c定理

以下でZamolodchikovの $c$ -定理を証明する。

$c$ -定理の主張は中心電荷がくりこみ群フローに沿って単調減少することである。厳密には中心電荷は臨界点上でしか定義できないので、あるくりこみ群フローに沿って単調減少する関数 $C$ が存在し、かつ固定点では $C = c$ となる、ということを示す。

設定としては以下のバルクの摂動を考える。

\begin{align*} S_{\mathrm{pert}}[g] = ∑_i\frac{λ_i}{ε^{2-Δ_i}} ∫d^2x \sqrt{|g|} φ_i(x). \end{align*}

ここで $Δ_i<2$ とする。また式は少し長くなってしまうが、くりこみを考えるときにはカットオフ $ε$ を常に付けておくほうが分かりやすいと思ったので、加えている。

エネルギー運動量テンソルのトレース $Θ$ は摂動の下で一般にゼロにならず、

\begin{align*} \frac{Θ(z,\overline{z})}{ε^{-2}} = ∑_i β_i(λ) \frac{φ_i(z,\overline{z})}{ε^{-Δ_i}}. \end{align*}

と表される。これを導出するために共形変換に対する作用の変化を見れば良い。共形変換はWeyl変換と一般座標変換の組み合わせとして表せる。一般座標変換は座標の取り替えに過ぎず、作用を保つため、Weyl変換による作用の変化を考える。 Weyl変換は

\begin{align*} g_{μν} ↦ e^{- 2σ(x)} g_{μν} \end{align*}

によって与えられる。ここで $σ(x)$ は微小な任意関数とする。このとき作用の微小変化は

\begin{align*} δ_gS = \frac12∫d^2x\sqrt{|g|}T^{μν}δg_{μν} = - ∫d^2x\sqrt{|g|}σ(x)Θ. \end{align*}

である。一方、共形変換は摂動場の変換

\begin{align*} φ_i(x)d^2x ↦ \left(1 - \frac{β_i(λ)}{λ_i}σ(x)\right)φ_i(x)d^2x \end{align*}

とみなすこともできる。 $β_i(λ)$ はベータ関数であり、 $λ$ の1次までだと $φ_id^2x ↦ e^{(2-Δ_i)σ(x)}φ_id^2x$ である。これらが一致することから、

\begin{align*} \frac{Θ(z,\overline{z})}{ε^{-2}} = ∑_i β_i(λ) \frac{φ_i(z,\overline{z})}{ε^{-Δ_i}}. \end{align*}

エネルギー運動量テンソルのトレースを

{T^μ}_μ = 2(T_{\overline{z}z} + T_{z\overline{z}}) = 4T_{\overline{z}z} ≕ Θ

とおく。ここでエネルギー運動量テンソルの対称性を用いた。

保存則 $∂_μ{T^μ}_ν = 0$ を複素表示で書くと、

\begin{align*} ∂_{\overline{z}}T_{zz} + ∂_zT_{\overline{z}z} = ∂_{\overline{z}}T + \frac14∂_zΘ = 0. \end{align*}

この関係から $T(z, \overline{z})$ と $Θ(z, \overline{z})$ の間の相関関数についての制限が得られる。回転対称性を用いると

\begin{align*}& ⟨ T(z,\overline{z}) T(0,0) ⟩ = \frac{F(z\overline{z}/ε^2)}{z^4}, \\ & ⟨ Θ(z,\overline{z}) T(0,0) ⟩ = \frac{G(z\overline{z}/ε^2)}{z^3\overline{z}}, \\ & ⟨ Θ(z,\overline{z}) Θ(0,0) ⟩ = \frac{H(z\overline{z}/ε^2)}{z^2\overline{z}}, \end{align*}

とおける。先ほどの保存則を用いると、

\begin{align*}& ∂_{\overline{z}}\frac{F}{z^4} + \frac14 ∂_z\frac{G}{z^3\overline{z}} = \frac{(z\overline{z}/ε^2)F'}{z^4\overline{z}} + \frac{(z\overline{z}/ε^2)G'-3G}{4z^4\overline{z}} = 0. \end{align*}

同様に、

\begin{align*} & ∂_{\overline{z}}\frac{G}{z^3\overline{z}} + \frac14 ∂_z\frac{H}{z^2\overline{z}^2} = \frac{(z\overline{z}/ε^2)G'-G}{z^3\overline{z^2}} + \frac{(z\overline{z}/ε^2)H'-2H}{4z^3\overline{z}^2} = 0. \end{align*}

さて、 $c$ -functionを

\begin{align*} C ≔ C(z\overline{z}/ε^2;λ) = 2F - G - \frac{3}{8}H \end{align*}

と定義する。臨界点上では $G=H=0$ なので $c$ -functionは中心電荷 $c$ に一致することに注意する。 $c$ -functionを $z\overline{z}/ε^2$ について微分すると、

\begin{align*} C' & = 2F' - G' - \frac38H' \\ & = -\frac1{2}\left(G'-\frac{3G}{z\overline{z}/ε^2}\right) -G' +\frac{3}{2}\left(G'-\frac{G}{z\overline{z}/ε^2}\right) - \frac{3H}{4z\overline{z}/ε^2} \\ & = -\frac{3H}{4z\overline{z}/ε^2}. \end{align*}

くりこみ群フローに沿った $c$ -functionの変化は

\begin{align*} -\frac{∂C}{∂\lnε} = 2 (z\overline{z}/ε^2)\frac{∂C}{∂(z\overline{z}/ε^2)} = -\frac{3}{2}H ≤ 0. \end{align*}

ここで $H ≥ 0$ はunitarity (reflection positivity)の帰結。Reflection $z ↦ \overline{z}$ を考えると、

\begin{align*} ⟨T_{z\overline{z}}(z, \overline{z})T_{\overline{z}z}(\overline{z}, z)⟩ = \frac1{16}⟨Θ(z,\overline{z})Θ(\overline{z},z)⟩ ≥ 0. \end{align*}

よって $H≥0$ が従う。

くりこみの枠組みはスケールの変化を結合定数の変化によって相殺して同じ理論を得る、というものだった。これを式として表現したのが以下のCallan-Symanzik equationである。

\begin{align*} \left(\frac{∂}{∂\lnε} + ∑_i β_i(λ)\frac{∂}{∂λ_i}\right)C(z\overline{z}/ε^2, λ) = 0. \end{align*}

もう少し丁寧な導出:

\begin{align*} \frac{∂}{∂\lnε}⟨\mathcal{O}⟩ & = - \frac1{Z}∫\mathcal{D}φ \mathcal{O}\frac{∂S}{∂\lnε}e^{-S} + \frac1{Z^2}∫\mathcal{D}φ \frac{∂S}{∂\lnε}e^{-S} ∫\mathcal{D}φ \mathcal{O}e^{-S} \\ & = -∫d^2z ⟨Θ(z, \overline{z})\mathcal{O}⟩_c \\ & = -∫\frac{d^2z}{ε^2} ∑_i β_i \left\langle \frac{φ_i(z, \overline{z})}{ε^{-Δ_i}}\mathcal{O} \right\rangle_c \\ & = -∑_i β_i \frac{∂}{∂λ_i} ⟨\mathcal{O}⟩. \end{align*}

これを用い、 $H$ の定義に $Θ$ の表示を代入し、さらに $|z|=1$ とすると、

\begin{align*} -\frac{∂C}{∂\lnε} & = ∑_j β_j\frac{∂}{∂λ_j}C(1/ε^2;λ) \\ & = -\frac{3}{2}H = -\frac{3}{2}∑_{i,j}β_iβ_j\frac{⟨φ_i(1,1)φ_j(0, 0)⟩}{ε^{-Δ_i-Δ_j}} \\ & ≕ -∑_{ij}β_iβ_jG_{ij}. \end{align*}

よって( $β$ -functionの線形独立性を仮定して)以下の式を得る:

\begin{align*} \frac{∂}{∂λ_j}C(1/ε^2;λ) = - ∑_i β_iG_{ij}. \end{align*}

これは先ほどより明らかな形で理論空間の中での $c$ -functionの勾配を与える。 $G_{ij}$ はZamolodchikov計量と呼ばれ、worldsheet theoryのmoduli spaceにおける計量となるらしい。unitary (reflection positive)な理論では同一の場の2点関数は正なので、Zamolodchikov計量は正定値になる。

g定理

$g$ -定理はざっくり言うと、boundary CFTにおいてidentityの1点関数がRGフローに沿って単調減少することを主張している。中心電荷とidentiyの1点関数は似ても似つかないように思われるが、両者がエントロピーに結びつくことを考慮すると $g$ -定理はもっともらしく思えてくる。

周長が $R$ , 長さが $L$ のシリンダーを考える。 $R=1/T$ である。 $T$ は温度。シリンダーの周方向の座標を $τ$ , シリンダーの軸方向の座標を $x$ とおく。両端の境界( $x = 0, L$ )にboundary state $\| α ⟩\!⟩$ がいるとする。

このとき分配関数は $L → ∞$ の極限で以下のように書かれる。

\begin{align*} \ln Z ≈ \frac{πc}{6} \frac{L}{R} + \ln(Z_{\mathrm{bdy}}^2). \end{align*}

境界分配関数の対数 $\ln Z_\mathrm{bdy}$ は $g_α(0)$ に同定される。分配関数をちゃんと書くと、

\begin{align*} Z_{αα}(q) = ⟨\!⟨ α \|\tilde{q}^{L_0-c/24}\|α ⟩\!⟩. \end{align*}

ここで $\tilde{q}=e^{-4πL/R}$ である。 $q=e^{-2πL/R}$ と比べて $2$ がつくのは正則と半正則の両方の寄与があるから。

$L→∞$ での主要な寄与は真空から来るので、

\begin{align*} Z_{αα}(q) ≈ \exp\left(\frac{πc}{6}\frac{L}{R}\right)|⟨ \! ⟨ α \| 0 ⟩|^2 \end{align*}

となる。この対数をとれば $\ln Z_\mathrm{bdy} = g_α(0)$ を得る。

自由エネルギーは $F = -T\ln Z$ であるから、境界エントロピーは

\begin{align*} \mathcal{S}_\mathrm{bdy} ≔ -\frac{∂F_\mathrm{bdy}}{∂T} = \left(1-R\frac{∂}{∂R}\right)\ln Z_\mathrm{bdy} \end{align*}

と定義できる。共形不変な境界条件の場合、 $Z_\mathrm{bdy}$ はくりこみ不変なので $\mathcal{S}_\mathrm{bdy}$ は $\ln g_α$ に一致する。ここではRGフローに沿って $g$ が単調減少することの代わりに $\mathcal{S}_\mathrm{bdy}$ が単調減少することを示す。

境界エントロピーは以下の勾配をもつ:

\begin{align*} \frac{∂\mathcal{S}_\mathrm{bdy}}{∂λ^a} = - ∑_b β_b(λ)g_{ab}(λ) \end{align*}

ここで計量 $g_{ab}$ は

\begin{align*} g_{ab} ≔ ∫\frac{dτ'dτ}{ε^{2-h_a-h_b}} \left\langleψ_a(τ')ψ_b(τ)\right\rangle_c \left(1-\cos\left[\frac{2π(τ'-τ)}{R}\right]\right) \end{align*}

と定義される。これは境界におけるZamolodchikov計量の対応物である。ただ $\cos$ のウェイトがくっついているのがちょっと変に感じる。

ともかく、これを認めるとRGフローに沿った境界エントロピーの変化は、

\begin{align*} -\frac{∂\mathcal{S}_\mathrm{bdy}}{∂\lnε} = ∑_aβ_a\frac{∂\mathcal{S}_\mathrm{bdy}}{∂λ_a} = - ∑_{a,b} β_aβ_b g_{ab} ≤ 0. \end{align*}

$g_{ab}$ は半正定値なので、境界エントロピーは単調減少する。

境界エントロピーの勾配の導出は結構面倒。以降は (Friedan and Konechny, 2004) に従う。まず以下のように変形する。

\begin{align*} \frac{∂S_\mathrm{bdy}}{∂λ^a} & = \left(1+\frac{∂}{∂\ln ε}\right) \frac{∂\ln Z_\mathrm{bdy}}{∂λ^a} \\ & = \left(1+\frac{∂}{∂\lnε}\right)∫\frac{dτ'}{ε} \left\langle\frac{ψ_a(τ')}{ε^{-h_a}}\right\rangle \\ & = \left(1+\frac{∂}{∂\lnε}\right)\frac{R}{ε} \left\langle\frac{ψ_a(0)}{ε^{-h_a}}\right\rangle \\ & = \frac{R}{ε} \frac{∂}{∂\lnε}\left\langle\frac{ψ_a(0)}{ε^{-h_a}}\right\rangle \\ & = -∫\frac{Rdτ}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)θ(τ)⟩_c - ∫\frac{Rdτdx}{ε^{1-h_a}} ⟨ψ_a(0)Θ(x, τ)⟩_c \end{align*}

第1項は境界の寄与で、 $θ(τ)$ は境界のエネルギー運動量テンソルである。第1項は $β$ 関数を使って以下のように書ける。

\begin{align*} ∫\frac{Rdτ}{ε^{1-h_a}} \left\langleψ_a(0)θ(τ)\right\rangle_c = ∑_b β_b ∫\frac{Rdτ}{ε^{2-h_a-h_b}} \left\langleψ_a(0)ψ_b(τ)\right\rangle_c \end{align*}

第2項のバルクの寄与の処理がちょっと大変。まず以下の共形Killingベクトルを定義する。

\begin{align*} v = \frac{R}{4π}\sinh w,\quad \overline{v} = \frac{R}{4π}\sinh\overline{w} \end{align*}

ここで $w = 2π(x+iτ)/R$ である。 $∂_σv^σ$ を計算しておく。

\begin{align*} ∂_σv^σ = \frac{2π}{R} (∂_wv + ∂_{\overline{w}}\overline{v}) = \Re \cosh w =\cosh\frac{2πx}{R}\cos\frac{2πτ}{R} \end{align*}

$Θ$ は基本的には常にゼロであり、接触項だけ気にする必要がある。ここで $w ≈ 0$ で $∂_σv^σ ≈ 1$ であることを用いて、

\begin{align*} ψ_a(0)Θ(x,τ) ≈ ψ_a(0)Θ(x,τ)∂_σv^σ \end{align*}

としてしまおう。 $h_a < 1$ から接触項として出てくるのは高々 $δ'(τ)δ(x), δ(τ)δ'(x)$ であり、 $1-∂_σv^σ$ は $w=0$ で1次微分係数までゼロだから、この変形は正当化される。

さらに、共形Killing方程式を用いて

\begin{align*} Θ(x,τ)∂_σv^σ & = T^{μν}g_{μν}∂_σv^σ\\ & = T^{μν}(∂_μv_ν+∂_νv_μ)\\ & = 2T^{μν}∂_μv_ν \end{align*}

と書ける。よって

\begin{align*} ∫\frac{Rdτdx}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)Θ(x,τ)⟩∂_σv^σ & = 2∫\frac{Rdτdx}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)T^{μν}(x,τ)⟩∂_μv_ν\\ & = 2∫\frac{Rdτdx}{ε^{1-h_a}}∂_μ(⟨ψ_a(0){T^μ}_ν(x,τ)⟩v^ν)\\ & = 2∫\frac{Rdτ}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0){T^x}_τ(0,τ)⟩v^τ \\ &= ∫\frac{R^2dτ}{2πε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0){T^x}_τ(0,τ)⟩\sin\frac{2πτ}{R}. \end{align*}

境界での保存則 ${T^x}_τ + ∂_τθ=0$ を使うと、

\begin{align*}& ∫\frac{R^2dτ}{2πε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0){T^x}_τ(0,τ)⟩\sin\frac{2πτ}{R}\\ & = - ∫\frac{R^2dτ}{2πε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)∂_τθ(τ)⟩\sin\frac{2πτ}{R} \\ & = ∫\frac{Rdτ}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)θ(τ)⟩\cos\frac{2πτ}{R} \\ & = ∑_b β_b ∫\frac{Rdτ}{ε^{2-h_a-h_b}}⟨ψ_a(0)ψ_b(τ)⟩\cos\frac{2πτ}{R}. \end{align*}

以下、境界での保存則の導出。境界を保つような座標変換 $x↦x+ξ$ に対して $δS$ は、

\begin{align*} δS & = ∫ dτdx {T^μ}_ν ∂_μξ^ν + ∫dτ θ(τ)∂_τξ^τ(0,τ) \\ & = ∫ dτdx ∂_μ ({T^μ}_νξ^ν) + ∫dτ θ(τ)∂_τξ^τ(0,τ) \\ & = ∫dτ (-{T^x}_τ(0,τ)-∂_τθ(τ))ξ^τ(0,τ). \end{align*}

よって運動方程式を使うと ${T^x}_τ + ∂_τθ=0$ が導かれる。

計算完了！ということで結果:

\begin{align*} \frac{∂S_\mathrm{bdy}}{∂λ_a} & = - ∑_a β_b ∫\frac{Rdτ}{ε^{2-h_a-h_b}} \left\langleψ_a(0)ψ_b(τ)\right\rangle_c \left(1-\cos\frac{2πτ}{R}\right) \\ & = -∑_b β_b g_{ab}. \end{align*}

参考文献

Recknagel and Schomerus (2013). Boundary Conformal Field Theory and the Worldsheet Approach to D-Branes

Friedan and Konechny (2004). On the Boundary Entropy of One-dimensional Quantum Systems at Low Temperature

c-theorem (nLab)