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6頂点模型とYang-Baxter方程式

6頂点模型、Yang-Baxter方程式、代数的Bethe仮設に関するノート

導入

このノートでは主に6頂点模型について話します。これは2次元の氷をモデル化したものだと考えるとわかりやすいですが、実際の氷の性質を反映しているかは知りません。 しかし、可解格子模型の一つであり、数理的に非常に面白い性質を持っていることが知られています。

左の図では2次元の氷を図示していて、正方格子の各辺で水素原子の配置に2通りの自由度が存在します。この自由度を頂点を結ぶ矢印として書いたのが右の図です。

各頂点が電気的に中性である (= 酸素原子に結合している水素原子は2個) という条件を課すと、各頂点で流入する矢印と流出する矢印の数は等しくなります。この条件を Ice rule といいます。 Ice rule を考慮すると、あり得る頂点は6通り存在します。ここからこの模型を6頂点模型と呼びます。

矢印の反転に対する対称性を仮定すると、 Boltzmann 重率 a,b,ca, b, c によって模型は決定されます。1

ただし、右・上向きの矢印に正符号 (オレンジ色)をつけ、左・下向きの矢印に負符号 (青色) をつけています。

特定の矢印の配位について、格子上のあらゆる頂点の Boltzmann 重率 を掛け合わせると、その配位の重みが得られます。 また、それを全ての配位に対して足し上げることで、系の分配関数が求まります。

テンソルネットワークの記法

6頂点模型における頂点は、上下左右の矢印の符号に対して、 0,a,b,c0, a, b, c のいずれかを返すようなテンソルだとみなせます。これを以下のグラフで表します。また、テンソルの縮約を以下のように表します。

以上の記法はテンソルネットワークと呼ばれます。テンソルネットワークによる図示は厳密なものであり、常に数式に直すことができます。しかし数式による表現はどうしても1次元的になってしまうので、2次元的に縮約されたテンソルを表す場合、数式よりもテンソルネットワークを使って表現したほうが便利です。 例えば10\times10格子の分配関数をテンソルネットワークで表すと、以下のようになります。 ただし、点線は周期的境界条件を表しています。

モノドロミー行列と転送行列

さて、6頂点模型の頂点を表すテンソルを、具体的に成分表示しましょう。 頂点に対し、右と上の添字のあり得る組み合わせは ++,+−,−+,−−++, +-, -+, -- の4つですが、これらを列の添字とみなします。同様に、左と下の添字も ++,+−,−+,−−++, +-, -+, -- の4つがあり得ますが、これらを行の添字とみなします。 すると、α\alpha行目、𝑛𝑛列目の頂点は、以下の4\times4行列で表示できます。 例えば2行目3列目は、左が++、下が−-、 右が−-、 上が++のときの Boltzmann 重率を表しています。

Ln,α=(a0000bc00cb0000a)=(aπn++bπn−cσn−cσn+bπn++aπn−)=a+b21α1n+a−b2σαzσnz+c2(σαxσnx+σαyσny)\begin{align*} L_{n,\alpha} & = \begin{pmatrix} a&0&0&0\\ 0&b&c&0\\ 0&c&b&0\\ 0&0&0&a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\pi_n^+ + b\pi_n^- & c\sigma_n^- \\ c\sigma_n^+ & b\pi_n^+ + a\pi_n^- \end{pmatrix} \\ & = \frac{a+b}{2}1_\alpha1_n+\frac{a-b}{2}\sigma_\alpha^z\sigma_n^z+\frac{c}{2}(\sigma_\alpha^x\sigma_n^x+\sigma_\alpha^y\sigma_n^y) \end{align*}

これをL行列といいます。なお、記号の定義は以下のとおりです。

σx=(0110),σy=(0−ii0),σz=(100−1).\begin{align*} \sigma^x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma^y = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma^z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. \end{align*} π+=1+σz2,π−=1−σz2.\begin{align*} \pi^+ = \frac{1+\sigma^z}{2}, \quad \pi^- = \frac{1-\sigma^z}{2}. \end{align*} σ+=σx+iσy2,σ−=σx−iσy2.\begin{align*} \sigma^+ = \frac{\sigma^x + i\sigma^y}{2}, \quad \sigma^- = \frac{\sigma^x - i\sigma^y}{2}. \end{align*}

Pauli 行列が出てきたことから分かるように、𝐿𝐿 は2つのスピンの直積

∣↑⟩α⊗∣↑⟩n,∣↑⟩α⊗∣↓⟩n,∣↓⟩α⊗∣↑⟩n,∣↓⟩α⊗∣↓⟩n\begin{align*} | {\uparrow} \rangle_\alpha \otimes | {\uparrow} \rangle_n,\quad | {\uparrow} \rangle_\alpha \otimes | {\downarrow} \rangle_n,\quad | {\downarrow} \rangle_\alpha \otimes | {\uparrow} \rangle_n,\quad | {\downarrow} \rangle_\alpha \otimes | {\downarrow} \rangle_n \end{align*}

が張る状態空間に対する演算子とみなせます。 ↑\uparrowを 上または右に置き換え、↓\downarrowを 下または左に置き換えると、スピンと矢印の符号を対応付けられます。

ここで、モノドロミー行列 𝑇𝑇 および転送行列 τ\tau を、

(Tα)kl=(Lα,1Lα,2⋯Lα,N)klτα=tr⁡Tα=∑i(Lα,1Lα,2⋯Lα,N)kk\begin{align*} & (T_\alpha)_{kl} = (L_{\alpha,1}L_{\alpha,2}\cdots L_{\alpha,N})_{kl} \\ & \tau_\alpha = \mathop{\operatorname{tr}} T_\alpha = \sum_i (L_{\alpha,1}L_{\alpha,2}\cdots L_{\alpha,N})_{kk} \end{align*}

と定義します。ただし、 𝑁𝑁 は系のサイズを表します。以降は添字の α\alpha は省略します。 この定義をテンソルネットワークで書くと、

となります。上下に伸びる添字は省略していますが、きちんと書くと、

Tj1j2⋯jNi1i2⋯iN∣kl,τj1j2⋯jNi1i2⋯iN\begin{align*} {T^{i_1i_2\cdots i_N}_{j_1j_2\cdots j_N}}|_{kl},\quad \tau^{i_1i_2\cdots i_N}_{j_1j_2\cdots j_N} \end{align*}

です。 上下方向に並んだ転送行列 τ\tau を全て掛け合わせてトレースをとれば、周期的境界条件の下での分配関数が得られます。

Z=tr⁡(τN)=∑i1,…,iN(τN)i1⋯iNi1⋯iN\begin{align*} Z = \mathop{\operatorname{tr}}(\tau^N) = \sum_{i_1,\ldots,i_N} (\tau^N)^{i_1\cdots i_N}_{i_1\cdots i_N} \end{align*}

したがって分配関数を求めるためには、τ\tau の固有値が分かればよいです。

Yang-Baxter 方程式

次に、Yang-Baxter 方程式を導入します。具体的には以下の図で表されます。

3つの頂点は別々の Boltzmann 重率をもつ6頂点模型の頂点です。 矢印は符号の基準を与えるものです。矢印と同じ向きを正符号とします。 同じことを数式で書くと、

R(L∙⊗L∘)=(L∘⊗L∙)R\begin{align*} R(L_\bullet \otimes L_\circ) = (L_\circ\otimes L_\bullet)R \end{align*}

となります。ただし、𝑅𝑅 はR行列と呼び、成分は 𝐿𝐿 と同じものです。繋がり方が異なっているので別の記号で区別しています。 まずこの方程式が成り立つと何が嬉しいのかを説明します。モノドロミー行列の積に、左からR行列を掛けてみます。すると、Yang-Baxter 方程式を繰り返し使うことができます。

左に掛けたR行列は右にすり抜けて、同時にモノドロミー行列の積の順序が入れ替わります。 これを式で書くと、

R(T∙⊗T∘)=(T∘⊗T∙)R\begin{align*} R(T_\bullet \otimes T_\circ) = (T_\circ\otimes T_\bullet)R \end{align*}

です。さらに、両辺に 𝑅𝑅 の逆行列を掛けてトレースをとることで、

[τ∙,τ∘]=0\begin{align*} [\tau_\bullet, \tau_\circ] = 0 \end{align*}

が得られます。つまり2つの転送行列は同じ固有ベクトルを共有します。

Yang-Baxter 方程式を書き下す

Yang-Baxter 方程式を以下のように変形しておきます。 右辺を回転し、全ての矢印の向きを反転しています。 矢印の向きの反転は全て同時に行う限りはBoltzmann重率を変えません。

さらに矢印の向きを1つ反転して、

と書きます。この変形は2つの頂点 (無印と白丸) で a↔ba \leftrightarrow b という変換をしたことを意味しています。後で a↔ba \leftrightarrow b という変換をもう一度行って、元に戻せば大丈夫です。

Yang-Baxter 方程式は 6つの添字をもつので、 26=642^6 = 64 個の方程式の集まりですが、実質的な方程式の数は3つだけです。

3個の方程式のうちの1つは、以下のように表されます。

これを式で書くと、

cb∘b∙=ca∘a∙+ac∘c∙\begin{align*} cb_\circ b_\bullet = ca_\circ a_\bullet + ac_\circ c_\bullet \end{align*}

となります。残りの2つの式は添字を巡回させたものであり、

bc∘b∙=ac∘a∙+ca∘c∙bb∘c∙=aa∘c∙+cc∘a∙\begin{align*} bc_\circ b_\bullet = ac_\circ a_\bullet + ca_\circ c_\bullet\\ bb_\circ c_\bullet = aa_\circ c_\bullet + cc_\circ a_\bullet \end{align*}

となります。以上の3つの式が、非自明な解をもつためには、

det⁡(c∘c∙0a∘a∙−b∘b∙c∘a∙−c∘b∙a∘c∙a∘c∙−b∘c∙c∘a∙)=c∘c∙(−a∙b∙c∘2+a∘b∘c∙2)+(a∘a∙−b∘b∙)(−c∘c∙a∙b∘+c∘c∙a∘b∙)=c∘c∙(−a∙b∙c∘2+a∘b∘c∙2+(a∘a∙−b∘b∙)(−a∙b∘+a∘b∙))=c∘c∙(a∙b∙(a∘2+b∘2−c∘2)−a∘b∘(a∙2+b∙2−c∙2))=0\begin{align*} & \det \begin{pmatrix} c_\circ c_\bullet & 0 & a_\circ a_\bullet - b_\circ b_\bullet \\ c_\circ a_\bullet & -c_\circ b_\bullet & a_\circ c_\bullet \\ a_\circ c_\bullet & -b_\circ c_\bullet & c_\circ a_\bullet \\ \end{pmatrix} \\ & = c_\circ c_\bullet(-a_\bullet b_\bullet c_\circ^2+a_\circ b_\circ c_\bullet^2)+(a_\circ a_\bullet-b_\circ b_\bullet)(-c_\circ c_\bullet a_\bullet b_\circ+c_\circ c_\bullet a_\circ b_\bullet) \\ & = c_\circ c_\bullet(-a_\bullet b_\bullet c_\circ^2+a_\circ b_\circ c_\bullet^2+(a_\circ a_\bullet-b_\circ b_\bullet)(-a_\bullet b_\circ+a_\circ b_\bullet)) \\ & = c_\circ c_\bullet(a_\bullet b_\bullet(a_\circ^2+b_\circ^2-c_\circ^2)-a_\circ b_\circ(a_\bullet^2+b_\bullet^2-c_\bullet^2)) = 0 \end{align*}

が成り立っていなければなりません。ここから、

a∘2+b∘2−c∘22a∘b∘−a∙2+b∙2−c∙22a∙b∙∹Δ∘−Δ∙=0.\begin{align*} \frac{a_\circ^2+b_\circ^2-c_\circ^2}{2a_\circ b_\circ} - \frac{a_\bullet^2+b_\bullet^2-c_\bullet^2}{2a_\bullet b_\bullet} \eqcolon \Delta_\circ - \Delta_\bullet = 0. \end{align*}

が分かり、同様の議論を繰り返すと、

Δ=Δ∘=Δ∙\begin{align*} \Delta = \Delta_\circ = \Delta_\bullet \end{align*}

となります。したがって、 Δ\Delta が共通であることが Yang-Baxter 方程式を満たすための必要条件となります。

スペクトルパラメーター

Boltzmann 重率 a,b,ca, b, c の自由度について改めて考えます。まず、 a,b,ca, b, c を一様に定数倍しても、分配関数が定数倍されるだけなので、物理的には同じ模型が得られます。したがって、自由度は1減ります。 さらに、これまでの議論から Δ\Delta を固定すると、 a,b,ca, b, c に残された自由度は1つだけです。 したがって、 a,b,ca, b, c を λ\lambda によって以下のようにパラメーター表示することします (これは非常に上手いパラメーター表示であることが後で分かります)。

{a=sin⁡(λ+2η)b=sin⁡λc=sin⁡(2η)\begin{align*} \begin{cases} a = \sin(\lambda+2\eta) \\ b = \sin \lambda \\ c = \sin(2\eta) \end{cases} \end{align*}

ただし、 η\eta は固定されているものとします。なぜならば、

Δ=a2+b2−c22ab=cos⁡(2η)\begin{align*} \Delta = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \cos(2\eta) \end{align*}

が成り立つからです。2

この式は a,b,ca, b, c を三角形の3辺だと思って正弦定理および余弦定理を使えばわかります。

Yang-Baxter 方程式の解

無印と白丸の頂点で a↔ba \leftrightarrow b としなければならないことに注意し、また c が各頂点で共通することに注意すると、Yang-Baxter 方程式から以下の式が成り立ちます。

a∘b∙−b∘a∙=ca\begin{align*} a_\circ b_\bullet - b_\circ a_\bullet = ca \end{align*}

パラメーター表示を代入すると、

sin⁡(λ∘+2η)sin⁡(λ∙)−sin⁡(λ∘)sin⁡(λ∙+2η)=csin⁡λ\begin{align*} \sin(\lambda_\circ+2\eta)\sin(\lambda_\bullet) - \sin(\lambda_\circ)\sin(\lambda_\bullet+2\eta) = c\sin \lambda \end{align*}

となります。左辺は Δ=cos⁡(2η),c=sin⁡(2η)\Delta = \cos(2\eta), c = \sin(2\eta) から、

(Δsin⁡λ∘+ccos⁡λ∘)sin⁡λ∙−(Δsin⁡λ∙+ccos⁡λ∙)sin⁡λ∘=csin⁡λ∙cos⁡λ∘−ccos⁡λ∙sin⁡λ∘=csin⁡(λ∙−λ∘)\begin{align*} & (\Delta\sin \lambda_\circ+c\cos \lambda_\circ)\sin \lambda_\bullet - (\Delta\sin \lambda_\bullet+c\cos \lambda_\bullet)\sin \lambda_\circ \\ & = c \sin \lambda_\bullet\cos \lambda_\circ - c \cos \lambda_\bullet \sin \lambda_\circ \\ & = c \sin(\lambda_\bullet - \lambda_\circ) \end{align*}

と変形できるので、

λ=λ∙−λ∘\begin{align*} \lambda = \lambda_\bullet - \lambda_\circ \end{align*}

が分かります。したがって、Yang-Baxter 方程式を以下のように書き直しておきます。

代数的 Bethe 仮設

いよいよ、Yang-Baxter 方程式から転送行列の固有値を構成します。 モノドロミー行列の成分 A,B,C,DA, B, C, D を以下のように定義します。

T(λ)=L1(λ)⋯LN(λ)=(A(λ)B(λ)C(λ)D(λ))\begin{align*} T(\lambda) = L_1(\lambda)\cdots L_N(\lambda) = \begin{pmatrix} A(\lambda) & B(\lambda) \\ C(\lambda) & D(\lambda) \end{pmatrix} \end{align*}

成分と言いつつ、 A,B,C,DA, B, C, D は 2N×2N2ᴺ\times2ᴺ 行列であることに注意してください。 Yang-Baxter 方程式から、モノドロミー行列について、

R(λ−μ)(T(λ)⊗T(μ))=(T(μ)⊗T(λ))R(λ−μ)\begin{align*} R(\lambda-\mu)(T(\lambda)\otimes T(\mu)) = (T(\mu)\otimes T(\lambda))R(\lambda-\mu) \end{align*}

が成り立ちます。これを行列表示で表すと、16個の交換関係が得られます。

(a0000bc00cb0000a)(AA′AB′BA′BB′AC′AD′BC′BD′CA′CB′DA′DB′CC′CD′DC′DD′)=(A′AA′BB′AB′BA′CA′DB′CB′DC′AC′BD′AD′BC′CC′DD′CD′D)(a0000bc00cb0000a)\begin{align*} & \begin{pmatrix} a&0&0&0\\ 0&b&c&0\\ 0&c&b&0\\ 0&0&0&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} AA'&AB'&BA'&BB'\\ AC'&AD'&BC'&BD'\\ CA'&CB'&DA'&DB'\\ CC'&CD'&DC'&DD' \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} A'A&A'B&B'A&B'B\\ A'C&A'D&B'C&B'D\\ C'A&C'B&D'A&D'B\\ C'C&C'D&D'C&D'D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&0&0&0\\ 0&b&c&0\\ 0&c&b&0\\ 0&0&0&a \end{pmatrix} \end{align*}

ただし、引数を省略して a=a(λ−μ),A=A(λ),A′=A(μ)a = a(\lambda-\mu), A = A(\lambda), A' = A(\mu) などと表しています。 実は、この交換関係から 𝐵(λ)𝐵(\lambda) が生成演算子のような働きをもつことが示せます。 状態 ∣𝑀⟩|𝑀\rangle を真空状態 ∣0⟩≔∣↑⟩⊗∣↑⟩⊗⋯⊗∣↑⟩|0\rangle \coloneqq |{\uparrow}\rangle\otimes|{\uparrow}\rangle\otimes \cdots \otimes|{\uparrow}\rangle から以下のように構成します。

∣M⟩=B(λ1)⋯B(λM)∣0⟩\begin{align*} | M \rangle = B(\lambda_1)\cdots B(\lambda_M)| 0 \rangle \end{align*}

すると、 λi{\lambdaᵢ} がある条件 (Bethe 仮設方程式) を満たすときに、 ∣𝑀⟩|𝑀\rangle が転送行列 τ\tau の固有状態となります。

“0粒子”の場合

一般の場合にこのことを示すのは大変なので、まず “0粒子” の場合を議論します。 0粒子の場合は状態は真空状態 ∣0⟩|0\rangle です。これが τ\tau(\lambda) の固有状態となることを示します。

Ln(λ)∣↑⟩n=(a(λ)∣↑⟩nc(λ)∣↓⟩n0b(λ)∣↑⟩n)\begin{align*} L_n(\lambda)| {\uparrow} \rangle_n = \begin{pmatrix} a(\lambda)| {\uparrow} \rangle_n & c(\lambda)| {\downarrow} \rangle_n \\ 0 & b(\lambda)| {\uparrow} \rangle_n \end{pmatrix} \end{align*}

が上三角行列であることから、

T(λ)∣0⟩=L1(λ)⋯LN(λ)∣0⟩=(a(λ)N∣0⟩∗0b(λ)N∣0⟩)\begin{align*} T(\lambda)|0\rangle = L_1(\lambda)\cdots L_N(\lambda)|0\rangle = \begin{pmatrix} a(\lambda)^N|0\rangle & * \\ 0 & b(\lambda)^N|0\rangle \end{pmatrix} \end{align*}

となります。したがって

α(λ)≔a(λ)N,δ(λ)≔b(λ)N\begin{align*} \alpha(\lambda) \coloneqq a(\lambda)^N, \quad \delta(\lambda) \coloneqq b(\lambda)^N \end{align*}

とおくと、

τ(λ)∣0⟩=(A(λ)+D(λ))∣0⟩=(α(λ)+δ(λ))∣0⟩\begin{align*} \tau(\lambda)|0\rangle = (A(\lambda)+D(\lambda))|0\rangle = (\alpha(\lambda) + \delta(\lambda))|0\rangle \end{align*}

となります。よって ∣0⟩|0\rangle が τ(λ)\tau(\lambda) の固有状態となることがわかりました。

“1粒子”の場合

次に “1粒子” の場合を議論します。∣0⟩|0\rangle に 𝐵𝐵 を一回掛けた状態が固有状態となるかを確かめるためには、

τ(λ)B(λ1)∣0⟩=[A(λ)+D(λ)]B(λ1)∣0⟩∝?B(λ1)∣0⟩\begin{align*} \tau(\lambda)B(\lambda_1)| 0 \rangle = [A(\lambda)+D(\lambda)]B(\lambda_1)| 0 \rangle \overset{?}{\propto} B(\lambda_1)| 0 \rangle \end{align*}

となるかを見てやればよいです。ここで、先程の16個の交換関係のうち、1行目4列目、1行目3列目、2行目4列目に注目すると、

BB′=B′BaBA′=cA′B+bB′AbBD′+cDB′=aB′D\begin{gather*} BB' = B'B \\ aBA' = cA'B + bB'A \\ bBD' + cDB' = aB'D \end{gather*}

が成り立ちます。整理すると、

[B(λ),B(μ)]=0A(λ)B(μ)=a(μ−λ)c(μ−λ)B(μ)A(λ)−b(μ−λ)c(μ−λ)B(λ)A(μ)D(λ)B(μ)=a(λ−μ)c(λ−μ)B(μ)D(λ)−b(λ−μ)c(λ−μ)B(λ)D(μ)\begin{align*} & [B(\lambda),B(\mu)] = 0 \\ & A(\lambda)B(\mu) = \frac{a(\mu-\lambda)}{c(\mu-\lambda)}B(\mu)A(\lambda) - \frac{b(\mu-\lambda)}{c(\mu-\lambda)}B(\lambda)A(\mu) \\ & D(\lambda)B(\mu) = \frac{a(\lambda-\mu)}{c(\lambda-\mu)}B(\mu)D(\lambda) - \frac{b(\lambda-\mu)}{c(\lambda-\mu)}B(\lambda)D(\mu) \end{align*}

です。ここから、

A(λ)B(λ1)∣0⟩=a(λ1−λ)c(λ1−λ)B(λ1)α(λ)∣0⟩−b(λ1−λ)c(λ1−λ)B(λ1)α(λ)∣0⟩D(λ)B(λ1)∣0⟩=a(λ−λ1)c(λ−λ1)B(λ1)δ(λ)∣0⟩−b(λ−λ1)c(λ−λ1)B(λ)δ(λ1)∣0⟩\begin{align*} & A(\lambda)B(\lambda_1)| 0 \rangle = \frac{a(\lambda_1-\lambda)}{c(\lambda_1-\lambda)}B(\lambda_1)\alpha(\lambda)| 0 \rangle - \frac{b(\lambda_1-\lambda)}{c(\lambda_1-\lambda)}B(\lambda_1)\alpha(\lambda)| 0 \rangle \\ & D(\lambda)B(\lambda_1)| 0 \rangle = \frac{a(\lambda-\lambda_1)}{c(\lambda-\lambda_1)}B(\lambda_1)\delta(\lambda)| 0 \rangle - \frac{b(\lambda-\lambda_1)}{c(\lambda-\lambda_1)}B(\lambda)\delta(\lambda_1)| 0 \rangle \end{align*}

が分かります。これら2つの式において、第2項がもとの状態に比例しない邪魔な項なので、第2項同士が相殺することを課します。すなわち、

b(λ1−λ)c(λ1−λ)α(λ1)+b(λ−λ1)c(λ−λ1)δ(λ1)=0\begin{align*} \frac{b(\lambda_1-\lambda)}{c(\lambda_1-\lambda)}\alpha(\lambda_1) +\frac{b(\lambda-\lambda_1)}{c(\lambda-\lambda_1)}\delta(\lambda_1) = 0 \end{align*}

とします。私達が使っていたパラメーター表示では bb が奇関数であり、 cc が定数だったことを思い出すと、

α(λ1)=δ(λ1)\begin{align*} \alpha(\lambda_1) = \delta(\lambda_1) \end{align*}

となります。これを Bethe 仮設方程式と呼びます。

”𝑀 粒子”の場合

最後に、一般の”𝑀 粒子”の場合について考えましょう。

[A(λ)+D(λ)]B(λ1)⋯B(λM)∣0⟩∝B(λ1)⋯B(λM)∣0⟩\begin{align*} [A(\lambda)+D(\lambda)]B(\lambda_1)\cdots B(\lambda_M)|0\rangle \propto B(\lambda_1)\cdots B(\lambda_M)|0\rangle \end{align*}

となるように、{λi}\{\lambdaᵢ\} を決定します。 ここで、AA に関する項を交換関係によって分解していくと、以下の状態ベクトルに比例する項が現れます。

α(λ)B(λ1)⋯B(λM)∣0⟩,α(λi)B(λ1)⋯B(λ)⏞i⋯B(λM)∣0⟩\begin{align*} \alpha(\lambda)B(\lambda_1)\cdots B(\lambda_M)|0\rangle, \quad \alpha(\lambdaᵢ)B(\lambda_1)\cdots\overbrace{B(\lambda)}^i\cdots B(\lambda_M)|0\rangle \end{align*}

1つ目のベクトルは元の状態ベクトルに比例するものであり、その他のベクトルは消えてほしいものです。また λi{\lambdaᵢ} が任意のパラメーターであることから、これらの状態ベクトルは線形独立だと仮定できます。 A(λ)∣𝑀⟩A(\lambda)|𝑀\rangle に交換関係を1回使うと、

[a(λ1−λ)c(λ1−λ)B(λ1)A(λ)−b(λ1−λ)c(λ1−λ)B(λ)A(λ1)]B(λ2)⋯B(λM)∣0⟩\begin{align*} \left[\frac{a(\lambda_1-\lambda)}{c(\lambda_1-\lambda)}B(\lambda_1)A(\lambda) - \frac{b(\lambda_1-\lambda)}{c(\lambda_1-\lambda)}B(\lambda)A(\lambda_1)\right]B(\lambda_2)\cdots B(\lambda_M)|0\rangle \end{align*}

となります。これを繰り返すと A(λ)A(\lambda) が段々と右へ移動していき、最終的に ∣0⟩|0\rangle に作用して α\alphaが出てきます。 このとき、α(λ1)\alpha(\lambda_1) が出てくるような項を考えます。 上の式の第1項からはこのような項は出てきません。なぜならば、 AA の左に 𝐵(λ1)𝐵(\lambda_1) があり、交換関係を何度適用しても、 λ1\lambda_1 がこの位置から動くことはないからです。 したがって、第1項を無視し、もう一度交換関係を使うと、

−b(λ1−λ)c(λ1−λ)B(λ)[a(λ2−λ1)c(λ2−λ1)B(λ2)A(λ1)−b(λ2−λ1)c(λ2−λ1)B(λ1)A(λ2)]B(λ3)⋯B(λM)∣0⟩\begin{align*} -\frac{b(\lambda_1-\lambda)}{c(\lambda_1-\lambda)}B(\lambda)\left[\frac{a(\lambda_2-\lambda_1)}{c(\lambda_2-\lambda_1)}B(\lambda_2)A(\lambda_1) - \frac{b(\lambda_2-\lambda_1)}{c(\lambda_2-\lambda_1)}B(\lambda_1)A(\lambda_2)\right]B(\lambda_3)\cdots B(\lambda_M)|0\rangle \end{align*}

となります。今度は第2項で AA の左に 𝐵(λ1)𝐵(\lambda_1) があるので第2項は無視できます。同様の議論を繰り返すと、 α(λ1)\alpha(\lambda_1) が出てくる項が

−b(λ1−λ)c(λ1−λ){∏i≠1a(λi−λ1)c(λi−λ1)}α(λ1)B(λ)B(λ2)⋯B(λM)∣0⟩\begin{align*} - \frac{b(\lambda_1-\lambda)}{c(\lambda_1-\lambda)} \left\{\prod_{i\ne1}\frac{a(\lambdaᵢ-\lambda_1)}{c(\lambdaᵢ-\lambda_1)}\right\} \alpha(\lambda_1)B(\lambda)B(\lambda_2)\cdots B(\lambda_M)|0\rangle \end{align*}

のみだと分かります。 さらに、𝐵𝐵 どうしの積が可換であることから、 𝐵(λj)𝐵(\lambdaⱼ) を先頭にもってくることで、同様の議論が可能です。すなわち α(λj)\alpha(\lambdaⱼ) が出てくる項が、

−b(λj−λ)c(λj−λ){∏i≠ja(λi−λj)c(λi−λj)}α(λj)B(λ1)⋯B(λ)⏞j⋯B(λM)∣0⟩\begin{align*} - \frac{b(\lambdaⱼ-\lambda)}{c(\lambdaⱼ-\lambda)} \left\{\prod_{i\ne j}\frac{a(\lambdaᵢ-\lambdaⱼ)}{c(\lambdaᵢ-\lambdaⱼ)}\right\} \alpha(\lambdaⱼ)B(\lambda_1)\cdots\overbrace{B(\lambda)}^j\cdots B(\lambda_M)|0\rangle \end{align*}

のみだと分かります。 𝐷(λ)∣𝑀⟩𝐷(\lambda)|𝑀\rangle についても同様に

−b(λ−λj)c(λ−λj){∏i≠ja(λj−λi)c(λj−λi)}δ(λj)B(λ1)⋯B(λ)⏞j⋯B(λM)∣0⟩\begin{align*} - \frac{b(\lambda-\lambdaⱼ)}{c(\lambda-\lambdaⱼ)}\left\{\prod_{i\ne j}\frac{a(\lambdaⱼ-\lambdaᵢ)}{c(\lambdaⱼ-\lambdaᵢ)}\right\} \delta(\lambdaⱼ)B(\lambda_1)\cdots\overbrace{B(\lambda)}^j\cdots B(\lambda_M)|0\rangle \end{align*}

という項が出てくることが分かるので、これらが相殺することを課し、Bethe 仮設方程式

α(λj)b(λj−λ)c(λj−λ)∏i≠ja(λi−λj)c(λi−λj)+δ(λj)b(λ−λj)c(λ−λj)∏i≠ja(λj−λi)c(λj−λi)=0\begin{align*} \alpha(\lambdaⱼ)\frac{b(\lambdaⱼ-\lambda)}{c(\lambdaⱼ-\lambda)} \prod_{i\ne j}\frac{a(\lambdaᵢ-\lambdaⱼ)}{c(\lambdaᵢ-\lambdaⱼ)} + \delta(\lambdaⱼ)\frac{b(\lambda-\lambdaⱼ)}{c(\lambda-\lambdaⱼ)} \prod_{i\ne j}\frac{a(\lambdaⱼ-\lambdaᵢ)}{c(\lambdaⱼ-\lambdaᵢ)} = 0 \end{align*}

を得ます。 bb が奇関数であり、 cc が定数であることを使って整理すると、

α(λj)δ(λj)=∏i≠ja(λj−λi)a(λi−λj)\begin{align*} \frac{\alpha(\lambdaⱼ)}{\delta(\lambdaⱼ)} = \prod_{i\ne j}\frac{a(\lambdaⱼ-\lambdaᵢ)}{a(\lambdaᵢ-\lambdaⱼ)} \end{align*}

となります。Bethe 仮設方程式の解が得られれば、転送行列の固有値は

Λ(λ;λ1,…,λM)=α(λ)∏i=1Ma(λi−λ)c(λi−λ)+δ(λ)∏i=1Ma(λ−λi)c(λ−λi)\begin{align*} \Lambda(\lambda;\lambda_1,\ldots,\lambda_M) = \alpha(\lambda) \prod_{i=1}^M \frac{a(\lambdaᵢ-\lambda)}{c(\lambdaᵢ-\lambda)} + \delta(\lambda) \prod_{i=1}^M \frac{a(\lambda-\lambdaᵢ)}{c(\lambda-\lambdaᵢ)} \end{align*}

によって構成されます。

組み紐群の表現

ちょっと話題を変えて、Yang-Baxter 方程式と組み紐群との関係について見てみます。ここでは組み紐群の定義については省略します。 Yang-Baxter 方程式を変形して

と書くと、組み紐関係式に見えてきます。組み紐関係式とは、以下の等式を指します。

違いとしては、Yang-Baxter 方程式では頂点が連続的なパラメーターによって特徴づけられていますが、組み紐関係式ではそのようなパラメーターはありません。 しかし、パラメーターについて適切に極限をとることで、Yang-Baxter 方程式から組み紐群の表現を得ることができます。

例えば、以下のR行列を考えてみます。これが Yang-Baxter 方程式を満たすことの証明は読者への演習問題とします。

R(λ)=(sinh⁡(λ+2η)0000e−λsinh⁡(2η)sinh⁡λ00sinh⁡λeλsinh⁡(2η)0000sinh⁡(λ+2η))\begin{align*} R(\lambda) = \begin{pmatrix} \sinh(\lambda+2\eta) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-\lambda}\sinh(2\eta) & \sinh \lambda & 0 \\ 0 & \sinh \lambda & e^\lambda\sinh(2\eta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sinh(\lambda+2\eta) \end{pmatrix} \end{align*}

以下のようにパラメーターの極限をとります。

R≔lim⁡λ→∞2e−λ−ηR(λ)=(eη00000e−η00e−ηeη−e−3η0000eη)\begin{align*} R \coloneqq \lim_{\lambda\to\infty} 2e^{-\lambda-\eta}R(\lambda) = \begin{pmatrix} e^\eta & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\eta} & 0 \\ 0 & e^{-\eta} & e^{\eta}-e^{-3\eta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^\eta \end{pmatrix} \end{align*}

Yang-Baxter 方程式から、この行列は組み紐群の表現になっています。 ここから、

と書くことにします。ただし、列の添字は上の2つの端点の添字 (++,+−,−+,−−)(++, +-, -+, --) を表しており、行の添字は下の2つの端点の添字 (++,+−,−+,−−)(++, +-, -+, --) を表しています。また A=eηA = e^\etaとおきました。反対向きの交差は逆行列をとって、

となります。さらに、次の関係式 (カウフマンブラケットの性質)

を課します。第1項は単位行列 (×A)(\times A) です。すると、

が分かります。トレースを取ると、

となります。(この時点で組み紐だけでなく絡み目も考えていることになります。) さらにカウフマンブラケットの性質から、以下の式も示せます。

以上で導入した組み紐・絡み目の表現は、Jones 多項式と呼ばれるものです。

参考文献

出口 哲生. (2000). 1次元量子系の厳密解とベーテ仮説の数理物理. 物性研究, 74(3), 255-319

Franchini, F. (2017). An Introduction to Integrable Techniques for One-Dimensional Quantum Systems.

Footnotes

  1. ここで定義した Boltzmann 重率は普通 exp⁡(−βε)\exp(-\beta\varepsilon) のように書かれますが、まとめて a,b,ca, b, c という一文字でおいています。 ↩

  2. ∣Δ∣>1|\Delta| > 1 の場合はここで導入したパラメーターは使えませんが、その場合別のパラメーター表示を用います (ここでは紹介を省きます) 。 ↩