底になる。monopole がある場合、荷電粒子の波動関数は gauge field に結合しているため、単一の全球的一価関数として書けるとは限らない。実際には gauge patch ごとの表示と、その重なりでの gauge transformation を合わせて考える。そのため微分演算子も普通の微分ではなく gauge-covariant derivative になる。

対応して、角運動量も素朴な orbital angular momentum

L=−ir×∇\boldsymbol{L}=-i\boldsymbol{r}\times\nabla

だけではなく、gauge field の寄与を含む conserved angular momentum を使う。半径 R=1R=1、単位電荷、monopole flux 4πs4\pi s という規約では、covariant derivative を

D=∇−iAD=\nabla-iA

として、conserved angular momentum は典型的に

J=−i r×D−s r^\boldsymbol{J}=-i\,\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{D}-s\,\hat{\boldsymbol{r}}

と書ける。符号は電荷と monopole charge の規約で入れ替わるが、gauge potential を含む微分と、monopole charge に比例する radial term が一緒に入る点は変わらない。この J\boldsymbol{J} は

[Ji,Jj]=iϵijkJk[J_i,J_j]=i\epsilon_{ijk}J_k

を満たし、monopole harmonics は J2,Jz\boldsymbol{J}^2,J_z の同時固有関数になる。

LLL の spinor-coordinate 表示では、角運動量生成子は u,vu,v についての微分作用素

Jz=12(u∂u−v∂v),J+=u∂v,J−=v∂uJ_z=\frac{1}{2}\left(u\partial_u-v\partial_v\right), \qquad J_+=u\partial_v, \qquad J_-=v\partial_u

で与えられる。

これらの作用は u,vu,v の次数 2s2s の同次多項式全体を保つ。この表示を使うと、LLL basis が spin-ss multiplet であることはそのまま計算で見える。LLL は u,vu,v の次数 2s2s の同次多項式空間

ψm∝us+mvs−m,m=−s,…,s\psi_m\propto u^{s+m}v^{s-m}, \qquad m=-s,\ldots,s

として作れる。上の生成子を作用させると

Jz us+mvs−m=m us+mvs−m,J_z\,u^{s+m}v^{s-m}=m\,u^{s+m}v^{s-m},

かつ J±J_\pm は mm を ±1\pm1 だけ動かす。端では J+u2s=0J_+u^{2s}=0、J−v2s=0J_-v^{2s}=0 なので、次数 2s2s の空間は spin-ss 表現として閉じる。Casimir はこの空間上で

J2=s(s+1)\boldsymbol{J}^2=s(s+1)

を与える。monopole harmonics の言葉では、これが LLL の ℓ=s\ell=s に対応する。

この違いのため、monopole がある場合には ℓ=0\ell=0 からではなく、ℓ=s\ell=s から始まる。これが LLL の縮退度 2s+12s+1 の直接の理由である。

fuzzy sphere で使う cutoff は、通常の scalar function の展開

⨁ℓ=0∞span{Yℓm}\bigoplus_{\ell=0}^{\infty} \mathrm{span}\{Y_{\ell m}\}

を角運動量でそのまま切るものではない。monopole charge ss の sector に移り、その中の LLL

span{ψm}m=−ss.\mathrm{span}\{\psi_m\}_{m=-s}^{s}.

を一粒子 Hilbert space として残す。この意味で、通常の球面調和関数との関係は「同じ SO(3)SO(3) 表現論を使うが、背景 gauge flux が入った sector を使っている」と言うのが一番正確である。

LLL projection

ここまでで見たのは一粒子問題である。full Hilbert space には LLL だけでなく、高い Landau level も含まれるため、全体としてはまだ無限次元である。一方、各 Landau level は有限縮退を持ち、それ自体が SO(3)SO(3) multiplet になっている。したがって、SO(3)SO(3) を保った有限自由度の regulator を作るには、Landau level を有限個だけ残せばよい。fuzzy sphere regularization では、その最小の選択として LLL だけを残す。

この時点で、一粒子 Hilbert space は

full one-particle Hilbert space on S2⟶LLL Hilbert space of dimension 2s+1.\text{full one-particle Hilbert space on } S^2 \quad\longrightarrow\quad \text{LLL Hilbert space of dimension } 2s+1.

と置き換わる。多体系では、この有限個の orbital に粒子や flavor を入れて many-body Hilbert space を作る。

もし背後に full Hilbert space の Hamiltonian HH があり、それを低エネルギー部分へ落とすと考えるなら、LLL 内に残る最初の項は

Hproj=PLLLHPLLLH_{\rm proj}=P_{\rm LLL} H P_{\rm LLL}

である。これは「LLL の中で始まり、LLL の中で終わる成分だけを残す」という意味での projected Hamiltonian である。

有限の Landau level gap では、高い Landau level への混合は相互作用の強さに応じて摂動的に残る。最初の補正として next Landau level の寄与を含めるなら、LLL と next Landau level の energy separation を ΔLL\Delta_{\rm LL} とおいて、摂動展開として

−PLLLH(1−PLLL)1ΔLL(1−PLLL)HPLLL- P_{\rm LLL}H(1-P_{\rm LLL}) \frac{1}{\Delta_{\rm LL}} (1-P_{\rm LLL})HP_{\rm LLL}

のような補正が出る。これは LLL から next Landau level に一度出て戻る virtual process が、ΔLL\Delta_{\rm LL} で抑えられるという見方である。LLL の有効理論では、相互作用係数のずれや、もともと書いていなかった多体相互作用として現れる。量子 Hall 系で Landau level mixing を低エネルギー有効 Hamiltonian に押し込む見方と同じ種類の話である。

fuzzy sphere の実際の model building では、full Hamiltonian から射影計算を始めるというより、LLL orbital 上に SO(3)SO(3) や内部対称性を保つ Hamiltonian を直接定義することが多い。目的は microscopic Hamiltonian そのものではなく、tune した先の IR critical theory である。だから、高い Landau level を積分して得られる細かい相互作用を第一原理的に全部決めることよりも、LLL 上の相互作用を選び、相図の中で目的の critical point に tune することが中心になる。

Fuzzy sphere

普通の球面では、座標は可換な関数

x1,x2,x3,x12+x22+x32=R2x_1,x_2,x_3,\qquad x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2

である。これらは球面上の点を指定する classical coordinates であり、

[xi,xj]=0[x_i,x_j]=0

である。

LLL に制限した後は、同じ座標関数を LLL Hilbert space 上の演算子にする。つまり

Xi=PLLLxiPLLLX_i=P_{\rm LLL}x_iP_{\rm LLL}

を考える。PLLLP_{\rm LLL} で挟むので、XiX_i は (2s+1)×(2s+1)(2s+1)\times(2s+1) の有限次元行列になる。

この射影後の座標は、もとの xix_i のようには可換でない。LLL は spin-ss 表現なので、射影後の座標は角運動量行列と同じ構造を持ち、規格化を除けば

Xi∼RsJiX_i \sim \frac{R}{s}J_i

のように振る舞う。したがって

[Xi,Xj]∼iRsϵijkXk[X_i,X_j]\sim i\frac{R}{s}\epsilon_{ijk}X_k

となる。有限の ss では座標が非可換な行列になり、s→∞s\to\infty で右辺が小さくなって可換な球面座標に戻る。

この非可換性が短距離 cutoff を与える。つまり fuzzy sphere は、球面を小さい plaquette に分割するのではなく、座標関数の代数を有限次元行列で近似する。

この意味で「fuzzy」である。

ここまでの構成では、LLL 後の一粒子 Hilbert space は結局

HsLLL≃spin-s irrep of SU(2)\mathcal{H}^{\rm LLL}_s \simeq \text{spin-}s\text{ irrep of }SU(2)

なので、はじめから spin-ss 表現で考えてもよいように見える。一粒子空間だけを抽象化すれば、それはほぼ正しい。

ただし、monopole sphere から構成すると、その spin-ss 表現に幾何学的な意味が付く。これは内部 spin ではなく、球面上の orbital space であり、JiJ_i は座標演算子 XiX_i を作るための generator になる。

多体系でもこの幾何学的な由来が効く。単に 2s+12s+1 個の状態があるだけでは、どの相互作用が球面上で自然なのかが見えにくい。LLL on sphere として構成すると、density operator、relative angular momentum、pseudopotential などを使って、球面上の局所的な相互作用を LLL に射影したものとして Hamiltonian を設計できる。

つまり、monopole background 上の Landau level construction は、目的の CFT が物理的な背景磁場を持つという意味ではない。spin-ss 表現を、球面上の空間自由度の正則化として使うための幾何学的実現である。

3d CFT への接続

radial quantization では、3d CFT の空間は S2S^2、時間は R\mathbb{R} である。

S2×R.S^2 \times \mathbb{R}.

したがって、球面上に有限 Hilbert space を作り、そこに相互作用 Hamiltonian を置き、臨界点に tune できれば、CFT の spectrum を数値的に抽出できる。

このとき球面 Landau level は次の役割を果たす。

ただし、ss を変えると monopole charge も LLL Hilbert space も変わる。したがって「同じ microscopic theory の cutoff を細かくする」というより、ss ごとに定義された Hamiltonian の列

Hs(g1,g2,…)H_s(g_1,g_2,\ldots)

を tune し、IR data が同じ CFT に近づくかを確認する、という理解が近い。同じ理論かどうかは、microscopic interaction が文字通り同じかではなく、scaling dimensions や OPE coefficients などの universal quantities が同じ極限に向かうかで判断する。

Notation

TermMeaning
monopole flux球面を貫く磁束。4πs4\pi s と書く。
ssflux を決める半整数。同時に LLL orbital が作る spin 表現の値。
LLLlowest Landau level。fuzzy sphere で残す一粒子空間。
Nm=2s+1N_m=2s+1LLL の orbital 数。
orbitalLLL の基底状態。格子点ではなく SO(3)SO(3) multiplet の成分。
monopole harmonicsmonopole background 中の球面上の一粒子固有関数。普通の YℓmY_{\ell m} の monopole あり版。
spinor coordinatesu=cos⁡(θ/2)eiϕ/2u=\cos(\theta/2)e^{i\phi/2}, v=sin⁡(θ/2)e−iϕ/2v=\sin(\theta/2)e^{-i\phi/2}。LLL 波動関数を gauge patch で同次多項式として書くのに便利。
pseudopotentialLLL 上の二体相互作用を relative angular momentum channel ごとに指定する量。
LLL projection高い Landau level を捨て、有限次元 Hilbert space に制限する操作。
fuzzyLLL 射影後に座標が非可換な有限次元行列になること。

2. LLL Hamiltonian

LLL Hilbert space を得ただけでは、まだ many-body model は決まらない。次に必要なのは、その有限個の orbital 上で許される Hamiltonian terms を書くことである。

Hamiltonian の指定

LLL の一粒子空間は

m=−s,−s+1,…,sm=-s,-s+1,\ldots,s

でラベルされる Nm=2s+1N_m=2s+1 個の orbital で張られる。many-body problem では、この orbital に粒子を入れるので、creation/annihilation operators

cm†,cmc_m^\dagger,\qquad c_m

を使って Hamiltonian を書く。

一体項の係数行列を hh と書く。これは一粒子 Hamiltonian を LLL orbital basis で見た行列要素で、

hmm′=⟨m∣h∣m′⟩h_{mm'}=\langle m|h|m'\rangle

と書くと、最も一般的な一体項は

H1=∑m,m′hmm′cm†cm′H_1=\sum_{m,m'} h_{mm'}c_m^\dagger c_{m'}

である。二体項までで打ち切って考えるなら、二粒子 Hilbert space 上の operator の行列要素を Vm1m2m3m4V_{m_1m_2m_3m_4} として、一般の二体項は、規格化や反交換符号の流儀を除けば、

H2=∑m1,m2,m3,m4Vm1m2m3m4cm1†cm2†cm3cm4H_2= \sum_{m_1,m_2,m_3,m_4} V_{m_1m_2m_3m_4} c_{m_1}^\dagger c_{m_2}^\dagger c_{m_3}c_{m_4}

の形を取る。一般には三体以上の項もありうる。

したがって、Hamiltonian を二体相互作用までで作る段階の問題は、

hmm′,Vm1m2m3m4h_{mm'},\qquad V_{m_1m_2m_3m_4}

をどう選ぶかである。ここではまず二体項までに限る。

ただし、fuzzy sphere では適当に行列要素を選ぶわけではない。LLL orbital は spin-ss 表現なので、球面の回転対称性 SO(3)SO(3) を保つように hh や VV を制限する。ここが格子模型の「近接サイトに相互作用を書く」発想と違う。

One-body terms

もし一種類の粒子だけを考え、full SO(3)SO(3) を保つなら、一体項は spin-ss multiplet の中で scalar でなければならない。Schur’s lemma 的に言えば、既約表現の中で回転と可換な operator は単位行列に比例する。

つまり

hmm′=ϵ δmm′h_{mm'}=\epsilon\,\delta_{mm'}

しか許されない。

この項は

H1=ϵ∑mcm†cm=ϵNH_1=\epsilon \sum_m c_m^\dagger c_m =\epsilon N

であり、粒子数 NN が固定されている sector では定数にすぎない。

したがって、単一 species かつ固定粒子数で二体項までに限るなら、次に調べるべき非自明な部分は二体相互作用である。

複数 flavor や追加の内部自由度がある場合、一体項にも非自明な構造が入りうる。ただし、ここでは単一の spin-ss LLL multiplet に対して SO(3)SO(3) が何を制限するかを調べる。

Two-body channels

二体状態は、二つの spin-ss orbital を合成したものなので、表現論としては

s⊗s=0⊕1⊕⋯⊕2ss\otimes s = 0\oplus 1\oplus \cdots \oplus 2s

に分解される。

二粒子 sector の basis vector は

∣s,m1;s,m2⟩|s,m_1; s,m_2\rangle

のようにラベルできる。ここで s,m1s,m_1 は、一つ目の粒子が spin-ss multiplet の m1m_1 成分にあることを表す。identical boson / fermion では、実際には適切に対称化または反対称化された二粒子 sector を使う。

回転対称性を使うには total angular momentum basis

∣L,M⟩|L,M\rangle

を使う方が自然である。両者は Clebsch-Gordan coefficient で結ばれる。

ここで ⟨s,m1;s,m2∣L,M⟩\langle s,m_1; s,m_2 | L,M\rangle は、二つの spin-ss 表現の product state を total angular momentum (L,M)(L,M) に合成する Clebsch-Gordan coefficient である。

∣L,M⟩=∑m1,m2⟨s,m1;s,m2∣L,M⟩∣s,m1;s,m2⟩.|L,M\rangle = \sum_{m_1,m_2} \langle s,m_1; s,m_2 | L,M\rangle |s,m_1; s,m_2\rangle.

二粒子 sector 上で、total angular momentum LL の部分空間への projector を

PL=∑M=−LL∣L,M⟩⟨L,M∣P_L = \sum_{M=-L}^{L} |L,M\rangle\langle L,M|

と定義する。

orbital labels で表すと、この projector の行列要素は

⟨s,m1;s,m2∣PL∣s,m3;s,m4⟩=∑M⟨s,m1;s,m2∣L,M⟩⟨L,M∣s,m3;s,m4⟩\langle s,m_1; s,m_2|P_L|s,m_3; s,m_4\rangle = \sum_M \langle s,m_1; s,m_2|L,M\rangle \langle L,M|s,m_3; s,m_4\rangle

で与えられる。実際の second-quantized Hamiltonian では、この projector の行列要素が Vm1m2m3m4V_{m_1m_2m_3m_4} の構成要素になる。

回転不変な二体相互作用は、MM に依存せず、total LL channel ごとの係数だけで指定できる。つまり二粒子 sector 上の interaction kernel は

h(2)=∑LVLPLh^{(2)}=\sum_L V_L P_L

と書ける。ここで VLV_L がその channel の相互作用強度である。このように二体相互作用を angular momentum channel ごとに指定する係数の集合を、量子 Hall や fuzzy sphere の文脈では Haldane pseudopotential、または単に pseudopotential と呼ぶ。

この h(2)h^{(2)} の matrix element を second-quantized form に持ち上げると、前に書いた Vm1m2m3m4V_{m_1m_2m_3m_4} を持つ二体 Hamiltonian になる。

Pseudopotentials

Pseudopotential は、real-space potential を LLL に射影した後の二体相互作用を channel ごとに並べたものである。局所性は、この係数列のパターンとして現れる。

平面上の短距離相互作用なら、二粒子が近い配置に大きなエネルギーを与える。LLL では「二粒子が近い」という情報は relative angular momentum channel に翻訳される。relative angular momentum が小さい channel ほど、二粒子が近づく成分を多く含む。

mrel=0,1,2,…m_{\rm rel}=0,1,2,\ldots

したがって、短距離 repulsion は低い mrelm_{\rm rel} channel の pseudopotential を大きくする形で表される。例えば contact-like な相互作用なら、最小の mrelm_{\rm rel} channel だけ、または少数の低い mrelm_{\rm rel} channel だけを強く penalize する、という見方になる。

球面では relative angular momentum を total angular momentum LL から

mrel:=2s−Lm_{\rm rel}:=2s-L

と定義する。したがって低い mrelm_{\rm rel} は大きい total LL に対応する。VmrelV_{m_{\rm rel}} と書かれている場合は、同じ channel を total-LL 表示で VL=2s−mrelV_{L=2s-m_{\rm rel}} と表せる。

したがって、pseudopotential は局所性そのものではないが、局所的・短距離的な相互作用が LLL 射影後にどの relative channel を penalize するかを表す。

Density operators

density-density 型の相互作用を書きたいときは、number density の spherical harmonic component を使うと便利である。

LLL には sharp な位置基底がないので、点 Ω\Omega での密度は overcomplete な LLL coherent state ∣Ω⟩\lvert \Omega\rangle を使って定義する。ここで ∣Ω⟩\lvert \Omega\rangle は、spin-ss multiplet の最高ウェイト状態を回転して、向き Ω\Omega に局在させた状態である。

LLL orbital を a,b=−s,…,sa,b=-s,\ldots,s でラベルし、

ψa(Ω)=⟨Ω∣a⟩\psi_a(\Omega)=\langle \Omega|a\rangle

と書くと、coherent-state density probe は

n(Ω)=∑a,bψa∗(Ω)ψb(Ω)ca†cbn(\Omega) = \sum_{a,b} \psi_a^*(\Omega)\psi_b(\Omega) c_a^\dagger c_b

の形を持つ。これは正規直交な位置基底での点密度ではなく、LLL に射影された smeared な density probe である。

その spherical harmonic component を

nℓq=∫dΩ Yℓq(Ω)n(Ω)n_{\ell q} = \int d\Omega\, Y_{\ell q}(\Omega)n(\Omega)

と定義すると、

nℓq=∑a,b(Yℓq)abca†cbn_{\ell q} = \sum_{a,b} (Y_{\ell q})_{ab} c_a^\dagger c_b

となる。ここで

(Yℓq)ab=∫dΩ ψa∗(Ω)Yℓq(Ω)ψb(Ω)(Y_{\ell q})_{ab} = \int d\Omega\, \psi_a^*(\Omega)Y_{\ell q}(\Omega)\psi_b(\Omega)

である。これは、関数 YℓqY_{\ell q} を掛ける一体 operator を LLL orbital basis に制限した行列要素である。表現論的には、固定した ℓ\ell に対する {nℓq}q=−ℓℓ\{n_{\ell q}\}_{q=-\ell}^{\ell} は rank-ℓ\ell tensor operator として変換する。

density-density 型の相互作用を SO(3)SO(3) scalar にするには、この rank-ℓ\ell tensor の qq 成分を縮約する。例えば

Hnn=∑ℓ,qgℓ :nℓq†nℓq:H_{nn} = \sum_{\ell,q} g_\ell\, :n_{\ell q}^\dagger n_{\ell q}:

のように書ける。gℓg_\ell は number-density の angular momentum component ごとの結合であり、qq に依存させないことで回転対称性を保つ。:⋯::\cdots: は normal ordering で、ここでは二体項を定義するために一体の自己項を分けている。

この density-density 型の表示は、二体相互作用を SO(3)SO(3) covariant に書く別の方法である。

Ising への接続

Hamiltonian の構成で最初に扱う具体例は 3d Ising fuzzy sphere である。目的は microscopic Hamiltonian そのものではなく、対称性を持つ有限サイズ Hamiltonian の列

Hs(g1,g2,…)H_s(g_1,g_2,\ldots)

を作り、パラメータを tune した先の低エネルギー spectrum が 3d Ising CFT の conformal spectrum に近づくかである。

そのため、Hamiltonian を構成するときに確認すべき点は次の三つである。

第一に、どの自由度を使うか。つまり orbital 数 Nm=2s+1N_m=2s+1、particle number、flavor、fermion/boson の区別である。

第二に、どの対称性を保つか。少なくとも fuzzy sphere の利点である SO(3)SO(3) は保つ。3d Ising CFT を目標にする場合は、CFT の基本対称性である Z2\mathbb{Z}_2 が microscopic Hamiltonian でどう実現されているかも確認する。その他の model-specific な対称性は、具体的な Ising Hamiltonian のところで扱う。

第三に、どの interaction parameters を tune するか。CFT では relevant operator による perturbation を調整して critical point に行く。fuzzy sphere では、microscopic interaction の係数を調整して、低エネルギー spectrum が CFT data に合う点を探す。

Notation

TermMeaning
orbital basisLLL の m=−s,…,sm=-s,\ldots,s でラベルされた一粒子基底。実装に近い。
creation operatororbital mm に粒子を作る operator cm†c_m^\dagger。
two-body matrix elementVm1m2m3m4V_{m_1m_2m_3m_4}。二体相互作用を orbital basis で指定する係数。
total angular momentum channel二粒子状態を ∣L,M⟩\lvert L,M\rangle に分解したときの LL sector。
projector PLP_L二粒子 total angular momentum LL sector への射影 operator。
pseudopotential二体相互作用を angular momentum channel ごとに指定する係数。局所性そのものではなく、射影後の相互作用の整理方法。
number-density operator nℓqn_{\ell q}粒子数密度の spherical harmonic component を LLL に射影した operator。
tuning parametermicroscopic Hamiltonian の係数。critical point へ近づけるために調整する。

3. 3d Ising spectrum

ここからは、一般的な cutoff の話を離れ、Zhu et al. (2023) の 3d Ising 実装に話を絞る。

Zhu et al. (2023) は、連続回転対称性を保った有限サイズの量子多体系から 3d Ising CFT の operator spectrum を抽出する。

CFT の spectrum data が、fuzzy sphere の有限サイズ Hamiltonian 問題でどう現れるかを整理する。regulator の構成だけでは、LL、energy gap、Z2\mathbb{Z}_2 sector が何のためのラベルなのかが見えにくい。

CFT での形

3d CFT では、局所演算子が理論の基本データを担う。代表的なデータは、scaling dimension、spin、対称性での変換性、OPE coefficient などである。ここで使うのは、そのうち spectrum に関係する部分である。

state-operator correspondence を使うと、平坦空間の原点に挿入した局所演算子は、S2×RS^2 \times \mathbb{R} 上の状態に対応する。ここで R\mathbb{R} は radial quantization の時間方向であり、S2S^2 は原点を囲む球面である。

この対応により、CFT 演算子の scaling dimension Δ\Delta は、球面上の Hamiltonian のエネルギーに対応する。球面半径を RR とすると、

Eα−E0∼ΔαRE_\alpha - E_0 \sim \frac{\Delta_\alpha}{R}

となる。1/R1/R は、無次元量である Δ\Delta を、半径 RR の球面上のエネルギーに直すための次元換算である。R=1R=1 の規約では、単に E=ΔE=\Delta と書ける。

同じ対応で、CFT 演算子の spin は、対応する球面上の状態がどの SO(3)SO(3) 表現に属するかとして現れる。したがって、球面上の状態を全角運動量 LL で分類できれば、それを CFT 演算子の spin と比べられる。

Ising 自由度

Zhu et al. (2023) では、LLL 上に二成分 fermion を置く。この二成分は、monopole の Zeeman field と結合する物理スピンではなく、Ising 自由度を作るための pseudospin と考える。各 Landau orbital mm に

cm=(cm↑cm↓)\mathbf{c}_m = \begin{pmatrix} c_{m\uparrow} \\ c_{m\downarrow} \end{pmatrix}

を置く。

この模型では、二成分を含めた LLL 全体の半分を埋める。軌道は 2s+12s+1 個、pseudospin は ↑,↓\uparrow,\downarrow の二成分なので、一粒子状態は全部で 2(2s+1)2(2s+1) 個ある。そのうち

N=2s+1N = 2s+1

個の fermion を入れる。つまり、LLL orbital 数と同じ数の fermion を入れるが、各 fermion は ↑/↓\uparrow/\downarrow のどちらかを取れる。

この条件を置くと、強磁性的な極限で

∣Ψ↑⟩=∏m=−sscm↑†∣0⟩,∣Ψ↓⟩=∏m=−sscm↓†∣0⟩|\Psi_\uparrow\rangle=\prod_{m=-s}^{s} c^\dagger_{m\uparrow}|0\rangle, \qquad |\Psi_\downarrow\rangle=\prod_{m=-s}^{s} c^\dagger_{m\downarrow}|0\rangle

という二つの状態が自然に出る。どちらも「全 orbital を一つの pseudospin 成分でちょうど埋める」状態であり、Z2\mathbb{Z}_2 変換で互いに入れ替わる。このため、charge の総数を固定したまま、↑/↓\uparrow/\downarrow の向きだけを Ising order parameter として扱える。

以後の spectrum analysis では、この半充填の固定粒子数空間で低エネルギー状態を調べる。つまり、total charge は固定し、↑/↓\uparrow/\downarrow の偏りを Ising order parameter として扱う。

この模型の Ising Z2\mathbb{Z}_2 は、二成分 pseudospin の交換として入る。

cm↦σxcm\mathbf{c}_m \mapsto \sigma^x \mathbf{c}_m

これは各 orbital で ↑\uparrow と ↓\downarrow を入れ替える対称性である。

Hamiltonian はこの Z2\mathbb{Z}_2 を保つように作られている。相互作用には pseudospin の zz 成分を使った Ising ferromagnetic term があり、さらに σx\sigma^x に比例する transverse field が入る。schematic には、

H=H00+Hzz+Ht,Ht∼−h∑mcm†σxcmH = H_{00} + H_{zz} + H_t, \qquad H_t \sim -h \sum_m \mathbf{c}_m^\dagger \sigma^x \mathbf{c}_m

という構造である。ここでの H00+HzzH_{00}+H_{zz} は pseudospin の向きをそろえる相互作用、HtH_t は ↑\uparrow と ↓\downarrow を混ぜる transverse field である。詳しい式は次の節で見る。

order parameter は pseudospin の zz 成分で、

M=∑m=−sscm†σz2cmM = \sum_{m=-s}^{s} \mathbf{c}_m^\dagger \frac{\sigma^z}{2} \mathbf{c}_m

と書ける。この MM は fermion を作ったり消したりする演算子ではない。固定した半充填 sector の中で、↑\uparrow と ↓\downarrow の偏りを測る双線形演算子である。したがって、Ising order parameter として追う揺らぎは total charge を変えない particle-hole 型の pseudospin 励起になる。LLL 上の fermion は regularization のための自由度であり、IR で Ising CFT に対応するのは、この charge-neutral な pseudospin sector である。

h=0h=0 では、全 orbital が ↑\uparrow にそろった状態と、全 orbital が ↓\downarrow にそろった状態が二つの縮退基底状態になる。これらは Z2\mathbb{Z}_2 変換で互いに入れ替わるので、基底状態を一つ選ぶと Z2\mathbb{Z}_2 が自発的に破れた Ising ferromagnet になる。hh が大きいと、各 orbital で ↑+↓\uparrow+\downarrow 型の重ね合わせが好まれ、Z2\mathbb{Z}_2 を保つ paramagnet になる。この二つの相の間の連続転移が 3d Ising critical point に対応する。

この実装を踏まえると、spectrum analysis に出てくる Z2\mathbb{Z}_2 sector は抽象的な後付けラベルではない。微視的模型の cm↦σxcm\mathbf{c}_m \mapsto \sigma^x \mathbf{c}_m で定義される対称性の even / odd sector を、そのまま IR の Ising CFT の even / odd sector と対応させている。

Hamiltonian

前の節の schematic を orbital-basis 表示に書き直す。Zhu et al. (2023) の LLL 射影後の Hamiltonian は

H=H00+Hzz+Ht.H = H_{00}+H_{zz}+H_t .

である。各項は

H00=12∑m1,m2,m3,m4=−ssVm1m2m3m4(cm1†cm4)(cm2†cm3)δm1+m2,m3+m4,Hzz=−12∑m1,m2,m3,m4=−ssVm1m2m3m4(cm1†σzcm4)(cm2†σzcm3)δm1+m2,m3+m4,Ht=−h∑m=−sscm†σxcm.\begin{aligned} H_{00} &= \frac{1}{2} \sum_{m_1,m_2,m_3,m_4=-s}^{s} V_{m_1m_2m_3m_4} \left(\mathbf{c}_{m_1}^\dagger \mathbf{c}_{m_4}\right) \left(\mathbf{c}_{m_2}^\dagger \mathbf{c}_{m_3}\right) \delta_{m_1+m_2,m_3+m_4}, \\ H_{zz} &= -\frac{1}{2} \sum_{m_1,m_2,m_3,m_4=-s}^{s} V_{m_1m_2m_3m_4} \left(\mathbf{c}_{m_1}^\dagger \sigma^z \mathbf{c}_{m_4}\right) \left(\mathbf{c}_{m_2}^\dagger \sigma^z \mathbf{c}_{m_3}\right) \delta_{m_1+m_2,m_3+m_4}, \\ H_t &= -h \sum_{m=-s}^{s} \mathbf{c}_m^\dagger \sigma^x \mathbf{c}_m . \end{aligned}

Vm1m2m3m4V_{m_1m_2m_3m_4} は、球面上の同じ短距離二体相互作用を LLL orbital basis に射影した行列要素である。H00H_{00} はこの行列要素を total density channel に、HzzH_{zz} は pseudospin-zz density channel に入れている。つまり、V0,V1V_0,V_1 は H00H_{00} 用と HzzH_{zz} 用の別係数ではなく、この共有された二体相互作用の Haldane pseudopotential である。

対応する実空間表示は

n0(Ωa)n0(Ωb)−nz(Ωa)nz(Ωb)n^0(\Omega_a)n^0(\Omega_b)-n^z(\Omega_a)n^z(\Omega_b)

である。LLL 射影後にはこの二つの項が H00H_{00} と HzzH_{zz} になり、H00H_{00} は正、HzzH_{zz} は負の符号を持つ。ここで

nα(Ω)=(ψ↑†(Ω)ψ↓†(Ω))σα(ψ↑(Ω)ψ↓(Ω)),σ0=In^\alpha(\Omega) = \begin{pmatrix} \psi_\uparrow^\dagger(\Omega) & \psi_\downarrow^\dagger(\Omega) \end{pmatrix} \sigma^\alpha \begin{pmatrix} \psi_\uparrow(\Omega) \\ \psi_\downarrow(\Omega) \end{pmatrix}, \qquad \sigma^0=I

である。したがって

n0=n↑+n↓,nz=n↑−n↓n^0=n_\uparrow+n_\downarrow, \qquad n^z=n_\uparrow-n_\downarrow

であり、nzn^z には spin operator のような 1/21/2 は含まれていない。

実際の計算では、この pseudopotential を V0,V1V_0,V_1 に絞る。V1=1V_1=1 をエネルギー単位に固定し、V0V_0 と transverse field hh を動かして相図を調べる。

H00+HzzH_{00}+H_{zz} の pseudospin 構造は、直感的には二つのサイト i,ji,j に対する

1−ZiZj2\frac{1-Z_i Z_j}{2}

に近い。Z=±1Z=\pm 1 を ↑/↓\uparrow/\downarrow の向きだと思えば、この量は同じ向きでは 00、逆向きでは 11 になる。実際、

12(ni0nj0−niznjz)=ni↑nj↓+ni↓nj↑\frac{1}{2}\left(n_i^0 n_j^0-n_i^z n_j^z\right) = n_{i\uparrow}n_{j\downarrow}+n_{i\downarrow}n_{j\uparrow}

なので、逆向き pseudospin の pair だけが相互作用エネルギーを持つ。このエネルギーを避けるために pseudospin がそろう、という意味で Ising ferromagnetic term になっている。HtH_t は transverse field で、↑\uparrow と ↓\downarrow を混ぜる。

Spectrum

Hamiltonian の構成が分かっても、それだけでは fuzzy sphere から 3d Ising CFT のデータを得たことにはならない。次の段階は、有限サイズ spectrum の各状態を、σ,ϵ,T,ϵ′,T′\sigma,\epsilon,T,\epsilon',T' などの CFT operator とその descendants に対応づけることである。

critical point 近くで exact diagonalization した低エネルギー状態は、SO(3)SO(3) spin LL、Ising Z2\mathbb{Z}_2、parity PP で分類される。ここで PP は空間反転に対する偶奇であり、CFT operator の parity と対応する。したがって有限サイズ spectrum のラベル (L,Z2,P)(L,\mathbb{Z}_2,P) は、CFT operator の spin ℓ\ell、Z2\mathbb{Z}_2 parity、spacetime parity を同定するための最初の手がかりになる。

energy gap から scaling dimension Δ\Delta を抽出するには、全 spectrum に非普遍的な scale factor をかける。CFT では、sphere Hamiltonian は dilatation operator と

H−E0∼vRDH-E_0 \sim \frac{v}{R}D

のように対応する。ここで v/Rv/R は microscopic Hamiltonian の normalization に依存するので、有限サイズ spectrum だけから絶対値としては決まらない。

Zhu et al. (2023) では、この scale を energy-momentum tensor TμνT_{\mu\nu} で固定する。TμνT_{\mu\nu} は任意の local 3d CFT にある conserved spin-2 primary で、Z2=+1\mathbb{Z}_2=+1、P=+1P=+1、ℓ=2\ell=2、protected dimension ΔT=3\Delta_T=3 を持つ。したがって、IR fixed point が 3d Ising CFT であるという前提のもとで、(+,+,ℓ=2)(+,+,\ell=2) sector の低い spin-2 state を TμνT_{\mu\nu} の候補として使い、その gap が Δ=3\Delta=3 になるように spectrum 全体を rescale する。

これは「量子数だけでその state が自動的に TμνT_{\mu\nu} と証明される」という意味ではない。stress-tensor calibration は、既知または期待される CFT に protected operator があることを使った normalization choice であり、その後に他の primary / descendant multiplets が正しい spin と Δ\Delta shift で並ぶかを確認する。fuzzy-sphere regularization を使う後続研究でも、時間発展や correlator の radius を決めるときに σ\sigma や TμνT_{\mu\nu} の既知 Δ\Delta を使う方法が採られており、conformal-generator の構成では microscopic Hamiltonian density と CFT の T00T_{00} の対応が finite-size で補正を受けることも明示されている。

N=16N=16 の fuzzy-sphere spectrum では、次の primary operators が同定されている。

operatorZ2\mathbb{Z}_2PPℓ\ellfuzzy-sphere Δ\Deltabootstrap / exact
σ\sigma−-++00.5240.518
ϵ\epsilon++++01.4141.413
TμνT_{\mu\nu}++++233
ϵ′\epsilon'++++03.8383.830
σμ1μ2\sigma_{\mu_1\mu_2}−-++24.2144.180
σ′\sigma'−-++05.3035.291
Tμν′T'_{\mu\nu}++++25.5835.509
ϵμ1μ2μ3μ4\epsilon_{\mu_1\mu_2\mu_3\mu_4}++++45.1035.023

表にはさらに高い primary や、parity-odd primary の ϵP−\epsilon^{P-}、σP−\sigma^{P-} も載っている。ただし、最初に確認すべきなのは、低い primary とその conformal multiplet の対応である。

この対応は、あとで OPE coefficients を求めるときにも必要になる。例えば ⟨σ∣nz∣ϵ⟩\langle\sigma|n^z|\epsilon\rangle のような matrix element は、finite-size spectrum のどの状態を ∣σ⟩\lvert \sigma\rangle、∣ϵ⟩\lvert \epsilon\rangle に対応づけるかに依存する。個別 operator の同定リストより先に、energy gap、LL、Z2\mathbb{Z}_2、PP、stress-tensor calibration、descendant pattern がどの仮定と確認に支えられているかを固定する必要がある。

Multiplet 判定

operator identification は、単に「各 LL sector の低い state を既知の operator に対応させる」作業ではない。primary なら、その descendants も決まった energy shift と spin content で同じ spectrum に現れる。したがって判定の実体は、単独の準位を名付けることではなく、primary と descendants を一つの conformal multiplet としてまとめられるかを調べることである。

この descendant pattern を有限サイズ Hilbert 空間で直接調べたいなら、CFT の translation generator PμP_\mu や special conformal generator KμK_\mu に対応する microscopic operator が必要になる。以下の構成は、そのために Hamiltonian density から conformal generator を近似的に作る考え方である。

radial quantization では、局所 primary operator O(0)O(0) が sphere 上の state ∣O⟩\lvert O\rangle に対応する。平坦空間での derivative descendant

∂μO(0)\partial_\mu O(0)

は、状態では translation generator PμP_\mu を作用させた

Pμ∣O⟩P_\mu |O\rangle

に対応する。PμP_\mu は spin-1 の generator で、dimension を 1 上げる。

球面上で書くと、PμP_\mu は局所的な「球面微分」そのものではない。まず T00(Ω)T_{00}(\Omega) は、CFT を cylinder R×S2\mathbb{R}\times S^2 上で radial quantization したときの energy density である。Ω\Omega は S2S^2 上の点、00 は cylinder time 方向を表す。これを球面全体で積分したものが、時間発展の generator、つまり dilatation generator になる。

D=∫S2dΩ T00(Ω)D=\int_{S^2} d\Omega\,T_{00}(\Omega)

fuzzy sphere の有限サイズ Hamiltonian では、この CFT の T00(Ω)T_{00}(\Omega) が最初から厳密に与えられているわけではない。実際にあるのは microscopic Hamiltonian density h(Ω)h(\Omega) であり、

H=∫S2dΩ h(Ω)H=\int_{S^2}d\Omega\,h(\Omega)

となるように Hamiltonian の one-body / two-body terms を球面上の density として書き直す。Ising fuzzy sphere なら、schematic には

h(Ω1)=−h nx(Ω1)+∫S2dΩ2 U(Ω12)[n0(Ω1)n0(Ω2)−nz(Ω1)nz(Ω2)]h(\Omega_1) = -h\,n^x(\Omega_1) + \int_{S^2}d\Omega_2\,U(\Omega_{12}) \left[ n^0(\Omega_1)n^0(\Omega_2) - n^z(\Omega_1)n^z(\Omega_2) \right]

のような形である。細かい係数や symmetrization は convention に依存するが、考え方は「Hamiltonian density を球面上の局所密度として選ぶ」ことである。

critical point の IR では、この h(Ω)h(\Omega) が

T00(Ω)∼αh(Ω)+irrelevant / total-derivative termsT_{00}(\Omega)\sim \alpha h(\Omega)+\text{irrelevant / total-derivative terms}

のように対応すると期待する。この対応にも有限サイズ補正や改善項の曖昧さがある。

次に、PμP_\mu を球面 Hilbert 空間上の generator として表す。平坦空間 R3\mathbb{R}^3 の translation と special conformal transformation の conformal Killing vectors は

vPμ=∂μ,vKμ=−x2∂μ+2xμxν∂νv_{P_\mu}=\partial_\mu, \qquad v_{K_\mu}=-x^2\partial_\mu+2x_\mu x^\nu\partial_\nu

である。radial quantization で r=eτr=e^\tau として cylinder R×S2\mathbb{R}\times S^2 に移り、unit sphere x2=1x^2=1 上では、この二つの和の時間方向成分が

vPμ+vKμ=2xμ(Ω)∂τv_{P_\mu}+v_{K_\mu}=2x_\mu(\Omega)\partial_\tau

になる。対応する保存電荷は、conformal Killing vector を stress tensor に contraction して球面上で積分したものである。ここでは時間方向成分だけが必要なので、

Pμ+Kμ=2∫S2dΩ xμ(Ω)T00(Ω)P_\mu+K_\mu = 2\int_{S^2} d\Omega\,x_\mu(\Omega)T_{00}(\Omega)

が得られる。さらに conformal algebra の [D,Pμ]=Pμ[D,P_\mu]=P_\mu、[D,Kμ]=−Kμ[D,K_\mu]=-K_\mu を使うと、Xμ=(Pμ+Kμ)/2X_\mu=(P_\mu+K_\mu)/2 に対して

Pμ=Xμ+[D,Xμ],Kμ=Xμ−[D,Xμ]P_\mu=X_\mu+[D,X_\mu], \qquad K_\mu=X_\mu-[D,X_\mu]

と分離できる。ここで xμ(Ω)x_\mu(\Omega) は ℓ=1\ell=1 spherical harmonics の実基底なので、Xμ=∫S2dΩ xμ(Ω)T00(Ω)X_\mu=\int_{S^2}d\Omega\,x_\mu(\Omega)T_{00}(\Omega) は T00T_{00} の ℓ=1\ell=1 projection である。

これはまだ CFT の式である。fuzzy sphere の有限系で使うには、DD を α(H−E0)\alpha(H-E_0)、T00T_{00} を αh(Ω)\alpha h(\Omega) に置き換える。ここで α\alpha は、たとえば stress tensor 候補の gap が ΔT=3\Delta_T=3 になるように決める spectrum normalization factor である。すると

X~μ=α∫S2dΩ xμ(Ω)h(Ω)\widetilde X_\mu = \alpha\int_{S^2}d\Omega\,x_\mu(\Omega)h(\Omega)

が microscopic な XμX_\mu 候補になる。E0E_0 は定数なので commutator から落ちる。したがって有限 Hilbert 空間上では [αH,X~μ][\alpha H,\widetilde X_\mu] を計算し、

P~μ=X~μ+[αH,X~μ],K~μ=X~μ−[αH,X~μ]\widetilde P_\mu=\widetilde X_\mu+[\alpha H,\widetilde X_\mu], \qquad \widetilde K_\mu=\widetilde X_\mu-[\alpha H,\widetilde X_\mu]

を作る、という順番である。

このため、ED spectrum では「primary の energy から 1 だけ上がったところに、spin が vector product の規則に従って現れる states」が descendant の候補になる。

ただし Zhu et al. (2023) の main spectrum analysis では、microscopic Hilbert 空間で PμP_\mu を直接作って作用させているわけではない。まずは conformal representation theory が予測する descendant の energy / spin / parity pattern を列挙し、ED spectrum の states がその pattern を満たすかを調べている。Conformal generator を直接構成する後続研究では、この PμP_\mu や KμK_\mu に対応する microscopic operator を構成して、primary 判定をより直接に行う。

原理的には、KμK_\mu が分かれば primary 判定は直接になる。CFT では primary state は

Kμ∣O⟩=0K_\mu |O\rangle=0

で定義されるので、有限 fuzzy sphere 上では

NKψ=∥K~μ∣ψ⟩∥2\mathcal N_{K\psi} = \|\widetilde K_\mu|\psi\rangle\|^2

が小さい state を primary 候補として選べる。ただし K~μ\widetilde K_\mu は microscopic Hamiltonian density から作る近似的な generator なので、有限サイズでは厳密に 0 になるとは限らない。したがって実際には、multiplet pattern による同定と、NKψ\mathcal N_{K\psi} の小ささを組み合わせて判定する。

これは TμνT_{\mu\nu} を使った Δ\Delta normalization の危うさも少し減らす。(Z2=+1,P=+1,ℓ=2)(\mathbb{Z}_2=+1,P=+1,\ell=2) の低い state を TμνT_{\mu\nu} として使うだけだと、既知の Ising spectrum への依存が残る。そこに、TμνT_{\mu\nu} が conserved spin-2 primary であり short multiplet を持つこと、さらにその state で NKψ=∥K~μ∣ψ⟩∥2\mathcal N_{K\psi}=\|\widetilde K_\mu|\psi\rangle\|^2 が小さいことを確認できれば、calibration state としての同定がより強くなる。

scalar primary OO の descendants は、schematic には

∂ν1⋯∂νj□nO,(Δ,ℓ)↦(Δ+2n+j,j)\partial_{\nu_1}\cdots\partial_{\nu_j}\square^n O, \qquad (\Delta,\ell)\mapsto(\Delta+2n+j,j)

である。ここで □=∂2\square=\partial^2 は 3d Euclidean space の Laplacian を表す。したがって scalar primary は、予測できる spin と energy shift の塔を作る。例えば、

primarydescendantexpected (Δ,ℓ)(\Delta,\ell)
σ\sigma∂μσ\partial_\mu\sigma(Δσ+1,1)(\Delta_\sigma+1,1)
σ\sigma□σ\square\sigma(Δσ+2,0)(\Delta_\sigma+2,0)
σ\sigma∂μ1∂μ2σ\partial_{\mu_1}\partial_{\mu_2}\sigma(Δσ+2,2)(\Delta_\sigma+2,2)
ϵ\epsilon∂μϵ\partial_\mu\epsilon(Δϵ+1,1)(\Delta_\epsilon+1,1)
ϵ\epsilon□ϵ\square\epsilon(Δϵ+2,0)(\Delta_\epsilon+2,0)

spinning primary Oμ1⋯μℓO_{\mu_1\cdots\mu_\ell} では、derivative が spin を上げるだけでなく、index contraction によって spin を下げる descendant も出る。また、εμνρ\varepsilon_{\mu\nu\rho} を含む descendant は spacetime parity PP を反転させる。このため、parity-even の spinning primary から parity-odd descendant が出ることがある。

stress tensor TμνT_{\mu\nu} は conserved operator なので特別である。

∂μTμν=0\partial_\mu T_{\mu\nu}=0

を満たすため、generic な spin-2 primary よりも descendant が少ない short multiplet になる。spectrum 上で TμνT_{\mu\nu} を同定するときは、ΔT=3\Delta_T=3 の calibration だけでなく、この short multiplet structure も確認材料になる。

Primary 候補の割り当ては、spectrum を conformal multiplet ごとに消し込む作業になる。

  1. 各 Z2=±1\mathbb{Z}_2=\pm1 sector で、まだ multiplet に割り当てていない lowest state を primary 候補にする。
  2. その候補の Δ,ℓ,P\Delta,\ell,P から、3d conformal representation theory が予測する descendants を列挙する。
  3. 対応する states が ED spectrum に出ているかを、finite-size drift を許して確認する。
  4. primary と descendants をまとめて一つの conformal multiplet として spectrum から取り除く。
  5. 残った states に同じ手順を繰り返す。

この意味で、σ\sigma と ϵ\epsilon は同定しやすい。odd / even sector の最も低い scalar primary であり、descendant tower も単純だからである。高い operator では、単一の energy level が bootstrap 値に近いことだけでは不十分で、multiplet 全体の pattern が合っているかを確認する必要がある。

4. OPE coefficients

Spectrum analysis では、fuzzy sphere の有限サイズ Hamiltonian から CFT primary の scaling dimension と spin を抽出する。次の段階である OPE extraction は、同じ Hilbert space の中で local microscopic operator の matrix element を測り、それを CFT の三点関数係数、つまり OPE coefficient に変換する方法である。

OPE coefficient は単なる追加の数値ではなく、CFT を定義する conformal data の一部である。scaling dimension が「どんな operator があるか」を教えるなら、OPE coefficient は「operator 同士を掛けたとき、どの channel にどれだけ流れるか」を教える。

CFT での形

CFT の primary operator は、二点関数の normalization を固定すると、三点関数の形が conformal symmetry によってほぼ固定される。scalar primary だけなら、schematic には

⟨ϕα(x1)ϕβ(x2)ϕγ(x3)⟩=fαβγ∣x12∣Δα+Δβ−Δγ∣x23∣Δβ+Δγ−Δα∣x31∣Δγ+Δα−Δβ\langle \phi_\alpha(x_1)\phi_\beta(x_2)\phi_\gamma(x_3)\rangle = \frac{f_{\alpha\beta\gamma}} {|x_{12}|^{\Delta_\alpha+\Delta_\beta-\Delta_\gamma} |x_{23}|^{\Delta_\beta+\Delta_\gamma-\Delta_\alpha} |x_{31}|^{\Delta_\gamma+\Delta_\alpha-\Delta_\beta}}

と書ける。この係数 fαβγf_{\alpha\beta\gamma} が OPE coefficient である。同じ係数は、operator product expansion

ϕα(x)ϕβ(0)∼∑γfαβγ∣x∣Δγ−Δα−Δβϕγ(0)+descendants\phi_\alpha(x)\phi_\beta(0) \sim \sum_\gamma f_{\alpha\beta\gamma} |x|^{\Delta_\gamma-\Delta_\alpha-\Delta_\beta} \phi_\gamma(0) +\text{descendants}

にも現れる。

3d Ising CFT では Z2\mathbb{Z}_2 selection rule がある。σ\sigma は odd、ϵ\epsilon と TμνT_{\mu\nu} は even なので、例えば

fσσϵ,fϵϵϵ,fσσT,fϵϵTf_{\sigma\sigma\epsilon},\quad f_{\epsilon\epsilon\epsilon},\quad f_{\sigma\sigma T},\quad f_{\epsilon\epsilon T}

は許される。一方で、Z2\mathbb{Z}_2 parity が奇数個だけ odd になる三点係数は消える。

Hu, He, Zhu (2023) がやっていることは、Euclidean flat space 上の三点関数を直接測ることではない。radial quantization で局所 operator を sphere 上の状態に変換し、S2S^2 上の同時刻 matrix element を測って、そこから同じ fαβγf_{\alpha\beta\gamma} を求める。

この見方にすると、三点関数の難しさが

⟨ϕα∣O(Ω)∣ϕγ⟩\langle \phi_\alpha | \mathcal{O}(\Omega) | \phi_\gamma\rangle

という量子力学的な matrix element の計算に置き換わる。ここで ∣ϕα⟩\lvert \phi_\alpha\rangle と ∣ϕγ⟩\lvert \phi_\gamma\rangle は spectrum extraction で同定した CFT states であり、O(Ω)\mathcal{O}(\Omega) は fuzzy sphere の microscopic probe である。具体例は nz(Ω)n^z(\Omega)、nx(Ω)n^x(\Omega)、Oϵ(Ω)O_\epsilon(\Omega) などである。

Matrix elements

以後の RR は radial quantization で使う sphere radius である。CFT では RR は任意の長さスケールだが、fuzzy sphere の有限サイズ計算では cutoff を大きくする極限と結びつけて使う。LLL orbital 数を

N=2s+1N=2s+1

と書くと、通常の fuzzy-sphere convention では有効半径が R∼sR\sim\sqrt{s} と scaling するように規格化する。したがって、大きい NN は大きい RR と同じ極限を表し、

R−2∼s−1∼N−1R^{-2}\sim s^{-1}\sim N^{-1}

であり、leading finite-size correction はしばしば 1/N1/N correction として fit される。

まず、microscopic probe と CFT operator を分けておく。O(Ω)\mathcal{O}(\Omega) は fuzzy sphere の有限 Hilbert space 上で定義された局所的な probe である。例えば nz(Ω)n^z(\Omega) は pseudospin density であって、CFT operator σ(Ω)\sigma(\Omega) そのものではない。

critical point の IR では、O\mathcal{O} は同じ量子数を持つ CFT operators の和に展開される。OPE extraction で使うのは、この和のうち R→∞R\to\infty で最も遅く減衰する leading term である。

O(Ω)=∑β∈primariescβRΔβϕβ(Ω)+descendant and finite-size corrections\mathcal{O}(\Omega) = \sum_{\beta\in{\rm primaries}} \frac{c_\beta}{R^{\Delta_\beta}} \phi_\beta(\Omega) +\text{descendant and finite-size corrections}

と書く。ここで ϕβ\phi_\beta は CFT の primary scaling operator、cβc_\beta は選んだ microscopic probe に依存する非普遍的な overlap である。σ′\sigma' や σμν\sigma_{\mu\nu} のような高い primary も、量子数が合えばこの β\beta の和に含まれる。R−ΔβR^{-\Delta_\beta} は、dimensionless な microscopic operator と scaling dimension Δβ\Delta_\beta の CFT operator を対応させるための半径依存を表している。O\mathcal{O} と同じ Z2\mathbb{Z}_2、spin、parity を持つ CFT operators だけがこの和に入る。

同じ量子数の中で最も小さい Δβ\Delta_\beta を持つ operator が、large-RR limit の leading contribution になる。例えば odd scalar probe なら、通常は σ\sigma が最初に残り、σ′\sigma' などは R−(Δσ′−Δσ)R^{-(\Delta_{\sigma'}-\Delta_\sigma)} だけ余分に抑えられる。したがって fuzzy sphere の有限サイズデータでは、この leading term への近づき方を調べて、R→∞R\to\infty へ外挿する。

CFT では、primary states の間に CFT operator を挟んだ matrix element は、三点関数と同じ情報を持つ。したがって、ϕβ\phi_\beta を挟むと

⟨ϕα∣ϕβ(Ω)∣ϕγ⟩∝fαβγ\langle \phi_\alpha|\phi_\beta(\Omega)|\phi_\gamma\rangle \propto f_{\alpha\beta\gamma}

となる。比例係数には、operator dimensions、spin、挿入点 Ω\Omega、spherical harmonic convention で決まる既知の角度因子が含まれる。scalar で同じ点・同じ component を比較する場合、この因子は ratio で消えるか、簡単な既知係数として扱える。

これを microscopic probe の展開に戻すと、

⟨ϕα∣O(Ω)∣ϕγ⟩=∑βcβfαβγRΔβ+corrections\langle \phi_\alpha|\mathcal{O}(\Omega)|\phi_\gamma\rangle = \sum_\beta \frac{c_\beta f_{\alpha\beta\gamma}} {R^{\Delta_\beta}} +\text{corrections}

の形になる。実際には角度因子や tensor factor が付くが、ここでは scalar OPE の ratio を理解するために省いている。

OPE extraction の中心は、R→∞R\to\infty で残る leading CFT operator の overlap cβc_\beta を、matrix element の比で消すことにある。

例えば nz(Ω)n^z(\Omega) が σ\sigma を強く含むなら、

⟨σ∣nz(Ω)∣0⟩∼cσRΔσ\langle \sigma|n^z(\Omega)|0\rangle \sim \frac{c_\sigma}{R^{\Delta_\sigma}}

であり、

⟨σ∣nz(Ω)∣ϵ⟩∼fσσϵcσRΔσ\langle \sigma|n^z(\Omega)|\epsilon\rangle \sim \frac{f_{\sigma\sigma\epsilon}c_\sigma}{R^{\Delta_\sigma}}

となる。したがって

⟨σ∣nz(Ω)∣ϵ⟩⟨σ∣nz(Ω)∣0⟩→fσσϵ\frac{\langle \sigma|n^z(\Omega)|\epsilon\rangle} {\langle \sigma|n^z(\Omega)|0\rangle} \to f_{\sigma\sigma\epsilon}

が得られる。これは OPE coefficient の universal な部分だけを取り出し、microscopic normalization を ratio で消す操作である。

局所演算子

monopole background 上の一粒子波動関数は、monopole harmonics

Ys,ℓ,m(θ,ϕ),ℓ=s,s+1,…,m=−ℓ,…,ℓY_{s,\ell,m}(\theta,\phi), \qquad \ell=s,s+1,\ldots,\qquad m=-\ell,\ldots,\ell

と書く。ここで最初の ss は monopole charge、ℓ\ell は全角運動量、mm はその zz 成分である。LLL は ℓ=s\ell=s の multiplet だけなので、orbital は m=−s,…,sm=-s,\ldots,s でラベルされる。

LLL orbital の coherent-state wavefunction を

ψm(Ω)=⟨Ω∣m⟩\psi_m(\Omega)=\langle \Omega|m\rangle

と書く。これは、規格化と gauge patch の規約を除けば LLL monopole harmonic Ys,s,m(Ω)Y_{s,s,m}(\Omega) と同じ情報を持つ。二成分 Ising model では、pseudospin index を α=↑,↓\alpha=\uparrow,\downarrow として、LLL に射影された field probe を

Ψα(Ω)=∑m=−ssψm(Ω)cm,α\Psi_\alpha(\Omega) = \sum_{m=-s}^{s}\psi_m(\Omega)c_{m,\alpha}

と書ける。CFT の Ising operator を探る対象は charge excitation ではなく、この Ψα\Psi_\alpha から作る particle-hole 型の pseudospin density である。

基本的な spin density は

na(Ω)=Ψ†(Ω)σaΨ(Ω)=∑m,m′=−ssψm∗(Ω)ψm′(Ω)cm,α†(σa)αβcm′,βn^a(\Omega) = \Psi^\dagger(\Omega)\sigma^a\Psi(\Omega) = \sum_{m,m'=-s}^{s} \psi_m^*(\Omega)\psi_{m'}(\Omega) c_{m,\alpha}^\dagger(\sigma^a)_{\alpha\beta}c_{m',\beta}

であり、通常の spherical harmonics で

na(Ω)=N∑ℓ=02s∑q=−ℓℓnℓqaYℓq(Ω)n^a(\Omega) = N\sum_{\ell=0}^{2s}\sum_{q=-\ell}^{\ell} n^a_{\ell q}Y_{\ell q}(\Omega)

と展開される。ここで YℓqY_{\ell q} は monopole charge のない通常の spherical harmonic であり、Ys,ℓ,mY_{s,\ell,m} とは別物である。qq を使うのは、LLL orbital label mm と混同しないためである。

Hu, He, Zhu (2023) で中心になる probe は次の三つである。

microscopic probesymmetryleading CFT content
nz(Ω)n^z(\Omega)Z2\mathbb{Z}_2 oddσ\sigma plus odd primaries / descendants
nx(Ω)n^x(\Omega)Z2\mathbb{Z}_2 evenϵ\epsilon plus even primaries / descendants
Oϵ(Ω)=H(Ω)+2hnx(Ω)O_\epsilon(\Omega)=H(\Omega)+2h n^x(\Omega)Z2\mathbb{Z}_2 evenimproved ϵ\epsilon probe

ここで H(Ω)H(\Omega) は Hamiltonian density で、

∫dΩ H(Ω)=H\int d\Omega\,H(\Omega)=H

を満たすように定義される。

nzn^z を σ\sigma そのものと同一視してはいけない。正確には、nzn^z は σ\sigma、σμν\sigma_{\mu\nu}、σ′\sigma'、それらの descendants など、同じ symmetry を持つ CFT operators の混合である。ただし large RR では最も低い dimension を持つ σ\sigma が支配的になるため、matrix element の leading scaling から σ\sigma channel を抽出できる。

同じく nxn^x や OϵO_\epsilon も ϵ\epsilon そのものではない。ϵ\epsilon を leading component とする even probe である。複数の microscopic probes から同じ OPE coefficient が出るかどうかは、systematic error の確認になる。

Matrix element から OPE coefficient へ

OPE coefficient を出すために、まず spectrum で同定した states と、同じ量子数を持つ microscopic probe を組み合わせる。その matrix element には probe の非普遍的な normalization が入るので、基準になる matrix element で割ってから finite-size extrapolation を行う。

  1. Ising critical point に Hamiltonian を tune する。
  2. ED または DMRG で低エネルギー spectrum と eigenstates を得る。
  3. Spectrum extraction で ∣0⟩\lvert 0\rangle、∣σ⟩\lvert \sigma\rangle、∣ϵ⟩\lvert \epsilon\rangle、∣Tμν⟩\lvert T_{\mu\nu}\rangle、∣ϵ′⟩\lvert \epsilon'\rangle、∣σ′⟩\lvert \sigma'\rangle、∣σμν⟩\lvert \sigma_{\mu\nu}\rangle などを同定する。
  4. 測りたい OPE coefficient に合う microscopic probe を選ぶ。
  5. ⟨ϕα∣O∣ϕγ⟩\langle \phi_\alpha|\mathcal{O}|\phi_\gamma\rangle と normalization 用の ⟨ϕβ∣O∣0⟩\langle \phi_\beta|\mathcal{O}|0\rangle を計算する。
  6. 比を取り、非普遍的な operator normalization を消す。
  7. 有限サイズデータを R→∞R\to\infty へ外挿する。実用上は R−2∼1/NR^{-2}\sim1/N を fit 変数にする。
  8. 別 probe、別 fit 範囲、既知 bootstrap value との比較から誤差を見積もる。

Hu, He, Zhu (2023) では、ED は N=18N=18 まで、DMRG はいくつかの量で N=48N=48 まで使われている。

OPE extraction では、spectrum だけから決める場合よりも誤差の入り口が増える。

第一に、state の同定を間違えると matrix element の意味が変わる。OPE extraction は spectrum extraction の上に乗っている。

第二に、求めたい値は raw matrix element ではなく、R→∞R\to\infty の leading channel の切片 である。local probe には同じ symmetry の primary や descendants が混ざるので、⟨σ∣nz∣0⟩RΔσ\langle \sigma|n^z|0\rangle R^{\Delta_\sigma} や ⟨ϵ∣nx∣0⟩RΔϵ\langle \epsilon|n^x|0\rangle R^{\Delta_\epsilon} が定数へ近づくかを見ながら、fit 範囲 や補正形への依存を評価する必要がある。

Example: fσσϵf_{\sigma\sigma\epsilon}

nz(Ω)n^z(\Omega) は Z2\mathbb{Z}_2 odd なので、R→∞R\to\infty の leading term には最も低い odd scalar である σ\sigma が現れる。finite size では descendants や irrelevant-operator mixing 由来の correction が入るため、

⟨σ∣nz(Ω)∣0⟩=1RΔσ(cσ+a1R2+O(R−4))\langle \sigma|n^z(\Omega)|0\rangle = \frac{1}{R^{\Delta_\sigma}} \left( c_\sigma+\frac{a_1}{R^2}+O(R^{-4}) \right)

と期待される。

一方で、

⟨σ∣nz(Ω)∣ϵ⟩=1RΔσ(fσσϵcσ+b1R2+O(R−4))\langle \sigma|n^z(\Omega)|\epsilon\rangle = \frac{1}{R^{\Delta_\sigma}} \left( f_{\sigma\sigma\epsilon}c_\sigma+\frac{b_1}{R^2}+O(R^{-4}) \right)

なので、比を取ると

⟨σ∣nz(Ω)∣ϵ⟩⟨σ∣nz(Ω)∣0⟩=fσσϵ+AR2+O(R−4)\frac{\langle \sigma|n^z(\Omega)|\epsilon\rangle} {\langle \sigma|n^z(\Omega)|0\rangle} = f_{\sigma\sigma\epsilon} +\frac{A}{R^2} +O(R^{-4})

となる。AA は descendant correction の詳細に依存する非普遍的な係数である。したがって 1/N1/N に対して線形 extrapolation し、R→∞R\to\infty に対応する intercept を取ると、fσσϵf_{\sigma\sigma\epsilon} が得られる。

Hu, He, Zhu (2023) の報告値は

fσσϵ≈1.0539(18)f_{\sigma\sigma\epsilon}\approx 1.0539(18)

であり、bootstrap value 1.05191.0519 とよく合う。

この例は OPE extraction の最小単位である。必要なのは、三つの local operators を同時に測ることではなく、二つの CFT states と一つの microscopic local probe の matrix element を測ること。三点関数の係数が、sphere Hilbert space の matrix element に圧縮されている。

Spinning operators

TμνT_{\mu\nu} や σμν\sigma_{\mu\nu} のような spinful primary を含む OPE coefficient では、matrix element に角度依存がある。そのため、球面上で spherical harmonics に射影して、対応する spin component を取り出す。

代表例として、fσσTf_{\sigma\sigma T} では、schematic に

⟨σ∣∫dΩ Y‾2,0(Ω)nz(Ω)∣T,m=0⟩⟨σ∣∫dΩ Y‾0,0(Ω)nz(Ω)∣0⟩×known tensor factor→fσσT\frac{ \langle \sigma| \int d\Omega\,\overline{Y}_{2,0}(\Omega)n^z(\Omega) |T,m=0\rangle} { \langle \sigma| \int d\Omega\,\overline{Y}_{0,0}(\Omega)n^z(\Omega) |0\rangle} \times \text{known tensor factor} \to f_{\sigma\sigma T}

の形になる。Hu, He, Zhu (2023) の convention では、この known tensor factor が 15/8\sqrt{15/8} として現れる。

spinning OPE では、値そのものだけでなく convention を確認する必要がある。どの mm component を使うか、どの spherical harmonic normalization を使うか、stress tensor をどう normalized するかで、式の見た目が変わる。

Spinning OPE では、細かい係数そのものよりも、まず次の点が効く。

低い準位のデータ

Hu, He, Zhu (2023) で報告された主な OPE coefficients は次の通り。

coefficientfuzzy spherebootstrap / known
fσσϵf_{\sigma\sigma\epsilon}1.0539(18)1.0539(18)1.05191.0519
fϵϵϵf_{\epsilon\epsilon\epsilon}1.5441(23)1.5441(23)1.53241.5324
fσσϵ′f_{\sigma\sigma\epsilon'}0.0529(16)0.0529(16)0.05300.0530
fϵϵϵ′f_{\epsilon\epsilon\epsilon'}1.566(68)1.566(68)1.53601.5360
fσ′σϵf_{\sigma'\sigma\epsilon}0.0515(42)0.0515(42)0.05720.0572
fσ′σϵ′f_{\sigma'\sigma\epsilon'}1.294(51)1.294(51)NA
fσ′ϵσ′f_{\sigma'\epsilon\sigma'}2.98(13)2.98(13)NA
fσσTf_{\sigma\sigma T}0.3248(35)0.3248(35)0.32610.3261
fσ′σTf_{\sigma'\sigma T}−0.00007(96)-0.00007(96)00
fϵϵTf_{\epsilon\epsilon T}0.8951(35)0.8951(35)0.88920.8892
fTϵTf_{T\epsilon T}0.8658(69)0.8658(69)NA
fσϵσμνf_{\sigma\epsilon\sigma_{\mu\nu}}0.400(33)0.400(33)0.38920.3892
fσϵ′σμνf_{\sigma\epsilon'\sigma_{\mu\nu}}0.18256(69)0.18256(69)NA

この表で使われている primary dimensions は、おおよそ

Δσ≈0.51815,Δϵ≈1.4126,Δϵ′≈3.8297,Δσ′≈5.2906,ΔT=3,Δσμν≈4.1803.\Delta_\sigma\approx0.51815,\quad \Delta_\epsilon\approx1.4126,\quad \Delta_{\epsilon'}\approx3.8297,\quad \Delta_{\sigma'}\approx5.2906,\quad \Delta_T=3,\quad \Delta_{\sigma_{\mu\nu}}\approx4.1803.

fuzzy sphere の役割は、既知の bootstrap numbers を再現することに限られない。標準的な bootstrap table では扱いにくい、TμνT_{\mu\nu} や高い primary を含む OPE coefficients にも microscopic model から直接アクセスできる。

OPE coefficient が universal number になるのは、CFT operator の normalization を固定した後である。Microscopic probe には非普遍的な overlap cαc_\alpha が入るので、ratio formula でそれを消す。残る finite-size correction は、descendant、高い primary、irrelevant operator mixing から来る。多くの場合、その leading part を R−2∼N−1R^{-2}\sim N^{-1} の補正として fit する。Spinning operator を含む場合は、さらに angular projection と tensor normalization の convention が入る。

OPE extraction で現れる量は、次の三つの層に分かれる。

層対象役割
microscopic fuzzy sphereHH, ∣ψ⟩\lvert \psi\rangle, na(Ω)n^a(\Omega)有限 Hilbert 空間で計算する量
radial quantization∣ϕα⟩\lvert \phi_\alpha\rangle, $\langle\phi_\alpha\mathcal{O}
CFT dataΔα\Delta_\alpha, fαβγf_{\alpha\beta\gamma}普遍量

nzn^z は CFT operator σ\sigma そのものではなく、σ\sigma を IR 展開に含む microscopic probe である。同様に、OPE coefficient は raw matrix element ではなく、normalization cancellation と finite-size extrapolation の後に残る universal intercept である。

5. Bulk correlators

bulk CFT は、原理的には spectrum と OPE coefficients で指定される。したがって four-point function は、完全な conformal data から独立した追加データではない。fuzzy sphere で得た有限サイズの states と local probes から、cross ratios に依存する CFT correlator を再構成する。

four-point correlator は、「3-point では足りないから足す observable」ではなく、bulk conformal data が関数として組み上がることを直接検査する対象である。

CFT での形

identical scalar の four-point function の非自明な部分は、schematic には

g(u,v)=∑OfϕϕO2 GΔ,ℓ(u,v)g(u,v)=\sum_{\mathcal{O}} f_{\phi\phi\mathcal{O}}^2\,G_{\Delta,\ell}(u,v)

のように conformal block expansion で書ける。ここで Δ,ℓ\Delta,\ell は exchanged primary operator の spectrum data、fϕϕOf_{\phi\phi\mathcal{O}} は OPE coefficient である。

したがって、four-point correlator で問題になるのは「新しい種類の CFT data は何か」ではない。有限サイズ fuzzy sphere で得た状態・operator probe・normalization が、CFT の cross-ratio-dependent function として整合的に組み上がるかである。

Fuzzy sphere での実装

radial quantization では、four-point function の一部の insertion を外部状態にし、残りを cylinder 上の operator insertion として扱える。

⟨O4(∞)O3(1)O2(z,zˉ)O1(0)⟩↔⟨O4∣ O2(τ,θ) O3(0) ∣O1⟩.\langle O_4(\infty)O_3(1)O_2(z,\bar z)O_1(0)\rangle \quad\leftrightarrow\quad \langle O_4|\,O_2(\tau,\theta)\,O_3(0)\,|O_1\rangle .

ここで (τ,θ)(\tau,\theta) が cross-ratio data を表す。fuzzy sphere では、外部状態は低エネルギー eigenstates、operator insertion は microscopic local probe として実装される。

Han, Hu, Zhu, He はこの方法で次の correlator を扱う。

実際の有限サイズ計算では、ここでも raw correlator をそのまま CFT correlator と同一視するわけではない。まず spectrum analysis で外部 states を σ,ϵ,Tμν\sigma,\epsilon,T_{\mu\nu} などに対応づけ、次に local microscopic probe を対応する CFT operator の leading component として使う。そのうえで、sphere 上の時刻差と角度から cross ratios を作り、既知の scaling factor と probe normalization を取り除く。

したがって four-point correlator の検査点は三つある。第一に、外部 state の同定が spectrum / OPE extraction と同じ規約でそろっていること。第二に、probe の非普遍的 normalization が二点関数や三点関数で固定されていること。第三に、有限サイズ補正を含むデータが conformal block expansion の形に近づくことである。この意味で bulk correlator は、spectrum と OPE data を別の observable で再検査する場になっている。

6. Defect CFT

defect CFT は、bulk CFT の中に置いた line、surface、impurity などが IR で作る conformal fixed point を調べる枠組みである。Hu, He, Zhu の magnetic line defect は、3d Ising CFT に局所的な magnetic perturbation を入れたときの defect fixed point として扱う。

Magnetic line defect で扱う問題は、bulk CFT に局所的な perturbation を入れたとき、それが IR で conformal defect fixed point に流れるかである。非自明な defect fixed point に到達するなら、bulk theory の spectrum と OPE coefficients だけでは足りない。defect 上に住む operator、bulk operator の one-point function、bulk operator が defect に近づいたときの bulk-defect OPE を、defect term を含む有限サイズ Hamiltonian から求める必要がある。

fuzzy sphere では、defect を「格子上の境界」ではなく、radial quantization 後の S2S^2 上の localized perturbation として扱う。これにより、bulk の球面幾何と angular momentum の構造をかなり保ったまま、defect fixed point の spectrum と correlator data を調べられる。

Defect perturbation

bulk spectrum や bulk OPE を扱うときは、critical point に tune した同じ Hamiltonian の低エネルギー Hilbert space から CFT data を抽出する。defect CFT では、Hamiltonian に localized perturbation を加える。したがって、調べているのは元の bulk Hamiltonian の追加 observable ではなく、defect term を含む別の Hilbert space problem である。

generic な local defect は、bulk の空間対称性や内部対称性を一部破る局所 perturbation である。conformal defect は、その perturbation が IR で scale / conformal symmetry を持つ defect fixed point に流れたものを指す。magnetic line defect では、局所的な magnetic perturbation が IR で conformal defect として振る舞うかを調べる。

schematic には、bulk CFT に pp 次元 defect を入れる変形は

HCFT⟶HCFT+hd∫defectdpx O(x)H_{\rm CFT} \quad\longrightarrow\quad H_{\rm CFT} + h_d \int_{\rm defect} d^p x\, O(x)

のように書ける。magnetic line defect の場合、defect は一次元であり、3d Ising CFT の order-parameter channel、つまり σ\sigma 型の perturbation に結合する。

この変形が IR で消えてしまう場合、defect は trivial になる。一方、非自明な fixed point に流れる場合、bulk CFT とは別に defect CFT data を持つ。Hu, He, Zhu が示すのは、3d Ising CFT の magnetic line defect がこの非自明な conformal defect fixed point に流れ、その data を fuzzy sphere から抽出できるということである。

Line defect

flat space の line defect を radial quantization に移すと、時間方向は radial direction になり、空間断面は S2S^2 になる。ここで扱う defect は、radial quantization の中心を通る line defect である。この位置関係が重要である。

一般に、中心を通る pp 次元 defect は cylinder 上で

Rτ×Sp−1\mathbb{R}_\tau \times S^{p-1}

として見える。Rτ\mathbb{R}_\tau は radial time、Sp−1S^{p-1} は各 S2S^2 slice と defect の交わりである。

line defect は p=1p=1 なので、各 S2S^2 slice との交わりは

Sp−1=S0S^{p-1}=S^0

である。S0S^0 は二点集合である。具体的には、原点中心の各 S2S^2 slice は中心を通る line defect と二点で交わり、この二点を north pole と south pole に取る。したがって、cylinder S2×RS^2\times\mathbb{R} 上では、defect は north/south pole に沿って time direction に伸びる二本の 0+10+1d impurity line として見える。

Hamiltonian は固定した radial-time slice 上の generator なので、fuzzy sphere ではその slice 上の二点に局在した項として入る。schematic には

∫−∞∞dx O(x)⟶∫dτ [ON(τ)+OS(τ)]\int_{-\infty}^{\infty} dx\,O(x) \quad\longrightarrow\quad \int d\tau\,[O_N(\tau)+O_S(\tau)]

であり、Hamiltonian の中では ON+OSO_N+O_S という二点の局所項として現れる。

したがって fuzzy sphere で変えるものは Hilbert space の幾何ではなく Hamiltonian である。LLL orbital から作る同じ many-body Hilbert space を使い、bulk critical Hamiltonian H0H_0 に defect term HdH_d を足して

Hdefect=H0+HdH_{\rm defect}=H_0+H_d

を対角化する。この defect term は schematic に

Hd=2πhd[nz(θ=0,φ=0)+nz(θ=π,φ=0)]H_d = 2\pi h_d \left[ n^z(\theta=0,\varphi=0) + n^z(\theta=\pi,\varphi=0) \right]

と書ける。これは S2S^2 上の north/south pole における Ising order-parameter density nzn^z への pinning field である。hdh_d が impurity strength を制御する。

この項は bulk の Z2\mathbb{Z}_2 symmetry を defect で明示的に破り、defect 上で σ\sigma channel を有効にする。この σ\sigma deformation は line defect 上で relevant なので、系は非自明な conformal defect fixed point へ流れる。

supplement では、large hdh_d limit を LLL orbital basis でさらに単純化している。pole-localized term は端の monopole orbital だけに作用し、

Hd=hd2(c^s†σzc^s+c^−s†σzc^−s)H_d = \frac{h_d}{2} \left( \hat c_s^\dagger \sigma^z \hat c_s + \hat c_{-s}^\dagger \sigma^z \hat c_{-s} \right)

となる。したがって hd→∞h_d\to\infty では、m=±sm=\pm s の二つの端 orbital の spin を固定して計算できる。この pinned-orbital picture は、point impurity が LLL projection 後にどれだけ局所的な Hilbert-space constraint として現れるかを示している。

Symmetry

defect がない 3d CFT では、Euclidean conformal group は SO(4,1)SO(4,1) である。line defect を入れると、line に沿った conformal transformations と、line に垂直な rotations だけが残る。したがって、期待される defect conformal symmetry は

SO(2,1)×O(2)SO(2,1)\times O(2)

である。

fuzzy sphere の spectrum では、defect term を入れた Hamiltonian の低エネルギー準位が、この残った symmetry に合う形で並ぶかを調べる。bulk operator の場合は SO(3)SO(3) spin LL で multiplet を分類するが、line defect では defect に沿った scaling dimension と、defect に垂直な O(2)O(2) charge / angular momentum が主要なラベルになる。

このため、defect spectrum を bulk spectrum と同じ表として扱ってはいけない。defect 背景の低エネルギー state は、bulk local operator ではなく、defect 上の local operator に対応する。

Defect state-operator correspondence

bulk CFT の radial quantization では、原点に bulk local operator を挿入すると S2S^2 上の state ができる。Hamiltonian は radial time translation の generator なので、その state の energy gap が bulk operator の scaling dimension を与える。

defect CFT では、同じ radial quantization を defect がある背景で行う。line defect が radial direction に沿って原点を通っていると、各 S2S^2 slice は north/south pole で defect と交わる。そのため量子化する Hilbert space は、defect term を含む Hamiltonian の Hilbert space になる。

このとき対応する operator は、bulk の点 operator ではなく、defect 上の radial-time origin に挿入される defect-local operator である。したがって

∣O^⟩defect↔O^(0)∣1^⟩|\hat O\rangle_{\rm defect} \quad\leftrightarrow\quad \hat O(0)|\hat 1\rangle

であり、defect Hamiltonian の energy gaps が defect operator dimensions Δ^\hat\Delta を与える。ここで ∣1^⟩\lvert \hat 1\rangle は defect が入った背景の ground state であって、defect なしの CFT vacuum ではない。

これが、displacement operator のような defect-local operator が finite-size spectrum の中に現れる理由である。spectrum に出るのは「bulk displacement field」ではなく、defect を横方向に動かす変形に対応する defect sector の state である。

Defect spectrum

Hu, He, Zhu は、magnetic line defect について六つの low-lying defect primary operators を同定し、その中に displacement operator を含めている。

displacement operator は、defect CFT で特別な operator である。defect がない bulk CFT では、translation symmetry に対応して stress tensor が保存する。

∂μTμi=0.\partial_\mu T^{\mu i}=0 .

line defect を置くと、defect に沿った translations は残るが、defect を横方向に動かす translations は破れる。そのため、stress tensor の保存則は defect 上で接触項を持つ。schematic には、defect を x⊥=0x_\perp=0 に置いたとき、

∂μTμi(x)=δ(2)(x⊥) Di(x∥)\partial_\mu T^{\mu i}(x) = \delta^{(2)}(x_\perp)\,D^i(x_\parallel)

のように書ける。ここで ii は defect に垂直な方向、DiD^i が displacement operator である。つまり DiD^i は、defect を横方向へ少し動かす変形に対応する defect-local operator であり、broken transverse translation の Ward identity に現れる。

3d の line defect では、displacement operator の dimension は symmetry により

ΔD=2\Delta_D = 2

と期待される。したがって、spectrum の中にこの operator とその descendant structure が現れることは、defect fixed point の emergent conformal symmetry を検査する重要な手がかりになる。

ここでは次の区別を保つ。

bulk spectrumdefect spectrum
bulk local primarydefect local primary
SO(3)SO(3) spin LL が基本ラベルresidual O(2)O(2) quantum number が基本ラベル
stress tensor など bulk protected operator が calibration と確認に使われるdisplacement operator が conformal defect の確認材料になる

Bulk one-point function

defect がない CFT vacuum では、非自明な primary operator の one-point function は通常消える。defect があると、defect が位置と方向を選ぶため、bulk primary の one-point function が許される。

line defect からの垂直距離を r⊥r_\perp とすると、scalar bulk primary OO の one-point function は defect conformal symmetry により

⟨O(x)⟩defect=aO∣x⊥∣ΔO\langle O(x)\rangle_{\rm defect} = \frac{a_O}{|x_\perp|^{\Delta_O}}

のような形に固定される。ここで aOa_O は one-point coefficient であり、defect CFT data の一部である。

fuzzy sphere では、bulk probe を defect 背景の ground state で測ることで、この one-point data に対応する量を得る。bulk OPE と同じく、microscopic probe は CFT operator そのものではない。nzn^z や nxn^x などの local probe が、IR でどの CFT operator に overlap しているかを調べて正規化する必要がある。

Bulk-defect OPE

defect があると、bulk operator は defect に近づく極限で defect operators に展開できる。

Obulk(x∥,x⊥)∼∑O^bOO^∣x⊥∣Δ^−ΔOO^(x∥).O_{\rm bulk}(x_\parallel,x_\perp) \sim \sum_{\hat O} b_{O\hat O} |x_\perp|^{\hat\Delta-\Delta_O} \hat O(x_\parallel).

ここで O^\hat O は defect operator、Δ^\hat\Delta はその scaling dimension、bOO^b_{O\hat O} は bulk-defect OPE coefficient である。

これは bulk OPE coefficient fijkf_{ijk} とは別の data である。bulk OPE は bulk operator 同士を近づけたときの展開であり、bulk-defect OPE は bulk operator を defect に近づけたときの展開である。

fuzzy sphere では、bulk probe と defect sector の state の matrix element / correlator を測り、defect conformal symmetry が固定する距離依存を取り除いて coefficient を抽出する。実際の数値比較では、ratio と normalization convention を extraction ごとにそろえる。

Magnetic line defect は、全ての S2S^2 time slices の north/south pole に置かれた時間非依存 Hamiltonian term として入る。そこから hdh_d による流れ、residual symmetry による spectrum のラベル、defect state-operator correspondence、displacement operator、bulk one-point function、bulk-defect OPE coefficient を抽出する。

特に、defect spectrum は bulk spectrum table の延長ではない。defect term を入れた時点で、Hamiltonian、ground state、残る対称性、state-operator correspondence は defect sector のものに変わる。

References