導入：なぜ「断面積」を測るのか？

AdS/CFT対応において、量子情報の幾何学化は目覚ましい成功を収めてきた。その金字塔と言えるのが、エンタングルメント・エントロピー（EE）をバルク（重力理論側）の極小曲面の面積と結びつけた Ryu-Takayanagi (RT) 公式である。

S_A = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4G_N}

ここで、 $S_A$ は境界の場の理論（CFT）における部分系 $A$ のフォン・ノイマン・エントロピー、 $\gamma_A$ はバルク内で $A$ と同じ境界を持つ極小曲面（RT面）である。

しかし、RT公式には限界がある。それは、 $S_A$ があくまで「量子もつれ（Entanglement）」と「古典的な混合」を区別せずに測ってしまう点だ。特に、部分系 $A$ と $B$ が全体として純粋状態にない場合、相互情報量 $I(A:B) = S_A + S_B - S_{AB}$ だけでは、相関の量子的な性質（エンタングルメント）と古典的な性質を完全には分離できない。

そこで近年導入されたのが、Entanglement Wedge Cross Section (EWCS) である。

Entanglement Wedge と Phase Transition

EWCSを定義するために、まず Entanglement Wedge (EW) の概念を整理する。

境界上の2つの離れた領域 $A$ と $B$ を考える。この和集合 $A \cup B$ のエンタングルメント・エントロピー $S_{A \cup B}$ を計算する際、RT面には2つのトポロジーの可能性がある。

Disconnected Phase: $S_{A \cup B} = S_A + S_B$ となり、 $A$ のRT面と $B$ のRT面が分離している状態。相互情報量は $I(A:B) \approx 0$ 。
Connected Phase: $S_{A \cup B} < S_A + S_B$ となり、 $A$ と $B$ を繋ぐようなRT面が形成される状態。

図1: Connected Phaseにおける Entanglement Wedge（薄青色）と EWCS（赤破線）

Entanglement Wedge $M_{AB}$ とは、境界領域 $A \cup B$ とそのRT面 $\gamma_{AB}$ に囲まれたバルク領域のことである（図の薄青色の領域）。

EWCS の定義

Entanglement Wedge Cross Section (EWCS), 記号 $E_W(A:B)$ は、この Entanglement Wedge $M_{AB}$ を $A$ 側と $B$ 側に分割するような曲面の中で、最小の面積を持つものとして定義される。

E_W(A:B) = \min_{\Sigma} \left\{ \frac{\text{Area}(\Sigma)}{4G_N} \bigg| \Sigma \subset M_{AB}, \ \partial \Sigma \subset \gamma_{AB} \right\}

この量は、直感的には**「 $A$ と $B$ の間の相関を支えているバルクの喉（throat）の太さ」**を表している。

Reflected Entropy との関係

EWCSは何の双対なのか？最も有力な提案の一つが Reflected Entropy ( $S_R$ ) である。混合状態 $\rho_{AB}$ に対して、正準的な純粋化を行い、そのエンタングルメント・エントロピーを測ったものが Reflected Entropy である。

S_R(A:B) = 2 E_W(A:B)

Markov Gap とトポロジカル相転移

arXiv:2602.01545 の理解において決定的なのが、Markov Gap という概念である。

h(A:B) \equiv S_R(A:B) - I(A:B) \approx 2E_W(A:B) - I(A:B)

この量は、状態がどれだけ「マルコフ連鎖的か」を表す指標となる。トポロジカル秩序や強いエンタングルメントが存在する場合、この Gap は大きな値を持つ。

まとめ

最新論文を読み解く鍵は、単にエンタングルメント・エントロピーを見るだけでなく、「混合状態の相関構造」を EWCS という幾何学的レンズを通して見ることにある。

Ryu-Takayanagi 公式: 純粋状態の EE ↔ 極小曲面の面積
EWCS ( $E_W$ ): 混合状態の相関の複雑さ ↔ Entanglement Wedge の最小断面積
Markov Gap: $2E_W - I(A:B)$ 。相関の「非マルコフ性」を測る

参考文献

T. Takayanagi and K. Umemoto, “Entanglement of Purification through Holographic Duality,” Nature Phys. 14, 573 (2018). [arXiv:1708.09393]
S. Dutta and T. Faulkner, “A Canonical Purification for the Entanglement Wedge Cross-Section,” JHEP 2103, 178 (2021). [arXiv:1905.00577]