Review of Conditional Mutual Information, Approximate Quantum Markov Chains, and Recoverability in Many-Body Quantum Systems

注意: この記事は100% AIによって生成された解説記事です。内容の正確性については原論文および引用文献を参照して検証してください。

1. Context and Motivation

Chen–Grover [1] は、非平衡定常状態における繰り込み群（RG）フローと相の安定性に対して、量子情報不等式から導かれる非摂動的制約を導出した。その中心的な道具立ては量子条件付き相互情報量（conditional mutual information, CMI）であり、空間的に分離された二領域間の相関のうち、それらを囲む領域を介さないもの（すなわち直接的な長距離相関）を定量化する。

論文の二つの主要結果——CMIスケーリング関数のRGフロー下での単調性と、凸混合状態に対するCMIの上界——は、いずれもvon Neumann entropyのstrong subadditivity（SSA）とその精密化、すなわち近似量子マルコフ連鎖の理論とPetz回復写像に根差している。これらの数学的構造は、近年の混合状態（mixed state）の量子相分類 [2, 3, 4] において「エネルギーギャップの混合状態版」としてのMarkov長（CMIの指数的減衰を支配するスケール）の概念とともに、分野横断的に急速に重要性を増している。

本レビューの目的は、SSAからPetz回復写像を経てapproximate quantum Markov chainの定量的特徴付けに至る論理の鎖を、行間なく導出することである。これは[1]の理論的基盤を成すとともに、混合状態の量子相、量子誤り訂正、テンソルネットワーク理論等に広く応用される汎用的フレームワークである。

2. 量子エントロピーの基本的枠組み

2.1 von Neumann entropy と量子相対エントロピー

定義 2.1 (von Neumann entropy). Hilbert空間 $\mathcal{H}$ 上の密度演算子 $\rho$（すなわち $\rho \geq 0$, $\mathrm{Tr}\,\rho = 1$）に対し、von Neumann entropyを

で定義する。ここで $\log$ は自然対数であり、$0 \log 0 = 0$ と約束する。

定義 2.2 (量子相対エントロピー). 二つの密度演算子 $\rho, \sigma$ に対して、$\mathrm{supp}(\rho) \subseteq \mathrm{supp}(\sigma)$ のとき

と定義し、そうでないとき $D(\rho \| \sigma) = +\infty$ とする。

性質 2.3 (非負性). 任意の $\rho, \sigma$ に対して $D(\rho \| \sigma) \geq 0$ であり、等号は $\rho = \sigma$ のときかつそのときに限る。これはKleinの不等式から従う [5]。

2.2 部分系のエントロピーと相互情報量

三つの部分系 $A, B, C$ から成る複合系 $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C$ 上の密度演算子 $\rho_{ABC}$ を考える。部分トレースにより縮約密度演算子 $\rho_{AB} = \mathrm{Tr}_C\,\rho_{ABC}$ 等を得る。

定義 2.4 (相互情報量). 二部分系 $A, B$ に対する相互情報量を

で定義する。第二の等式は定義 (2.1), (2.2) を直接展開することで検証できる。相対エントロピーの非負性（性質 2.3）より $I(A:B) \geq 0$ である。

定義 2.5 (条件付き相互情報量, CMI). 三部分系 $A, B, C$ に対して

で定義する。これは $B$ を条件とした $A$ と $C$ の相関を測る量である。

CMIは同値な書き換え

を持つ。これは (2.3) を $I(A:BC)$ と $I(A:B)$ に適用し、$S(\rho_{ABC})$, $S(\rho_{AB})$, $S(\rho_{BC})$, $S(\rho_A)$, $S(\rho_B)$ のみを用いて整理することで直接検証される。物理的には、(2.5) は「$A$ と $BC$ 全体の相関から $A$ と $B$ のみの相関を引いたもの」がCMIであることを示している。

3. Strong Subadditivity とその等号条件

3.1 定理の主張と証明戦略

定理 3.1 (Strong Subadditivity, SSA; Lieb–Ruskai [6]). 任意の三部分系の密度演算子 $\rho_{ABC}$ に対して

が成り立つ。エントロピーの言葉で書き直すと、

証明の概略. SSAは量子相対エントロピーの単調性（data processing inequality, DPI）と等価であることが知られている [7, 8]。DPIの主張は次の通りである：

定理 3.2 (量子相対エントロピーの単調性). 任意のCPTP写像（quantum channel）$\mathcal{N}: \mathcal{B}(\mathcal{H}_A) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}_B)$ と密度演算子 $\rho, \sigma$ に対して

SSAをDPIから導くには、$\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B \otimes \mathcal{H}_C$ 上の状態 $\rho_{ABC}$ と $\sigma_{ABC} := \rho_A \otimes \rho_{BC}$ を考え、$\mathcal{N}$ として系 $C$ に関する部分トレース $\mathrm{Tr}_C$ を選ぶ。すると

ここで右辺は $\mathrm{Tr}_C(\rho_A \otimes \rho_{BC}) = \rho_A \otimes \rho_B$（$\rho_B = \mathrm{Tr}_C\,\rho_{BC}$ の定義による）を用いた。左辺を展開すると

$\mathrm{Tr}[\rho_{ABC} \log \rho_A] = \mathrm{Tr}[\rho_A \log \rho_A] = -S(\rho_A)$ （$\log \rho_A$ は $A$ のみに作用するため部分トレースが実行でき、$\mathrm{Tr}_{BC}\,\rho_{ABC} = \rho_A$）であり、同様に $\mathrm{Tr}[\rho_{ABC} \log \rho_{BC}] = -S(\rho_{BC})$ である。よって

同様の計算で右辺 $D(\rho_{AB} \| \rho_A \otimes \rho_B) = I(A:B)_\rho$ を得る。したがって (3.4) は

となり、(2.5) と組み合わせて $I(A:C|B) = I(A:BC) - I(A:B) \geq 0$ が従う。 $\square$

3.2 SSA等号条件と量子マルコフ連鎖

定義 3.3 (量子マルコフ連鎖). 三部分系上の密度演算子 $\rho_{ABC}$ が量子マルコフ連鎖 $A \leftrightarrow B \leftrightarrow C$ であるとは、$I(A:C|B)_\rho = 0$ を満たすことをいう。

SSAの等号条件の完全な特徴付けは Hayden–Jozsa–Petz–Winter [9] により与えられた：

定理 3.4 ([9]). $I(A:C|B)_\rho = 0$ が成り立つための必要十分条件は、系 $B$ のHilbert空間が直和分解

を持ち、状態が

の形をとること（$\{p_j\}$ は確率分布、$\rho_{AB_j^L}$ は $A \otimes B_j^L$ 上、$\rho_{B_j^R C}$ は $B_j^R \otimes C$ 上の密度演算子）である。

この構造は、$B$ を知った上で $A$ と $C$ が条件付き独立であるという古典的マルコフ連鎖の量子版を表現している。重要な帰結として、量子マルコフ連鎖は Petz回復写像により $\rho_{AB}$ から $\rho_{ABC}$ を完全に再構成できる。

4. Petz 回復写像

4.1 定義と基本性質

Petz回復写像 [10, 11] は、量子相対エントロピーの単調性における等号条件から自然に現れる。

定義 4.1 (Petz回復写像). CPTP写像 $\mathcal{N}: \mathcal{B}(\mathcal{H}_A) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}_B)$ と参照状態 $\sigma \in \mathcal{B}(\mathcal{H}_A)$（$\sigma > 0$と仮定）に対し、Petz回復写像 $\mathcal{P}_{\sigma, \mathcal{N}}: \mathcal{B}(\mathcal{H}_B) \to \mathcal{B}(\mathcal{H}_A)$ を

で定義する。ここで $\mathcal{N}^\dagger$ は $\mathcal{N}$ のHilbert–Schmidt随伴、すなわち $\mathrm{Tr}[X \cdot \mathcal{N}(Y)] = \mathrm{Tr}[\mathcal{N}^\dagger(X) \cdot Y]$ を満たす写像であり、$\mathcal{N}(\sigma)^{-1/2}$ は $\mathrm{supp}(\mathcal{N}(\sigma))$ 上の逆行列として理解する。

命題 4.2. Petz回復写像は参照状態を正確に回復する：

証明. (4.1) に $\mathcal{N}(\sigma)$ を代入する：

$\mathcal{N}(\sigma)^{-1/2}\,\mathcal{N}(\sigma)\,\mathcal{N}(\sigma)^{-1/2} = \mathbb{1}_B$（$\mathrm{supp}(\mathcal{N}(\sigma))$ 上の恒等演算子）を用いると

$\mathcal{N}$ がCPTPであることから $\mathcal{N}^\dagger$ はunital、すなわち $\mathcal{N}^\dagger(\mathbb{1}_B) = \mathbb{1}_A$ である（$\mathcal{N}$ がtrace-preservingであることとHilbert–Schmidt随伴の性質により、$\mathrm{Tr}[X \cdot \mathcal{N}(\mathbb{1}_A)] = \mathrm{Tr}[\mathcal{N}^\dagger(X)]$ の両辺を比較すれば確認できる）。よって

4.2 Petz写像と量子マルコフ連鎖の関係

CMIの文脈では、$\mathcal{N} = \mathrm{Tr}_A$（系 $A$ の部分トレース）とし、参照状態を $\sigma = \rho_{ABC}$ とする。このとき $\mathcal{N}(\sigma) = \rho_{BC}$ であり、Petz回復写像は $B$ 上の状態から $AB$ 上の状態への回復写像

を与える（ここでは形式的に$\mathrm{Tr}_A$の随伴がembeddingであることを用いている）。

定理 3.4 (再掲) の帰結として、Petz [10] は次を示した：

定理 4.3 (Petz [10]). $I(A:C|B)_\rho = 0$ が成り立つための必要十分条件は、$\rho_{BC}$ に関するPetz回復写像 $\mathcal{R}_{B \to AB}$ を系 $B$ の部分に適用して

が成り立つことである。

すなわち、量子マルコフ連鎖は $B$ のみに作用する回復操作で $A$ を含む全体の状態を完全に復元できる状態である。

5. 近似量子マルコフ連鎖と回復可能性

5.1 問題の設定

厳密な量子マルコフ連鎖（$I(A:C|B) = 0$）は非常に特殊な状態にのみ成立する。物理的に重要なのは、CMIが小さいが厳密にゼロではない場合、すなわち

のとき、状態がどの程度「近似的にマルコフ連鎖」であるかを定量的に特徴付けることである。これが近似回復可能性（approximate recoverability）の問題である。

5.2 Fawzi–Renner の定理

画期的な結果は Fawzi–Renner [12] により2015年に与えられた：

定理 5.1 (Fawzi–Renner [12]). 任意の三部分系の密度演算子 $\rho_{ABC}$ に対して、$B$ から $BC$ への CPTP写像 $\mathcal{R}_{B \to BC}$ が存在して

が成り立つ。ここで $F(\rho, \sigma) := \|\sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\|_1 = \mathrm{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho}\,\sigma\,\sqrt{\rho}}$ はUhlmann fidelityである。

この定理の意味は深い：CMIが小さければ（$I(A:C|B) \leq \varepsilon$）、ある回復写像 $\mathcal{R}$ が存在して回復状態 $(\mathrm{id}_A \otimes \mathcal{R})(\rho_{AB})$ と元の状態 $\rho_{ABC}$ のfidelityが少なくとも $F \geq 2^{-\varepsilon/2}$ となる。$\varepsilon \to 0$ で $F \to 1$（完全回復）が保証される。

5.3 精密化：普遍的回復写像

Fawzi–Renner [12] の結果では回復写像 $\mathcal{R}$ が状態 $\rho$ に依存し得た。これを $\rho$ に依存しない普遍的回復写像で実現できるかは重要な問題であった。この問題は Junge–Renner–Sutter–Wilde–Winter [13] および Sutter–Fawzi–Renner [14] により解決された。

定理 5.2 (普遍的回復写像 [13, 14]). 任意の $\rho_{ABC}$ に対して、回転付きPetz回復写像の凸結合

が存在して

が成り立つ。ここで：

• $\beta_0(t) := \frac{\pi}{2}(\cosh(\pi t) + 1)^{-1}$ は確率密度関数（$\int_{-\infty}^{\infty}\beta_0(t)\,dt = 1$）、
• $\mathcal{R}^{(t)}_{B \to BC}$ は回転付きPetz写像

• $D_M(\rho \| \sigma) := \sup_{\{M_x\}} D\!\left(\sum_x \mathrm{Tr}[M_x \rho] |x\rangle\!\langle x| \,\Big\|\, \sum_x \mathrm{Tr}[M_x \sigma] |x\rangle\!\langle x|\right)$ は測定相対エントロピー（supremumは全てのPOVM $\{M_x\}$ 上でとる）である。

(5.4) の左辺は (3.6) と相互情報量の定義により $I(A:C|B)_\rho$ に等しい。したがって

第二の不等式はPinskerの不等式の fidelity版 $D_M(\rho\|\sigma) \geq -2\log F(\rho,\sigma)$（[15]参照）から従う。

この結果の鍵となる点: 普遍回復写像 $\overline{\mathcal{R}}$ は $\rho_{BC}$ と $\rho_B$ のみで決まり（$\rho$ の $A$ に関する情報を使わない）、これにより回復可能性が状態の詳細によらない頑健な性質であることが保証される。

5.4 Petz回復写像 $t=0$ での精密化

2017年に Wilde [16] は、(5.5) の $t=0$ の場合、すなわち元々のPetz回復写像

のみで

が成り立つことを示した。すなわち、回転の凸結合を取る必要がなく、最も自然な回復写像で十分である。

6. CMI の単調性と多体系への応用

6.1 部分トレース下でのCMIの単調性

SSAからCMIのいくつかの重要な単調性が従う。これらは[1]の主要結果の基礎である。

命題 6.1 (CMIの部分トレース単調性). 四部分系 $A, B, B', C$ において $B' \subseteq B$（$B$ の部分系）のとき、

証明. $B = B'B''$ と書く。(2.4) を用いて

$B = B'B''$ として整理すると、これは

とは直接的にはならないが、より端的には次のように示せる。$I(A:C|B) = I(A:BC) - I(A:B)$ と $I(A:C|B') = I(A:B'C) - I(A:B')$ を用いる。ここで $B'C \subseteq BC$ であるから、

第一項は $I(A:B'C) \leq I(A:BC) = I(A:B'B''C)$（これはDPIの帰結 $I(A:B'C) = I(A:\mathrm{Tr}_{B''}(B'B''C))$ であり、部分トレースは情報を失うため）で非正になる…。

実は (6.1) を最も直接的に示す方法は、CMI自体がCMIの差として表せるという事実を使うことである [17]。具体的に、$A' \supseteq A$, $C' \supseteq C$, $B' \subseteq B$ なる包含関係（$A'$ は $AB$ の一部を含む等）のもとでの単調性は、SSAを繰り返し適用することで得られる。

ここでは[1]で用いられるより直接的な議論を述べる：

命題 6.2 (CMIの増大に対する非負性 [1, 17]). 図1(a)のように、一次元鎖において長さ $l$ の領域 $A, C$ と、それらを隔てる長さ $l_B$ の領域 $B$ を考える。$A, B, C$ をそれぞれ $A', B', C'$（$A' \subset A, C' \subset C, B' \supset B$、すなわち $A, C$ を縮小し $B$ を拡大）に変更したとき、CMIの差

は、適切な四部分系の分割に対するCMIとして表せる。SSA (定理 3.1) により $\Delta I \geq 0$ である。

この非負性は、$l$ を大きくしていく（$A, C$ を拡大する）につれてCMI $I(A:C|B)$ が単調非減少であることを意味する。さらに $l_B$ を固定して $l \to \infty$ の極限

をとることで、有限部分のみに依存する量 $I(\infty | l_B)$ を定義できる。

6.2 Markov長

定義 6.3 (Markov長 [2]). 状態 $\rho$ に対して、CMIの指数的減衰

を定義するスケール $\xi_M$ を Markov長 (Markov length) と呼ぶ。

Markov長は、Hamiltonianの基底状態における相関長やギャップの概念を混合状態に拡張する役割を果たす。Sang–Hsieh [2] が提唱した核心的主張は：

主張 ([2]). Lindbladian発展のもとでMarkov長が有限に保たれる限り、状態は同じ混合状態量子相に留まる。Markov長の発散は混合状態相転移の指標である。

この主張は近似回復可能性（定理 5.1, 5.2）に支えられている：$I(A:C|B) \leq \varepsilon$ ならば、回復写像により $\rho_{ABC}$ を $\rho_{AB}$ から近似的に再構成できる。Markov長が有限であれば、任意の有限距離の $A, C$ に対してCMIは指数的に小さく、局所回復が可能である。逆にMarkov長が発散すると、長距離CMIが残存し、局所操作では状態を回復できない。

6.3 CMIのRGフロー下での単調性：Chen–Grover の議論

[1] の中心的結果は、上述のCMI単調性をreal-space RG変換の文脈で適用したものである。RG変換は粗視化操作であり、本質的にCPTP写像（部分トレースやblock-spin変換等）として実現できる。

臨界点近傍において、一つの関連パラメータ $t$（RGの関連演算子の結合定数に対応）と相関長 $\xi \sim |t|^{-\nu}$ を考える。[1] は次のスケーリング仮説を立てる：

ここで $f$ は普遍的スケーリング関数である。

CMIの部分トレース単調性（$l_B$ を増やす→CMI減少、命題6.2）から、$f$ は $l_B$ の増加すなわちスケーリング変数 $t \cdot l_B^{1/\nu}$ の増加に対して単調減少する。これは $t > 0$ の方向（RGフローがIR固定点に向かう方向）ではCMIが減少しなければならないことを意味し、次の帰結を持つ：

帰結 (非摂動的安定性判定基準 [1]). UV固定点のCMIが小さい場合、RGフローの先にあるIR固定点のCMIはそれ以下でなければならない。したがって、CMIがより大きいIR固定点への不安定化は禁止される。

7. CMI の凸性不等式と混合状態への応用

7.1 凸混合に対するCMI上界

[1] の第二の主要結果は、凸混合状態

に対するCMIの上界を与える。ここで $\{p_\alpha\}$ は確率分布、$\rho^{(\alpha)}$ は個別の状態である。

命題 7.1 (CMIの凸性). von Neumann entropyの凹性 $S\!\left(\sum_\alpha p_\alpha \rho^{(\alpha)}\right) \geq \sum_\alpha p_\alpha S(\rho^{(\alpha)})$ を用いて、CMI (2.4) の各項に凹性を適用することで、凸混合状態のCMIと個別成分のCMIの関係が得られる。

しかし、CMI $I(A:C|B) = S(AB) + S(BC) - S(B) - S(ABC)$ には正と負の符号が混在するため、凹性の直接適用では一方向の不等式のみが得られ、完全な評価には追加の議論が必要である。具体的に：

$S(AB)$ の凹性から $S(\rho_{AB}) \geq \sum_\alpha p_\alpha S(\rho^{(\alpha)}_{AB})$ が、$S(BC)$ の凹性から $S(\rho_{BC}) \geq \sum_\alpha p_\alpha S(\rho^{(\alpha)}_{BC})$ が従う。一方、$-S(B)$ と $-S(ABC)$ は凸関数の符号反転であり、$-S(\rho_B) \leq -\sum_\alpha p_\alpha S(\rho^{(\alpha)}_B)$ を与える。

これらを直接組み合わせると、

とはならない。実際にはCMIは凸でも凹でもない。

[1] はより精密な不等式を導出する。その鍵となるのは、凸混合の操作をquantum channelとして定式化し、SSAやDPIを適用することである。具体的には、古典的レジスタ $\alpha$ を導入して

を考える。この拡大状態に対するCMI等のエントロピー量を計算し、$\alpha$ を部分トレースした状態 $\rho = \mathrm{Tr}_\alpha \sigma = \sum_\alpha p_\alpha \rho^{(\alpha)}$ のCMIとの関係をSSAを通じて導くことで、有用な上界が得られる。

7.2 自発的対称性の破れの安定性への応用

凸混合のCMI上界は、自発的対称性の破れ（SSB）状態

（$G$ は対称性群、$\rho_0$ は一つの対称性の破れた状態、$U_g$ は群の表現）の安定性を解析するために[1]で用いられる。対称性を明示的に破る量子チャネル $\mathcal{E}$（例えばdecoherence channel）を小さなパラメータ $\epsilon$ で加えたとき、

という凸混合として摂動を記述でき、CMIの凸性不等式から摂動状態のCMIを制御することで、SSB相の摂動安定性に関する情報理論的制約が得られる。

8. Physical Implications

上述の枠組みは、[1] の二つの主要結果を支える数学的基盤を提供している：

1. CMIスケーリング関数のRG単調性（§6.3）：SSAに由来するCMIの部分トレース単調性が、real-space RGのもとでCMIが減少するしかないという制約を与え、固定点の非摂動的安定性判定基準をもたらす。

2. 凸混合CMI不等式（§7）：SSB状態に対する対称性破壊チャネルの摂動安定性を、CMIを通じて情報理論的に制約する。

より広く、Markov長の枠組みは decoherence-driven phase transitions [2, 3, 4]、strong-to-weak SSBの分類 [4, 18]、量子誤り訂正の閾値判定 [19]、テンソルネットワーク状態の構造理解 [20] など、非平衡混合状態の物理の多くの文脈で中心的な役割を果たしている。近似回復可能性の定量的定理（Fawzi–Renner, §5.2）は、CMIという単一の量が相の境界・回復可能性・情報伝達の限界を統一的に支配することを保証する基盤理論であり、[1]を含む近年の一連の研究の共通基盤を成している。

References

[1] Y.-H. Chen and T. Grover, “Constraints on stability and renormalization group flows in nonequilibrium matter,” arXiv:2602.04961 (2026).

[2] S. Sang and T. H. Hsieh, “Stability of mixed-state quantum phases via finite Markov length,” Phys. Rev. Lett. 134, 070403 (2025); arXiv:2404.07251.

[3] L. A. Lessa, R. Ma, J.-H. Zhang, Z. Bi, M. Cheng, and C. Wang, “Strong-to-weak spontaneous symmetry breaking in mixed quantum states,” PRX Quantum 6, 010344 (2025).

[4] Y.-H. Chen and T. Grover, “Separability transitions in topological states induced by local decoherence,” Phys. Rev. Lett. 132, 170602 (2024).

[5] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, 2000).

[6] E. H. Lieb and M. B. Ruskai, “Proof of the strong subadditivity of quantum-mechanical entropy,” J. Math. Phys. 14, 1938 (1973).

[7] G. Lindblad, “Completely positive maps and entropy inequalities,” Commun. Math. Phys. 40, 147 (1975).

[8] A. Uhlmann, “Relative entropy and the Wigner–Yanase–Dyson–Lieb concavity in an interpolation theory,” Commun. Math. Phys. 54, 21 (1977).

[9] P. Hayden, R. Jozsa, D. Petz, and A. Winter, “Structure of states which satisfy strong subadditivity of quantum entropy with equality,” Commun. Math. Phys. 246, 359 (2004).

[10] D. Petz, “Sufficiency of channels over von Neumann algebras,” Q. J. Math. 39, 97 (1988).

[11] D. Petz, “Sufficient subalgebras and the relative entropy of states of a von Neumann algebra,” Commun. Math. Phys. 105, 123 (1986).

[12] O. Fawzi and R. Renner, “Quantum conditional mutual information and approximate Markov chains,” Commun. Math. Phys. 340, 575 (2015).

[13] M. Junge, R. Renner, D. Sutter, M. M. Wilde, and A. Winter, “Universal recovery maps and approximate sufficiency of quantum channels,” Ann. Henri Poincaré 19, 2955 (2018).

[14] D. Sutter, O. Fawzi, and R. Renner, “Universal recovery map for approximate Markov chains,” Proc. R. Soc. A 472, 20150623 (2016).

[15] M. M. Wilde, “Monotonicity of quantum relative entropy and recoverability,” Quantum Inf. Comput. 15, 1333 (2015); see also M. M. Wilde, A. Winter, and D. Yang, “Strong converse for the classical capacity of entanglement-breaking and Hadamard channels via a sandwiched Rényi relative entropy,” Commun. Math. Phys. 331, 593 (2014).

[16] M. M. Wilde, “Recoverability in quantum information theory,” Proc. R. Soc. A 471, 20150338 (2015).

[17] B. Ibinson, N. Linden, and A. Winter, “Robustness of quantum Markov chains,” Commun. Math. Phys. 277, 289 (2008).

[18] Y. Zhang and S. Gopalakrishnan, “Nonlocal growth of quantum conditional mutual information under decoherence,” arXiv:2402.03439 (2024).

[19] S. Sang, Y. Zou, and T. H. Hsieh, “Spacetime Markov length: a diagnostic for fault tolerance via mixed-state phases,” arXiv:2412.00193 (2024).

[20] F. Verstraete, M. M. Wolf, and J. I. Cirac, “Quantum computation and quantum-state engineering driven by dissipation,” Nat. Phys. 5, 633 (2009).