1. 導入
KdV 方程式は、浅い水域を進む長い水面波のモデルとして現れる。静止時の水面からの変位を上向き正に測り、無次元化したものを η ( x , t ) \eta(x,t) η ( x , t )
η t + 6 η η x + η x x x = 0 (1) \eta_t+6\eta\eta_x+\eta_{xxx}=0
\tag{1} η t + 6 η η x + η xxx = 0 ( 1 ) と書ける。η = 0 \eta=0 η = 0 η > 0 \eta>0 η > 0 1
KdV方程式はソリトンという興味深い解をもつことが知られている。 この解は孤立した波束であり、形が崩れることなく一定の速度で運動するようなものである。 さらに、速度の異なるソリトンを重ね合わせた 2
2つのソリトンの衝突数値シミュレーション
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高い波が低い波に追いつく。衝突中の形と、離れた後の2つの波を、再生または時刻スライダーで比べてみよう。 破線は初期波形。 初期条件・計算方法 本文のKdV方程式 η t + 6 η η x + η x x x = 0 \eta_t+6\eta\eta_x+\eta_{xxx}=0 η t + 6 η η x + η xxx = 0 η \eta η
周期区間 − 50 ≤ x < 50 -50\le x<50 − 50 ≤ x < 50 Δ t = 0.0025 \Delta t=0.0025 Δ t = 0.0025 0 ≤ t ≤ 8 0\le t\le8 0 ≤ t ≤ 8
実線は各時刻の数値解で、表示フレームの間隔は 0.05 0.05 0.05
計算後に、保存量の相対変化をここに表示する。
分割法の参考：Holden, Karlsen & Risebro (1999) 。
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さらに不思議なことに、初期状態をソリトンの重ね合わせにしなくとも、時間発展させれば勝手にソリトンに分かれてしまうという現象が広く見られる。 つまり、ソリトンというのはKdV方程式の解の中でありふれた構造であり、その裏に何かありそうである。
幅の広い波の分裂数値シミュレーション
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初めはなだらかな1つの波でも、時間を進めると高さと速さの異なる波に分かれていく。 破線は初期波形。 初期条件・計算方法 本文のKdV方程式 η t + 6 η η x + η x x x = 0 \eta_t+6\eta\eta_x+\eta_{xxx}=0 η t + 6 η η x + η xxx = 0 η \eta η
周期区間 − 50 ≤ x < 50 -50\le x<50 − 50 ≤ x < 50 Δ t = 0.0025 \Delta t=0.0025 Δ t = 0.0025 0 ≤ t ≤ 8 0\le t\le8 0 ≤ t ≤ 8
実線は各時刻の数値解で、表示フレームの間隔は 0.05 0.05 0.05
計算後に、保存量の相対変化をここに表示する。
分割法の参考：Holden, Karlsen & Risebro (1999) 。
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またKdV方程式は他の多くの非線形偏微分方程式と違って、初期値問題を厳密に解く方法が存在するという著しい特徴をもっている。 この解法は逆散乱法と呼ばれていて、その鍵は非線形な方程式の裏に隠れた線形な問題を見抜くことにある。 KdV方程式の場合、裏に隠れているのは量子力学でもお馴染みのSchrödinger方程式である。 水面波の問題を考えていたのに量子力学が現れてくる、というのはなんだか素敵ではないだろうか。
この記事の目標の1つ目は、KdV方程式が好き勝手に非線形項を加えた汚い方程式ではなく、隠れた構造を備えた方程式であると説明することである。 もっともこの記事で扱う内容は表層であり、より深い数理については[1]など専門的な文献を参照してほしい。
2つ目の目標は、逆散乱法を用いてKdV方程式のソリトン解を具体的に求めることである。
さらに、逆散乱法で得た変換核を擬微分作用素で表し、自由波の微分との関係から KdV 階層の発展則と無限個の保存量を導く。散乱の逆問題を解くための変換が、時間発展を構成する仕組みにもなることを見る。
2. ソリトンと等スペクトル変形
2.1. 1ソリトン解と2ソリトン解
一つの波が形を保って進むとき、その波形はどのように決まるのだろうか。まず、形を保って速度 v > 0 v>0 v > 0 η ( x , t ) = η ( x − v t , 0 ) \eta(x,t)=\eta(x-vt,0) η ( x , t ) = η ( x − v t , 0 ) η ( x , 0 ) \eta(x,0) η ( x , 0 ) x x x
η ′ ′ ′ = v η ′ − 6 η η ′ . (2) \eta'''=v\eta'-6\eta\eta'.
\tag{2} η ′′′ = v η ′ − 6 η η ′ . ( 2 ) η , η ′ , η ′ ′ \eta,\eta',\eta'' η , η ′ , η ′′
η ′ ′ = v η − 3 η 2 . (3) \eta''=v\eta-3\eta^2.
\tag{3} η ′′ = v η − 3 η 2 . ( 3 ) さらに 2 η ′ 2\eta' 2 η ′
d d x ( η ′ ) 2 = d d x ( v η 2 − 2 η 3 ) . (4) \frac{d}{dx}(\eta')^2=\frac{d}{dx}(v\eta^2-2\eta^3).
\tag{4} d x d ( η ′ ) 2 = d x d ( v η 2 − 2 η 3 ) . ( 4 ) もう一度無限遠の境界条件を使って積分すれば
( η ′ ) 2 = v η 2 − 2 η 3 . (5) (\eta')^2=v\eta^2-2\eta^3.
\tag{5} ( η ′ ) 2 = v η 2 − 2 η 3 . ( 5 ) この方程式には次の局在した波形がある。
η ( x , 0 ) = v 2 sech 2 ( v 2 x ) . (6) \eta(x,0)=\frac v2\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{\sqrt v}{2}x\right).
\tag{6} η ( x , 0 ) = 2 v sech 2 ( 2 v x ) . ( 6 ) ここで sech x = 1 / cosh x \operatorname{sech}x=1/\cosh x sech x = 1/ cosh x 3 t t t x x x x − v t x-vt x − v t v / 2 v/2 v /2 2 / v 2/\sqrt v 2/ v
解析式を直接プロットした。v v v t t t
二つのソリトンが衝突する解も書ける。速度 v 1 > v 2 > 0 v_1>v_2>0 v 1 > v 2 > 0 x 1 , x 2 x_1,x_2 x 1 , x 2 θ j = v j 2 ( x − v j t − x j ) \theta_j=\frac{\sqrt{v_j}}{2}(x-v_jt-x_j) θ j = 2 v j ( x − v j t − x j ) j = 1 , 2 j=1,2 j = 1 , 2
η ( x , t ) = 2 ∂ x 2 log [ 1 + e 2 θ 1 + e 2 θ 2 + ( v 1 − v 2 v 1 + v 2 ) 2 e 2 ( θ 1 + θ 2 ) ] . (7) \eta(x,t)=2\partial_x^2\log\Bigl[1+e^{2\theta_1}+e^{2\theta_2}
+\left(\frac{\sqrt{v_1}-\sqrt{v_2}}{\sqrt{v_1}+\sqrt{v_2}}\right)^2e^{2(\theta_1+\theta_2)}\Bigr].
\tag{7} η ( x , t ) = 2 ∂ x 2 log [ 1 + e 2 θ 1 + e 2 θ 2 + ( v 1 + v 2 v 1 − v 2 ) 2 e 2 ( θ 1 + θ 2 ) ] . ( 7 ) この式を KdV 方程式に代入すれば、確かに解だと確認できる。けれども、式を眺めても、なぜ非線形な相互作用を経て二つの波の形と速さが保たれるのかは、まだわからない。個々の解を書き下すことから、それらに共通する構造へ目を向けよう。波形が変化する間、何が保たれているのだろうか。
2.2. Lax表示
Lax 表示では、KdV 方程式を Schrödinger 演算子を含む二つの微分演算子の関係として表す。以下ではその具体形を与え、KdV 方程式との同値性と、時間発展で固有値が保たれることを確かめる。
量子力学では、周囲より低いポテンシャルが粒子の閉じ込めを生む。山状の波 η > 0 \eta>0 η > 0
u ( x , t ) = − η ( x , t ) u(x,t)=-\eta(x,t) u ( x , t ) = − η ( x , t ) に切り替え、以後はポテンシャル u u u
u t = 6 u u x − u x x x (8) u_t=6uu_x-u_{xxx}
\tag{8} u t = 6 u u x − u xxx ( 8 ) となる。この u u u
L ( t ) = − ∂ 2 + u , B ( t ) = − 4 ∂ 3 + 6 u ∂ + 3 u x (9) \begin{aligned}
L(t) = -\partial^2 + u,\quad
B(t) = -4\partial^3 + 6u\partial + 3u_x
\end{aligned}\tag{9} L ( t ) = − ∂ 2 + u , B ( t ) = − 4 ∂ 3 + 6 u ∂ + 3 u x ( 9 ) 表記について注意をすると、∂ \partial ∂ x x x u u u u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t ) u x u_x u x
L ( t ) , B ( t ) L(t),B(t) L ( t ) , B ( t ) L ( t ) L(t) L ( t ) L ( t ) , B ( t ) L(t), B(t) L ( t ) , B ( t )
d L d t = [ B ( t ) , L ( t ) ] (10) \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} = [B(t), L(t)]
\end{aligned}\tag{10} d t d L = [ B ( t ) , L ( t )] ( 10 ) と書き換えられる。これをLax方程式と呼ぶ。また与えられた方程式を(10)のように表すことをLax表示という。 Lax表示はKdV方程式に特有のものではなく、多くの可積分系に対するLax表示が知られている。
KdV方程式とLax方程式(10)が同値であることを証明しよう。 (10)の左辺は
d L d t = u t \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} = u_t
\end{aligned} d t d L = u t となる。つぎに右辺を計算すると、
[ B ( t ) , L ( t ) ] = [ − 4 ∂ 3 + 6 u ∂ + 3 u x , − ∂ 2 + u ] \begin{aligned}
[B(t), L(t)]
&
= [-4\partial^3 + 6u\partial + 3u_x, -\partial^2 + u]
\end{aligned} [ B ( t ) , L ( t )] = [ − 4 ∂ 3 + 6 u ∂ + 3 u x , − ∂ 2 + u ] = − 4 ( u x x x + 3 u x x ∂ + 3 u x ∂ 2 ) + 6 u u x \begin{aligned}
&
= -4(u_{xxx} + \cancel{3u_{xx}\partial} + \bcancel{3u_x\partial^2})+ 6uu_x
\end{aligned} = − 4 ( u xxx + 3 u xx ∂ + 3 u x ∂ 2 ) + 6 u u x + 6 ( u x x ∂ + 2 u x ∂ 2 ) \begin{aligned}
&\quad
+ 6(\cancel{u_{xx}\partial} +\bcancel{ 2u_x\partial^2})
\end{aligned} + 6 ( u xx ∂ + 2 u x ∂ 2 ) + 3 ( u x x x + 2 u x x ∂ ) \begin{aligned}
&\quad
+ 3(u_{xxx} + \cancel{2u_{xx}\partial})
\end{aligned} + 3 ( u xxx + 2 u xx ∂ ) = 6 u u x − u x x x \begin{aligned}
&
= 6uu_x - u_{xxx}
\end{aligned} = 6 u u x − u xxx となる。両辺を等号で結ぶことでKdV方程式を得る。Lax方程式は演算子の等式であったが、両辺が微分演算子∂ \partial ∂ u u u
Lax方程式(10)では、B ( t ) B(t) B ( t ) L ( t ) L(t) L ( t ) B ( t ) B(t) B ( t ) L ( 0 ) L(0) L ( 0 )
L ( 0 ) ψ ( x , 0 ) = λ ψ ( x , 0 ) (11) \begin{aligned}
L(0)\psi(x, 0) = \lambda \psi(x, 0)
\end{aligned}\tag{11} L ( 0 ) ψ ( x , 0 ) = λ ψ ( x , 0 ) ( 11 ) と書く。ψ ( x , 0 ) \psi(x, 0) ψ ( x , 0 ) L ( 0 ) L(0) L ( 0 ) λ \lambda λ ψ ( x , t ) \psi(x, t) ψ ( x , t )
ψ ( x , t ) = U ( t ) ψ ( x , 0 ) , d U ( t ) d t = B ( t ) U ( t ) , U ( 0 ) = I (12) \begin{aligned}
\psi(x, t) = U(t)\psi(x, 0),\quad
\frac{\mathrm{d} U(t)}{\mathrm{d} t} = B(t)U(t),\quad
U(0) = I
\end{aligned}\tag{12} ψ ( x , t ) = U ( t ) ψ ( x , 0 ) , d t d U ( t ) = B ( t ) U ( t ) , U ( 0 ) = I ( 12 ) を課す。I I I ψ ( x , t ) \psi(x,t) ψ ( x , t ) L ( t ) L(t) L ( t )
(11)の両辺に左からU ( t ) U(t) U ( t )
U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 ψ ( x , t ) = λ ψ ( x , t ) . (13) \begin{aligned}
U(t)L(0)U(t)^{-1}\psi(x,t) = \lambda \psi(x,t).
\end{aligned}\tag{13} U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 ψ ( x , t ) = λ ψ ( x , t ) . ( 13 ) となる。ここで、U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 U(t)L(0)U(t)^{-1} U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 U ( t ) U ( t ) − 1 = I U(t)U(t)^{-1} = I U ( t ) U ( t ) − 1 = I
d d t U ( t ) − 1 = − U ( t ) − 1 B ( t ) (14) \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}U(t)^{-1} = - U(t)^{-1}B(t)
\end{aligned}\tag{14} d t d U ( t ) − 1 = − U ( t ) − 1 B ( t ) ( 14 ) が分かるので、
d d t ( U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 ) = [ B ( t ) , U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 ] (15) \begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(U(t)L(0)U(t)^{-1}\right) = [B(t), U(t)L(0)U(t)^{-1}]
\end{aligned}\tag{15} d t d ( U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 ) = [ B ( t ) , U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 ] ( 15 ) となる。これはLax方程式なので、初期条件U ( 0 ) L ( 0 ) U ( 0 ) − 1 = L ( 0 ) U(0)L(0)U(0)^{-1} = L(0) U ( 0 ) L ( 0 ) U ( 0 ) − 1 = L ( 0 )
U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 = L ( t ) (16) \begin{aligned}
U(t)L(0)U(t)^{-1} = L(t)
\end{aligned}\tag{16} U ( t ) L ( 0 ) U ( t ) − 1 = L ( t ) ( 16 ) となる。この両辺をψ ( x , t ) \psi(x,t) ψ ( x , t )
L ( t ) ψ ( x , t ) = λ ψ ( x , t ) (17) \begin{aligned}
L(t)\psi(x, t) = \lambda \psi(x, t)
\end{aligned}\tag{17} L ( t ) ψ ( x , t ) = λ ψ ( x , t ) ( 17 ) となる。 すなわち、B ( t ) B(t) B ( t ) ψ ( x , t ) \psi(x, t) ψ ( x , t ) L ( t ) L(t) L ( t ) ψ ( x , t ) \psi(x,t) ψ ( x , t ) L ( t ) L(t) L ( t ) λ \lambda λ 4
固有値保存に加えて、U ( t ) U(t) U ( t ) d U / d t = B ( t ) U ( t ) \mathrm{d}U/\mathrm{d}t=B(t)U(t) d U / d t = B ( t ) U ( t ) B B B B † = − B B^\dagger=-B B † = − B
ここでは実数値の u u u ∂ † = − ∂ \partial^\dagger=-\partial ∂ † = − ∂ u u u
反エルミート性は、u ∂ u\partial u ∂ ∂ u \partial u ∂ u ∂ u = u ∂ + u x \partial u=u\partial+u_x ∂ u = u ∂ + u x B B B
B = − 4 ∂ 3 + 3 ( u ∂ + ∂ u ) , B † = 4 ∂ 3 − 3 ( ∂ u + u ∂ ) = − B . \begin{aligned}
B&=-4\partial^3+3(u\partial+\partial u),\\
B^\dagger&=4\partial^3-3(\partial u+u\partial)=-B.
\end{aligned} B B † = − 4 ∂ 3 + 3 ( u ∂ + ∂ u ) , = 4 ∂ 3 − 3 ( ∂ u + u ∂ ) = − B . 2.3. 逆散乱法の概観
Lax方程式がL ( t ) = − ∂ 2 + u L(t) = -\partial^2 + u L ( t ) = − ∂ 2 + u
逆散乱法では、まず散乱データと呼ばれる量を求める。これはポテンシャルu ( x , t ) u(x, t) u ( x , t ) t = 0 t = 0 t = 0 t t t
散乱データからポテンシャルu ( x , t ) u(x, t) u ( x , t ) u ( x , t ) u(x, t) u ( x , t )
2.4. 散乱データとその時間発展
以下では u u u − κ n 2 -\kappa_n^2 − κ n 2 e ± κ n x e^{\pm\kappa_nx} e ± κ n x e κ n x e^{\kappa_nx} e κ n x
Schrödinger 方程式 ( − ∂ x 2 + u ( x , t ) ) ψ ( x , t ) = λ ψ ( x , t ) (-\partial_x^2+u(x,t))\psi(x,t)=\lambda\psi(x,t) ( − ∂ x 2 + u ( x , t )) ψ ( x , t ) = λ ψ ( x , t ) λ = − κ n 2 \lambda=-\kappa_n^2 λ = − κ n 2 n = 1 , … , N n=1,\ldots,N n = 1 , … , N L 2 ( R ) L^2(\mathbb R) L 2 ( R )
ψ n ( x , t ) ∼ c n ( t ) e κ n x ( x → − ∞ ) , c n ( t ) > 0. (18) \psi_n(x,t)\sim c_n(t)e^{\kappa_nx}\quad(x\to-\infty),\qquad c_n(t)>0.
\tag{18} ψ n ( x , t ) ∼ c n ( t ) e κ n x ( x → − ∞ ) , c n ( t ) > 0. ( 18 ) この左端振幅 c n ( t ) c_n(t) c n ( t )
全体のノルムを1にそろえた束縛状態の、左端の尾に付く係数が c n ( t ) c_n(t) c n ( t )
散乱状態では λ = k 2 \lambda=k^2 λ = k 2
ψ ( x , t ) ∼ { e i k x + b ( k , t ) e − i k x , x → − ∞ , a ( k , t ) e i k x , x → + ∞ (19) \psi(x,t)\sim
\begin{cases}
e^{ikx}+b(k,t)e^{-ikx},&x\to-\infty,\\
a(k,t)e^{ikx},&x\to+\infty
\end{cases}
\tag{19} ψ ( x , t ) ∼ { e ik x + b ( k , t ) e − ik x , a ( k , t ) e ik x , x → − ∞ , x → + ∞ ( 19 ) とする。a a a b b b κ n , c n ( t ) , a ( k , t ) , b ( k , t ) \kappa_n,c_n(t),a(k,t),b(k,t) κ n , c n ( t ) , a ( k , t ) , b ( k , t )
透過波の係数が a a a b b b
遠方では B ( t ) = − 4 ∂ x 3 + 6 u ∂ x + 3 u x B(t)=-4\partial_x^3+6u\partial_x+3u_x B ( t ) = − 4 ∂ x 3 + 6 u ∂ x + 3 u x − 4 ∂ x 3 -4\partial_x^3 − 4 ∂ x 3 e κ n x e^{\kappa_nx} e κ n x − 4 κ n 3 -4\kappa_n^3 − 4 κ n 3
c n ( t ) = e − 4 κ n 3 t c n ( 0 ) . (20) c_n(t)=e^{-4\kappa_n^3t}c_n(0).
\tag{20} c n ( t ) = e − 4 κ n 3 t c n ( 0 ) . ( 20 ) 散乱波では e i k x e^{ikx} e ik x e 4 i k 3 t e^{4ik^3t} e 4 i k 3 t e − i k x e^{-ikx} e − ik x e − 4 i k 3 t e^{-4ik^3t} e − 4 i k 3 t
e 4 i k 3 t e i k x + b ( k , 0 ) e − 4 i k 3 t e − i k x , e^{4ik^3t}e^{ikx}+b(k,0)e^{-4ik^3t}e^{-ikx}, e 4 i k 3 t e ik x + b ( k , 0 ) e − 4 i k 3 t e − ik x , 右端で a ( k , 0 ) e 4 i k 3 t e i k x a(k,0)e^{4ik^3t}e^{ikx} a ( k , 0 ) e 4 i k 3 t e ik x e 4 i k 3 t e^{4ik^3t} e 4 i k 3 t
a ( k , t ) = a ( k , 0 ) , b ( k , t ) = e − 8 i k 3 t b ( k , 0 ) . (21) a(k,t)=a(k,0),\qquad b(k,t)=e^{-8ik^3t}b(k,0).
\tag{21} a ( k , t ) = a ( k , 0 ) , b ( k , t ) = e − 8 i k 3 t b ( k , 0 ) . ( 21 ) よって固有値と透過係数は一定であり、左端振幅と左反射係数は (20)、(21) に従って変化する。
2.5. 束縛状態とソリトンの運動
散乱データの時間発展が求まったので、逆散乱問題を解けば u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t )
初期状態の左端と右端の尾の係数を、それぞれ c n ( 0 ) c_n(0) c n ( 0 ) c ~ n ( 0 ) \tilde c_n(0) c ~ n ( 0 )
ψ n ( x , t ) ∼ { c n ( 0 ) e κ n ( x − 4 κ n 2 t ) , x → − ∞ , c ~ n ( 0 ) e − κ n ( x − 4 κ n 2 t ) , x → + ∞ (22) \psi_n(x,t)\sim
\begin{cases}
c_n(0)e^{\kappa_n(x-4\kappa_n^2t)},&x\to-\infty,\\[2pt]
\tilde c_n(0)e^{-\kappa_n(x-4\kappa_n^2t)},&x\to+\infty
\end{cases}
\tag{22} ψ n ( x , t ) ∼ { c n ( 0 ) e κ n ( x − 4 κ n 2 t ) , c ~ n ( 0 ) e − κ n ( x − 4 κ n 2 t ) , x → − ∞ , x → + ∞ ( 22 ) となる。左右の尾は、どちらも速度 4 κ n 2 4\kappa_n^2 4 κ n 2 1 1 1
複数の束縛状態がある場合、それぞれの速度 4 κ n 2 4\kappa_n^2 4 κ n 2 ψ n ( x , t ) \psi_n(x,t) ψ n ( x , t ) u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t ) u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t ) u u u
下図では、初めに中心をそろえた三つの束縛状態と、それらに共通するポテンシャルの時間発展を計算した。再生すると、束縛状態が異なる場所へ移動し、それに伴ってポテンシャルが三つの谷に分かれていく様子を確かめられる。
実線はポテンシャル u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t ) ψ n ( x , t ) \psi_n(x,t) ψ n ( x , t ) λ 1 = − 1 , λ 2 = − 4 , λ 3 = − 9 \lambda_1=-1,\;\lambda_2=-4,\;\lambda_3=-9 λ 1 = − 1 , λ 2 = − 4 , λ 3 = − 9 計算方法と表示範囲 初期ポテンシャルは u ( x , 0 ) = − 12 sech 2 x u(x,0)=-12\operatorname{sech}^2x u ( x , 0 ) = − 12 sech 2 x κ 1 = 1 , κ 2 = 2 , κ 3 = 3 \kappa_1=1,\;\kappa_2=2,\;\kappa_3=3 κ 1 = 1 , κ 2 = 2 , κ 3 = 3 ( c 1 ( 0 ) 2 , c 2 ( 0 ) 2 , c 3 ( 0 ) 2 ) = ( 12 , 60 , 60 ) (c_1(0)^2,c_2(0)^2,c_3(0)^2)=(12,60,60) ( c 1 ( 0 ) 2 , c 2 ( 0 ) 2 , c 3 ( 0 ) 2 ) = ( 12 , 60 , 60 ) x = 0 x=0 x = 0 0 ≤ t ≤ 0.45 0\le t\le0.45 0 ≤ t ≤ 0.45
N N N b ( k , t ) = 0 b(k,t)=0 b ( k , t ) = 0
3. 散乱の逆問題
3.1. Jost解と変換核
時間を固定し、滑らかで、すべての導関数が無限遠で任意のべきより速く減衰する実ポテンシャル u u u
L f = k 2 f , L = − ∂ x 2 + u ( x ) (23) Lf=k^2f,\qquad L=-\partial_x^2+u(x)
\tag{23} L f = k 2 f , L = − ∂ x 2 + u ( x ) ( 23 ) を考える。まず固定した u u u e i k x e^{ikx} e ik x f − ( x , k ) f_-(x,k) f − ( x , k ) u u u f ± ( x , k ) ∼ e i k x f_\pm(x,k)\sim e^{ikx} f ± ( x , k ) ∼ e ik x x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞
f − f_- f − f + f_+ f + e i k x e^{ikx} e ik x
3.1.1. 相互作用描像
Schrödinger 方程式を f x x + k 2 f = u f f_{xx}+k^2f=uf f xx + k 2 f = u f x x x
まず値と傾きを並べた状態を f = ( f , f x ) T \boldsymbol f=(f,f_x)^{\mathsf T} f = ( f , f x ) T f x x = − k 2 f f_{xx}=-k^2f f xx = − k 2 f x x x ( f x , − k 2 f ) T (f_x,-k^2f)^{\mathsf T} ( f x , − k 2 f ) T D 0 D_0 D 0
D 0 = ( 0 1 − k 2 0 ) , d f d x = D 0 f ( u = 0 ) . D_0=\begin{pmatrix}0&1\\-k^2&0\end{pmatrix},\qquad
\frac{d\boldsymbol f}{dx}=D_0\boldsymbol f\quad(u=0). D 0 = ( 0 − k 2 1 0 ) , d x d f = D 0 f ( u = 0 ) . D D D 0 0 0 u = 0 u=0 u = 0 V ( x ) V(x) V ( x )
d f d x = ( D 0 + V ( x ) ) f , V ( x ) = ( 0 0 u ( x ) 0 ) . (24) \frac{d\boldsymbol f}{dx}=(D_0+V(x))\boldsymbol f,
\qquad V(x)=\begin{pmatrix}0&0\\u(x)&0\end{pmatrix}.
\tag{24} d x d f = ( D 0 + V ( x )) f , V ( x ) = ( 0 u ( x ) 0 0 ) . ( 24 ) まず実数 k ≠ 0 k\ne0 k = 0 k = 0 k=0 k = 0 sin ( k d ) / k \sin(kd)/k sin ( k d ) / k d d d d d d e d D 0 e^{dD_0} e d D 0 I I I 2 × 2 2\times2 2 × 2 D 0 2 = − k 2 I D_0^2=-k^2I D 0 2 = − k 2 I
e d D 0 = cos ( k d ) I + sin ( k d ) k D 0 = ( cos ( k d ) sin ( k d ) / k − k sin ( k d ) cos ( k d ) ) , (25) \begin{aligned}
e^{dD_0}&=\cos(kd)I+\frac{\sin(kd)}{k}D_0\\
&=\begin{pmatrix}
\cos(kd)&\sin(kd)/k\\
-k\sin(kd)&\cos(kd)
\end{pmatrix},
\end{aligned}
\tag{25} e d D 0 = cos ( k d ) I + k sin ( k d ) D 0 = ( cos ( k d ) − k sin ( k d ) sin ( k d ) / k cos ( k d ) ) , ( 25 ) となり、f ( x ) = e ( x − x ′ ) D 0 f ( x ′ ) \boldsymbol f(x)=e^{(x-x')D_0}\boldsymbol f(x') f ( x ) = e ( x − x ′ ) D 0 f ( x ′ ) u = 0 u=0 u = 0 e a D 0 e b D 0 = e ( a + b ) D 0 e^{aD_0}e^{bD_0}=e^{(a+b)D_0} e a D 0 e b D 0 = e ( a + b ) D 0 e − d D 0 e^{-dD_0} e − d D 0
有限な始点 x ∗ x_* x ∗ x x x
f I ( x ) = e − ( x − x ∗ ) D 0 f ( x ) \boldsymbol f_I(x)=e^{-(x-x_*)D_0}\boldsymbol f(x) f I ( x ) = e − ( x − x ∗ ) D 0 f ( x ) である。u = 0 u=0 u = 0 e − ( x − x ∗ ) D 0 e^{-(x-x_*)D_0} e − ( x − x ∗ ) D 0
d f I d x = V I ( x ) f I ( x ) , V I ( x ) = e − ( x − x ∗ ) D 0 V ( x ) e ( x − x ∗ ) D 0 \frac{d\boldsymbol f_I}{dx}=V_I(x)\boldsymbol f_I(x),\qquad
V_I(x)=e^{-(x-x_*)D_0}V(x)e^{(x-x_*)D_0} d x d f I = V I ( x ) f I ( x ) , V I ( x ) = e − ( x − x ∗ ) D 0 V ( x ) e ( x − x ∗ ) D 0 だけが残る。V I V_I V I x x x
P \mathcal P P
f I ( x ) = P exp [ ∫ x ∗ x V I ( x ′ ) d x ′ ] f ( x ∗ ) . \boldsymbol f_I(x)=\mathcal P\exp\!\left[\int_{x_*}^xV_I(x')\,dx'\right]\boldsymbol f(x_*). f I ( x ) = P exp [ ∫ x ∗ x V I ( x ′ ) d x ′ ] f ( x ∗ ) . これは量子力学の Dyson 展開と同じ順序付きの積分であり、最初の三項は
f I ( x ) = [ I + ∫ x ∗ x V I ( x ′ ) d x ′ + ∫ x ∗ x d x ′ ∫ x ∗ x ′ d x ′ ′ V I ( x ′ ) V I ( x ′ ′ ) + ⋯ ] f ( x ∗ ) . \boldsymbol f_I(x)=\Bigg[I
+\int_{x_*}^x V_I(x')\,dx'
+\int_{x_*}^x\!dx'\int_{x_*}^{x'}\!dx''\,
V_I(x')V_I(x'')+\cdots\Bigg]\boldsymbol f(x_*). f I ( x ) = [ I + ∫ x ∗ x V I ( x ′ ) d x ′ + ∫ x ∗ x d x ′ ∫ x ∗ x ′ d x ′′ V I ( x ′ ) V I ( x ′′ ) + ⋯ ] f ( x ∗ ) . 二次の項では x ′ ′ ≤ x ′ x''\le x' x ′′ ≤ x ′ x ′ ′ x'' x ′′
3.1.2. Jost解の変換核表示
この順序付き発展を、積分核を取り出せる形に直そう。まず相互作用描像の微分方程式を一度積分し、左から e ( x − x ∗ ) D 0 e^{(x-x_*)D_0} e ( x − x ∗ ) D 0
f ( x ) = e ( x − x ∗ ) D 0 f ( x ∗ ) + ∫ x ∗ x e ( x − x ′ ) D 0 V ( x ′ ) f ( x ′ ) d x ′ . \boldsymbol f(x)=e^{(x-x_*)D_0}\boldsymbol f(x_*)+\int_{x_*}^x e^{(x-x')D_0}V(x')\boldsymbol f(x')\,dx'. f ( x ) = e ( x − x ∗ ) D 0 f ( x ∗ ) + ∫ x ∗ x e ( x − x ′ ) D 0 V ( x ′ ) f ( x ′ ) d x ′ . この積分項は、位置順序付き展開でポテンシャルが一回以上作用する各項を、最後の作用位置 x ′ x' x ′ f ( x ′ ) \boldsymbol f(x') f ( x ′ ) V ( x ′ ) V(x') V ( x ′ ) x x x e ( x − x ′ ) D 0 e^{(x-x')D_0} e ( x − x ′ ) D 0
この一回の作用を行列で計算すると
V ( x ′ ) f ( x ′ ) = ( 0 u ( x ′ ) f ( x ′ ) ) . V(x')\boldsymbol f(x')=
\begin{pmatrix}0\\u(x')f(x')\end{pmatrix}. V ( x ′ ) f ( x ′ ) = ( 0 u ( x ′ ) f ( x ′ ) ) . 第二成分に現れた寄与を自由伝播させると、式 (25) から
e ( x − x ′ ) D 0 V ( x ′ ) f ( x ′ ) = u ( x ′ ) f ( x ′ ) ( sin k ( x − x ′ ) / k cos k ( x − x ′ ) ) . e^{(x-x')D_0}V(x')\boldsymbol f(x')=u(x')f(x')
\begin{pmatrix}\sin k(x-x')/k\\\cos k(x-x')\end{pmatrix}. e ( x − x ′ ) D 0 V ( x ′ ) f ( x ′ ) = u ( x ′ ) f ( x ′ ) ( sin k ( x − x ′ ) / k cos k ( x − x ′ ) ) . 位置 x ′ x' x ′ d x ′ dx' d x ′ f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) \boldsymbol f(x) f ( x )
f ( x ) = f ( x ∗ ) cos k ( x − x ∗ ) + f x ( x ∗ ) sin k ( x − x ∗ ) k + ∫ x ∗ x sin k ( x − x ′ ) k u ( x ′ ) f ( x ′ ) d x ′ . (26) f(x)={}f(x_*)\cos k(x-x_*)
+f_x(x_*)\frac{\sin k(x-x_*)}{k}
+\int_{x_*}^x\frac{\sin k(x-x')}{k}u(x')f(x')\,dx'.
\tag{26} f ( x ) = f ( x ∗ ) cos k ( x − x ∗ ) + f x ( x ∗ ) k sin k ( x − x ∗ ) + ∫ x ∗ x k sin k ( x − x ′ ) u ( x ′ ) f ( x ′ ) d x ′ . ( 26 ) 正弦因子は、各位置でのポテンシャルの作用を、波の値の補正へ変える係数として現れる。
左端で自由波に一致する解 f − f_- f − x ∗ x_* x ∗ ( e i k x ∗ , i k e i k x ∗ ) T (e^{ikx_*},ik e^{ikx_*})^{\mathsf T} ( e ik x ∗ , ik e ik x ∗ ) T x ∗ → − ∞ x_*\to-\infty x ∗ → − ∞ e i k x e^{ikx} e ik x
f − ( x , k ) = e i k x + ∫ − ∞ x sin k ( x − x ′ ) k u ( x ′ ) f − ( x ′ , k ) d x ′ . (27) f_-(x,k)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^x\frac{\sin k(x-x')}{k}u(x')f_-(x',k)\,dx'.
\tag{27} f − ( x , k ) = e ik x + ∫ − ∞ x k sin k ( x − x ′ ) u ( x ′ ) f − ( x ′ , k ) d x ′ . ( 27 ) この積分方程式は、相互作用描像で位置順に積み重ねたすべての作用を含む。u u u e i k y e^{iky} e ik y K ( x , y ) K(x,y) K ( x , y )
f − ( x , k ) = e i k x + ∫ − ∞ x K ( x , y ) e i k y d y (28) f_-(x,k)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^xK(x,y)e^{iky}\,dy
\tag{28} f − ( x , k ) = e ik x + ∫ − ∞ x K ( x , y ) e ik y d y ( 28 ) と表す。先頭の e i k x e^{ikx} e ik x
sin k ( x − x ′ ) k e i k y ′ = 1 2 ∫ y ′ − ( x − x ′ ) y ′ + ( x − x ′ ) e i k y d y (29) \frac{\sin k(x-x')}{k}e^{iky'}=\frac12\int_{y'-(x-x')}^{y'+(x-x')}e^{iky}\,dy
\tag{29} k sin k ( x − x ′ ) e ik y ′ = 2 1 ∫ y ′ − ( x − x ′ ) y ′ + ( x − x ′ ) e ik y d y ( 29 ) である。自由波 e i k x ′ e^{ikx'} e ik x ′ y ′ = x ′ y'=x' y ′ = x ′ y y y y ≤ x y\le x y ≤ x y ≥ 2 x ′ − x y\ge 2x'-x y ≥ 2 x ′ − x x ′ ≤ ( x + y ) / 2 x'\le(x+y)/2 x ′ ≤ ( x + y ) /2 1 2 ∫ − ∞ ( x + y ) / 2 u ( x ′ ) d x ′ \frac12\int_{-\infty}^{(x+y)/2}u(x')\,dx' 2 1 ∫ − ∞ ( x + y ) /2 u ( x ′ ) d x ′
また、y ′ ≤ x ′ y'\le x' y ′ ≤ x ′ y ′ + x − x ′ ≤ x y'+x-x'\le x y ′ + x − x ′ ≤ x y ≤ x y\le x y ≤ x
二回以上の作用を含む寄与は、作用位置 x ′ x' x ′ ∫ − ∞ x ′ K ( x ′ , y ′ ) e i k y ′ d y ′ \int_{-\infty}^{x'}K(x',y')e^{iky'}dy' ∫ − ∞ x ′ K ( x ′ , y ′ ) e ik y ′ d y ′
∫ − ∞ x d x ′ ∫ − ∞ x ′ d y ′ u ( x ′ ) K ( x ′ , y ′ ) sin k ( x − x ′ ) k e i k y ′ . (30) \int_{-\infty}^x\!dx'\int_{-\infty}^{x'}\!dy'\,
u(x')K(x',y')\frac{\sin k(x-x')}{k}e^{iky'}.
\tag{30} ∫ − ∞ x d x ′ ∫ − ∞ x ′ d y ′ u ( x ′ ) K ( x ′ , y ′ ) k sin k ( x − x ′ ) e ik y ′ . ( 30 ) 積分変数は x ′ ≤ x x'\le x x ′ ≤ x y ′ ≤ x ′ y'\le x' y ′ ≤ x ′ ∣ y − y ′ ∣ ≤ x − x ′ |y-y'|\le x-x' ∣ y − y ′ ∣ ≤ x − x ′
Distance from diagonal x − y x-y x − y 1.00 色の付いた領域の内部を積分する。
横軸は作用位置 x ′ x' x ′ K ( x ′ , y ′ ) K(x',y') K ( x ′ , y ′ ) y ′ y' y ′ x ′ ≤ x x'\le x x ′ ≤ x y = x y=x y = x y ′ = x ′ y'=x' y ′ = x ′
恒等式で y y y y y y y y y x ′ , y ′ x',y' x ′ , y ′ K K K
K ( x , y ) = 1 2 ∫ − ∞ ( x + y ) / 2 u ( x ′ ) d x ′ + 1 2 ∬ y ′ ≤ x ′ ≤ x ∣ y − y ′ ∣ ≤ x − x ′ u ( x ′ ) K ( x ′ , y ′ ) d y ′ d x ′ , y ≤ x . (31) K(x,y)=\frac12\int_{-\infty}^{(x+y)/2}u(x')\,dx'
+\frac12\iint_{\substack{y'\le x'\le x\\|y-y'|\le x-x'}}u(x')K(x',y')\,dy'\,dx',\qquad y\le x.
\tag{31} K ( x , y ) = 2 1 ∫ − ∞ ( x + y ) /2 u ( x ′ ) d x ′ + 2 1 ∬ y ′ ≤ x ′ ≤ x ∣ y − y ′ ∣ ≤ x − x ′ u ( x ′ ) K ( x ′ , y ′ ) d y ′ d x ′ , y ≤ x . ( 31 ) 第一項はポテンシャルが自由波に作用して生じる重み、第二項はすでに得た補正の重みに次の作用を加えた寄与をすべて足したものである。各作用は式 (29) によって波数に依らない重みに移るため、K K K
位置順序付き発展に含まれるすべての補正は、この重み K K K
f − ( x , k ) = e i k x + ∫ − ∞ x K ( x , y ) e i k y d y (32) f_-(x,k)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^xK(x,y)e^{iky}\,dy
\tag{32} f − ( x , k ) = e ik x + ∫ − ∞ x K ( x , y ) e ik y d y ( 32 ) 式 (31) の反復代入は、この全補正の重みを作用回数ごとに計算する操作である。Schwartz 条件の下では、重みの和は対角まで連続な関数となる。和の収束と連続性は補足で確かめる。
変換核の級数表示の収束と連続性
この補足では、ポテンシャルが n n n K n K_n K n
K 1 ( x , y ) = 1 2 ∫ − ∞ ( x + y ) / 2 u ( x ′ ) d x ′ K_1(x,y)=\frac12\int_{-\infty}^{(x+y)/2}u(x')\,dx' K 1 ( x , y ) = 2 1 ∫ − ∞ ( x + y ) /2 u ( x ′ ) d x ′ とし、n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1
K n + 1 ( x , y ) = 1 2 ∬ y ′ ≤ x ′ ≤ x ∣ y − y ′ ∣ ≤ x − x ′ u ( x ′ ) K n ( x ′ , y ′ ) d y ′ d x ′ K_{n+1}(x,y)=\frac12\iint_{\substack{y'\le x'\le x\\|y-y'|\le x-x'}}u(x')K_n(x',y')\,dy'\,dx' K n + 1 ( x , y ) = 2 1 ∬ y ′ ≤ x ′ ≤ x ∣ y − y ′ ∣ ≤ x − x ′ u ( x ′ ) K n ( x ′ , y ′ ) d y ′ d x ′ と定める。全補正を足した重みは K = ∑ n ≥ 1 K n K=\sum_{n\ge1}K_n K = ∑ n ≥ 1 K n 2 ( x − x ′ ) 2(x-x') 2 ( x − x ′ )
∣ K n ( x , y ) ∣ ≤ 1 2 ( n − 1 ) ! ( ∫ − ∞ x ∣ u ( z ) ∣ d z ) ( ∫ − ∞ x ( x − z ) ∣ u ( z ) ∣ d z ) n − 1 , y ≤ x , |K_n(x,y)|\le\frac1{2(n-1)!}
\left(\int_{-\infty}^x|u(z)|\,dz\right)
\left(\int_{-\infty}^x(x-z)|u(z)|\,dz\right)^{n-1},\qquad y\le x, ∣ K n ( x , y ) ∣ ≤ 2 ( n − 1 )! 1 ( ∫ − ∞ x ∣ u ( z ) ∣ d z ) ( ∫ − ∞ x ( x − z ) ∣ u ( z ) ∣ d z ) n − 1 , y ≤ x , と評価できる。固定した x x x y ≤ x y\le x y ≤ x
絶対値を取った反復積分にも同じ評価が使える。核の可積分性とフーリエ表示は、Schwartz 条件下の変換作用素の標準結果を用いる。対応する構成は Egorova ほか、§2 にある。
3.1.3. 変換核の対角値
式 (31) で y = x y=x y = x y ′ ≤ x ′ y'\le x' y ′ ≤ x ′ ∣ x − y ′ ∣ ≤ x − x ′ |x-y'|\le x-x' ∣ x − y ′ ∣ ≤ x − x ′ y ′ ≥ x ′ y'\ge x' y ′ ≥ x ′ y ′ = x ′ y'=x' y ′ = x ′
K ( x , x ) = 1 2 ∫ − ∞ x u ( x ′ ) d x ′ , u ( x ) = 2 d d x K ( x , x ) . (33) K(x,x)=\frac12\int_{-\infty}^xu(x')\,dx',\qquad
u(x)=2\frac{d}{dx}K(x,x).
\tag{33} K ( x , x ) = 2 1 ∫ − ∞ x u ( x ′ ) d x ′ , u ( x ) = 2 d x d K ( x , x ) . ( 33 ) 微分は x x x K K K
3.2. GLM方程式
3.2.1. 散乱関係の逆フーリエ変換
ここで散乱データを導入する。k > 0 k>0 k > 0 f − ( x , k ) f_-(x,k) f − ( x , k ) b ( k ) f − ( x , − k ) b(k)f_-(x,-k) b ( k ) f − ( x , − k ) a ( k ) f + ( x , k ) a(k)f_+(x,k) a ( k ) f + ( x , k ) a a a b b b
a ( k ) f + ( x , k ) = f − ( x , k ) + b ( k ) f − ( x , − k ) . (34) a(k)f_+(x,k)=f_-(x,k)+b(k)f_-(x,-k).
\tag{34} a ( k ) f + ( x , k ) = f − ( x , k ) + b ( k ) f − ( x , − k ) . ( 34 ) 実ポテンシャルでは f ± ( x , − k ) = f ± ( x , k ) ‾ f_\pm(x,-k)=\overline{f_\pm(x,k)} f ± ( x , − k ) = f ± ( x , k ) a ( − k ) = a ( k ) ‾ a(-k)=\overline{a(k)} a ( − k ) = a ( k ) b ( − k ) = b ( k ) ‾ b(-k)=\overline{b(k)} b ( − k ) = b ( k ) k k k
式 (34) の入射側に注目する。既知の自由波を引くと、式 (32) から
f − ( x , k ) − e i k x = ∫ − ∞ x K ( x , z ) e i k z d z . (35) f_-(x,k)-e^{ikx}=\int_{-\infty}^xK(x,z)e^{ikz}\,dz.
\tag{35} f − ( x , k ) − e ik x = ∫ − ∞ x K ( x , z ) e ik z d z . ( 35 ) 逆フーリエ変換で、平面波の重ね合わせの重み K ( x , y ) K(x,y) K ( x , y ) y < x y<x y < x
lim R → ∞ 1 2 π ∫ − R R [ f − ( x , k ) − e i k x ] e − i k y d k = K ( x , y ) . \lim_{R\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^R[f_-(x,k)-e^{ikx}]e^{-iky}\,dk=K(x,y). R → ∞ lim 2 π 1 ∫ − R R [ f − ( x , k ) − e ik x ] e − ik y d k = K ( x , y ) . 同じ操作を散乱関係の両辺に行い、残る二項も核と散乱データで表そう。反射係数 b b b
b ^ ( s ) = ∫ R b ( k ) e − i k s d k (36) \widehat b(s)=\int_{\mathbb R}b(k)e^{-iks}\,dk
\tag{36} b ( s ) = ∫ R b ( k ) e − ik s d k ( 36 ) と置く。ここでは実軸上の反射データ b ( k ) b(k) b ( k )
1 2 π ∫ R b ( k ) f − ( x , − k ) e − i k y d k = b ^ ( x + y ) / ( 2 π ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) b ^ ( z + y ) / ( 2 π ) d z . (37) \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}b(k)f_-(x,-k)e^{-iky}\,dk
=\widehat b(x+y)/(2\pi)+\int_{-\infty}^xK(x,z)\widehat b(z+y)/(2\pi)\,dz.
\tag{37} 2 π 1 ∫ R b ( k ) f − ( x , − k ) e − ik y d k = b ( x + y ) / ( 2 π ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) b ( z + y ) / ( 2 π ) d z . ( 37 ) 自由波では指数が e − i k ( x + y ) e^{-ik(x+y)} e − ik ( x + y ) e − i k ( z + y ) e^{-ik(z+y)} e − ik ( z + y ) b ^ \widehat b b x + y , z + y x+y,z+y x + y , z + y K ( x , ⋅ ) K(x,\cdot) K ( x , ⋅ )
3.2.2. 透過項の留数積分
反射項は、式 (37) により、既知の反射係数 b b b K K K a ( k ) f + ( x , k ) a(k)f_+(x,k) a ( k ) f + ( x , k ) f + f_+ f + K K K K K K
式 (35) で入射波と自由波の差から K ( x , y ) K(x,y) K ( x , y )
[ a ( k ) f + ( x , k ) − e i k x ] e − i k y = [ a ( k ) f + ( x , k ) e − i k x − 1 ] e i k ( x − y ) . [a(k)f_+(x,k)-e^{ikx}]e^{-iky}
=[a(k)f_+(x,k)e^{-ikx}-1]e^{ik(x-y)}. [ a ( k ) f + ( x , k ) − e ik x ] e − ik y = [ a ( k ) f + ( x , k ) e − ik x − 1 ] e ik ( x − y ) . 波数が大きいと、Schrödinger 方程式 f x x + ( k 2 − u ( x ) ) f = 0 f_{xx}+(k^2-u(x))f=0 f xx + ( k 2 − u ( x )) f = 0 k 2 k^2 k 2 u ( x ) u(x) u ( x ) ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣
さらに、y < x y<x y < x
∣ e i k ( x − y ) ∣ = e − Im k ( x − y ) |e^{ik(x-y)}|=e^{-\operatorname{Im}k\,(x-y)} ∣ e ik ( x − y ) ∣ = e − Im k ( x − y ) なので、上半平面の奥へ進むほど、この絶対値も小さくなる。この二つの性質により、実軸を左から右へ進み、上半円で戻る積分路では、無限遠を回る部分の寄与が消える。
原点 k = 0 k=0 k = 0 e i k x e^{ikx} e ik x e − i k x e^{-ikx} e − ik x
透過項は上半平面で、孤立した極以外では正則である。従って、無限遠と原点からの寄与を除けば、実軸上の積分には内部の極の留数だけが残る。ここではこれらの性質を用いて先へ進む。解析性と円弧の寄与が消えるための厳密な評価は、後に示す 。
実軸を左から右へ進み、大きな上半円で戻る正向きの積分路。原点は小さな上半円で避ける。指数因子の減衰により、大半円の寄与は消える。
従って、求める積分は上半平面にある極の留数の和になる。
lim R → ∞ 1 2 π ∫ − R R [ a ( k ) f + ( x , k ) − e i k x ] e − i k y d k = i ∑ 上半平面の各極 Res [ ( a ( k ) f + ( x , k ) − e i k x ) e − i k y ] . (38) \begin{aligned}
&\lim_{R\to\infty}\frac1{2\pi}\int_{-R}^R[a(k)f_+(x,k)-e^{ikx}]e^{-iky}\,dk\\
&\qquad=i\sum_{\text{上半平面の各極}}\operatorname*{Res}\!\left[(a(k)f_+(x,k)-e^{ikx})e^{-iky}\right].
\end{aligned}
\tag{38} R → ∞ lim 2 π 1 ∫ − R R [ a ( k ) f + ( x , k ) − e ik x ] e − ik y d k = i 上半平面の各極 ∑ Res [ ( a ( k ) f + ( x , k ) − e ik x ) e − ik y ] . ( 38 ) 右辺では、各極での被積分関数全体の留数を足している。積分を具体的に求めるために残るのは、極がどこにあり、その留数がいくらかという問題である。
3.2.3. 透過項の極と束縛状態
実波数の散乱では、左から入る波の振幅を1にしたとき、右へ抜ける波の振幅が a ( k ) a(k) a ( k ) f + f_+ f + 1 / a ( k ) 1/a(k) 1/ a ( k )
f + ( x , k ) = 1 a ( k ) f − ( x , k ) + b ( k ) a ( k ) f − ( x , − k ) . f_+(x,k)=\frac1{a(k)}f_-(x,k)+\frac{b(k)}{a(k)}f_-(x,-k). f + ( x , k ) = a ( k ) 1 f − ( x , k ) + a ( k ) b ( k ) f − ( x , − k ) . この入射振幅の意味から、複素波数での極を考えよう。k = i κ k=i\kappa k = iκ κ > 0 \kappa>0 κ > 0 e i k x = e − κ x e^{ikx}=e^{-\kappa x} e ik x = e − κ x f + f_+ f + 1 / a ( k ) 1/a(k) 1/ a ( k ) a ( k ) a(k) a ( k )
入射振幅 1 / a ( k ) 1/a(k) 1/ a ( k ) f − ( x , − k ) f_-(x,-k) f − ( x , − k )
W ( x , k ) = det ( f − ( x , − k ) f + ( x , k ) ∂ x f − ( x , − k ) ∂ x f + ( x , k ) ) (39) W(x,k)=\det\begin{pmatrix}
f_-(x,-k)&f_+(x,k)\\
\partial_xf_-(x,-k)&\partial_xf_+(x,k)
\end{pmatrix}
\tag{39} W ( x , k ) = det ( f − ( x , − k ) ∂ x f − ( x , − k ) f + ( x , k ) ∂ x f + ( x , k ) ) ( 39 ) を考える。この行列式は Wronskian である。第二列に散乱関係を代入すると、反射項では二列が比例するため、その行列式は0になる。従って実波数では、入射項だけが残って
W ( x , k ) = 1 a ( k ) det ( f − ( x , − k ) f − ( x , k ) ∂ x f − ( x , − k ) ∂ x f − ( x , k ) ) . W(x,k)=\frac1{a(k)}\det\begin{pmatrix}
f_-(x,-k)&f_-(x,k)\\
\partial_xf_-(x,-k)&\partial_xf_-(x,k)
\end{pmatrix}. W ( x , k ) = a ( k ) 1 det ( f − ( x , − k ) ∂ x f − ( x , − k ) f − ( x , k ) ∂ x f − ( x , k ) ) .
この Wronskian は、波数 k k k x x x
行列式の微分は、一行ずつ微分した行列式の和である。式 (39) で上の行を微分すると下の行と同じになるので、この項は0になる。
一方、両解は f x x = ( u ( x ) − k 2 ) f f_{xx}=(u(x)-k^2)f f xx = ( u ( x ) − k 2 ) f u ( x ) − k 2 u(x)-k^2 u ( x ) − k 2 ∂ x W ( x , k ) = 0 \partial_xW(x,k)=0 ∂ x W ( x , k ) = 0 x x x W ( k ) W(k) W ( k )
従って、反射項を消した先の表示で左端の極限を取り、Jost 解とその微分を自由波の表示に置き換えれば
W ( k ) = 1 a ( k ) det ( e − i k x e i k x − i k e − i k x i k e i k x ) = 2 i k a ( k ) , a ( k ) = 2 i k W ( k ) . W(k)=\frac1{a(k)}\det\begin{pmatrix}
e^{-ikx}&e^{ikx}\\
-ik e^{-ikx}&ik e^{ikx}
\end{pmatrix}
=\frac{2ik}{a(k)},\qquad
a(k)=\frac{2ik}{W(k)}. W ( k ) = a ( k ) 1 det ( e − ik x − ik e − ik x e ik x ik e ik x ) = a ( k ) 2 ik , a ( k ) = W ( k ) 2 ik . 上半平面では f − ( x , − k ) f_-(x,-k) f − ( x , − k ) f + ( x , k ) f_+(x,k) f + ( x , k ) a a a W ( k ) = 0 W(k)=0 W ( k ) = 0
例として、u ( x ) = − 2 sech 2 x u(x)=-2\operatorname{sech}^2x u ( x ) = − 2 sech 2 x E = − 1 E=-1 E = − 1 1 2 sech x \tfrac12\operatorname{sech}x 2 1 sech x W = 0 W=0 W = 0
f − ( x , − k ) f_-(x,-k) f − ( x , − k )
実線は f − ( x , − k ) f_-(x,-k) f − ( x , − k ) f + ( x , k ) f_+(x,k) f + ( x , k ) f − ( x , − k ) ∼ e − i k x f_-(x,-k)\sim e^{-ikx} f − ( x , − k ) ∼ e − ik x f + ( x , k ) ∼ e i k x f_+(x,k)\sim e^{ikx} f + ( x , k ) ∼ e ik x E = − 1 E=-1 E = − 1
図に示したポテンシャルの厳密解
k = i κ k=i\kappa k = iκ κ > 0 \kappa>0 κ > 0
f + ( x , i κ ) = e − κ x κ + tanh x κ + 1 , f − ( x , − i κ ) = e κ x κ − tanh x κ + 1 . f_+(x,i\kappa)=e^{-\kappa x}\frac{\kappa+\tanh x}{\kappa+1},
\qquad
f_-(x,-i\kappa)=e^{\kappa x}\frac{\kappa-\tanh x}{\kappa+1}. f + ( x , iκ ) = e − κ x κ + 1 κ + tanh x , f − ( x , − iκ ) = e κ x κ + 1 κ − tanh x . これらは L = − ∂ x 2 − 2 sech 2 x L=-\partial_x^2-2\operatorname{sech}^2x L = − ∂ x 2 − 2 sech 2 x x = 0 x=0 x = 0
W ( i κ ) = κ κ + 1 ( 1 − κ ) − ( κ − 1 ) κ κ + 1 = − 2 κ κ − 1 κ + 1 . W(i\kappa)
=\frac{\kappa}{\kappa+1}(1-\kappa)
-(\kappa-1)\frac{\kappa}{\kappa+1}
=-2\kappa\frac{\kappa-1}{\kappa+1}. W ( iκ ) = κ + 1 κ ( 1 − κ ) − ( κ − 1 ) κ + 1 κ = − 2 κ κ + 1 κ − 1 . 従って κ = 1 \kappa=1 κ = 1 E = − 1 E=-1 E = − 1 W = 0 W=0 W = 0
f − ( x , − i ) = f + ( x , i ) = 1 2 sech x . f_-(x,-i)=f_+(x,i)=\tfrac12\operatorname{sech}x. f − ( x , − i ) = f + ( x , i ) = 2 1 sech x . 二つの Jost 解が同じ、両端で減衰する波形を表している。
両端で指数関数的に小さくなるこの解は平方可積分である。L L L k 2 k^2 k 2 k = i κ n k=i\kappa_n k = i κ n κ n > 0 \kappa_n>0 κ n > 0 − κ n 2 -\kappa_n^2 − κ n 2
透過項の解析性と円弧積分の評価
先ほどの積分路の議論で用いた三点、すなわち上半平面での有理型性、大半円の寄与が消えること、原点での有界性を確かめる。以下では x x x y < x y<x y < x
上半平面での解析性。 左 Jost 解の積分方程式 (27) で k k k − k -k − k e − i k x e^{-ikx} e − ik x
e i k x f − ( x , − k ) = 1 + ∫ − ∞ x e 2 i k ( x − z ) − 1 2 i k u ( z ) e i k z f − ( z , − k ) d z . e^{ikx}f_-(x,-k)=1+\int_{-\infty}^x\frac{e^{2ik(x-z)}-1}{2ik}u(z)e^{ikz}f_-(z,-k)\,dz. e ik x f − ( x , − k ) = 1 + ∫ − ∞ x 2 ik e 2 ik ( x − z ) − 1 u ( z ) e ik z f − ( z , − k ) d z . この積分核は、z ≤ x z\le x z ≤ x
e 2 i k ( x − z ) − 1 2 i k = ∫ 0 x − z e 2 i k s d s \frac{e^{2ik(x-z)}-1}{2ik}=\int_0^{x-z}e^{2iks}\,ds 2 ik e 2 ik ( x − z ) − 1 = ∫ 0 x − z e 2 ik s d s と書ける。閉上半平面では ∣ e 2 i k s ∣ ≤ 1 |e^{2iks}|\le1 ∣ e 2 ik s ∣ ≤ 1 x − z x-z x − z k k k ( x − z ) 2 (x-z)^2 ( x − z ) 2
逐次代入の第 j j j
1 j ! ( ∫ − ∞ x ( x − z ) ∣ u ( z ) ∣ d z ) j \frac1{j!}\left(\int_{-\infty}^x(x-z)|u(z)|\,dz\right)^j j ! 1 ( ∫ − ∞ x ( x − z ) ∣ u ( z ) ∣ d z ) j 以下になる。Schwartz 条件の下でこの級数は局所一様に収束し、k k k x x x k k k W W W a = 2 i k / W a=2ik/W a = 2 ik / W
無限遠での評価。 閉上半平面では ∣ e 2 i k ( x − z ) − 1 ∣ ≤ 2 |e^{2ik(x-z)}-1|\le2 ∣ e 2 ik ( x − z ) − 1∣ ≤ 2 ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ 1 / ∣ k ∣ 1/|k| 1/∣ k ∣ 1 + O ( ∣ k ∣ − 1 ) 1+O(|k|^{-1}) 1 + O ( ∣ k ∣ − 1 ) x x x e 2 i k ( x − z ) e^{2ik(x-z)} e 2 ik ( x − z ) x x x O ( 1 ) O(1) O ( 1 )
W ( k ) = 2 i k [ 1 + O ( ∣ k ∣ − 1 ) ] , a ( k ) = 1 + O ( ∣ k ∣ − 1 ) , a ( k ) f + ( x , k ) e − i k x − 1 = O ( ∣ k ∣ − 1 ) . W(k)=2ik[1+O(|k|^{-1})],\qquad
a(k)=1+O(|k|^{-1}),\qquad
a(k)f_+(x,k)e^{-ikx}-1=O(|k|^{-1}). W ( k ) = 2 ik [ 1 + O ( ∣ k ∣ − 1 )] , a ( k ) = 1 + O ( ∣ k ∣ − 1 ) , a ( k ) f + ( x , k ) e − ik x − 1 = O ( ∣ k ∣ − 1 ) . 大半円 k = R e i θ k=Re^{i\theta} k = R e i θ 0 ≤ θ ≤ π 0\le\theta\le\pi 0 ≤ θ ≤ π ∣ e i k ( x − y ) ∣ = e − R ( x − y ) sin θ |e^{ik(x-y)}|=e^{-R(x-y)\sin\theta} ∣ e ik ( x − y ) ∣ = e − R ( x − y ) s i n θ
∣ ∫ 大半円 [ a ( k ) f + ( x , k ) − e i k x ] e − i k y d k ∣ ≤ C ∫ 0 π e − R ( x − y ) sin θ d θ ≤ C π R ( x − y ) ⟶ 0 \left|\int_{\text{大半円}}[a(k)f_+(x,k)-e^{ikx}]e^{-iky}\,dk\right|
\le C\int_0^\pi e^{-R(x-y)\sin\theta}\,d\theta
\le\frac{C\pi}{R(x-y)}\longrightarrow0 ∫ 大半円 [ a ( k ) f + ( x , k ) − e ik x ] e − ik y d k ≤ C ∫ 0 π e − R ( x − y ) s i n θ d θ ≤ R ( x − y ) C π ⟶ 0 を満たす。C C C R R R 0 ≤ θ ≤ π / 2 0\le\theta\le\pi/2 0 ≤ θ ≤ π /2 sin θ ≥ 2 θ / π \sin\theta\ge2\theta/\pi sin θ ≥ 2 θ / π
原点での評価。 必要なのは a ( k ) a(k) a ( k ) Im ( f ‾ ∂ x f ) \operatorname{Im}(\overline f\,\partial_xf) Im ( f ∂ x f ) x x x k ≠ 0 k\ne0 k = 0
k ( 1 − ∣ b ( k ) ∣ 2 ) = k ∣ a ( k ) ∣ 2 , ∣ a ( k ) ∣ ≤ 1. k(1-|b(k)|^2)=k|a(k)|^2,\qquad |a(k)|\le1. k ( 1 − ∣ b ( k ) ∣ 2 ) = k ∣ a ( k ) ∣ 2 , ∣ a ( k ) ∣ ≤ 1. 従って a W = 2 i k aW=2ik aW = 2 ik ∣ W ( k ) ∣ ≥ 2 ∣ k ∣ |W(k)|\ge2|k| ∣ W ( k ) ∣ ≥ 2∣ k ∣
W ( 0 ) ≠ 0 W(0)\ne0 W ( 0 ) = 0 a = 2 i k / W a=2ik/W a = 2 ik / W W ( 0 ) = 0 W(0)=0 W ( 0 ) = 0 ∂ k W \partial_k W ∂ k W k k k
W ( k ) = k ∫ 0 1 ( ∂ k W ) ( s k ) d s = ∂ k W ( 0 ) k + o ( ∣ k ∣ ) W(k)=k\int_0^1(\partial_k W)(sk)\,ds=\partial_k W(0)k+o(|k|) W ( k ) = k ∫ 0 1 ( ∂ k W ) ( s k ) d s = ∂ k W ( 0 ) k + o ( ∣ k ∣ ) となる。実軸上の ∣ W ( k ) ∣ ≥ 2 ∣ k ∣ |W(k)|\ge2|k| ∣ W ( k ) ∣ ≥ 2∣ k ∣ ∣ ∂ k W ( 0 ) ∣ ≥ 2 |\partial_k W(0)|\ge2 ∣ ∂ k W ( 0 ) ∣ ≥ 2 a ( k ) → 2 i ∂ k W ( 0 ) a(k)\to\frac{2i}{\partial_k W(0)} a ( k ) → ∂ k W ( 0 ) 2 i
従って原点では a ( k ) a(k) a ( k ) f + ( x , k ) f_+(x,k) f + ( x , k ) ϵ \epsilon ϵ O ( ϵ ) O(\epsilon) O ( ϵ ) ϵ → 0 \epsilon\to0 ϵ → 0
両 Jost 解の積分方程式による構成と評価については、Egorova ほか、§2 の (2.1)–(2.4) も参照。
3.2.4. 減衰解の接続条件
前の小節で極の位置が分かったので、次は透過項 a ( k ) f + ( x , k ) a(k)f_+(x,k) a ( k ) f + ( x , k )
以下では E = k 2 < 0 E=k^2<0 E = k 2 < 0 Im k > 0 \operatorname{Im}k>0 Im k > 0 E n = − κ n 2 E_n=-\kappa_n^2 E n = − κ n 2 ψ n \psi_n ψ n x 0 x_0 x 0 ψ n \psi_n ψ n f − ( x 0 , − i κ n ) f_-(x_0,-i\kappa_n) f − ( x 0 , − i κ n ) f + ( x 0 , i κ n ) f_+(x_0,i\kappa_n) f + ( x 0 , i κ n ) E n E_n E n x 0 x_0 x 0
f ( x ; E ) = f − ( x , − k ) f − ( x 0 , − k ) Θ ( x 0 − x ) + f + ( x , k ) f + ( x 0 , k ) Θ ( x − x 0 ) . (40) f(x;E)=\frac{f_-(x,-k)}{f_-(x_0,-k)}\Theta(x_0-x)
+\frac{f_+(x,k)}{f_+(x_0,k)}\Theta(x-x_0).
\tag{40} f ( x ; E ) = f − ( x 0 , − k ) f − ( x , − k ) Θ ( x 0 − x ) + f + ( x 0 , k ) f + ( x , k ) Θ ( x − x 0 ) . ( 40 ) Θ \Theta Θ Θ ( 0 ) = 1 / 2 \Theta(0)=1/2 Θ ( 0 ) = 1/2 f ( x 0 ; E ) = 1 f(x_0;E)=1 f ( x 0 ; E ) = 1
Δ ( E ) : = ∂ x f ( x 0 + ; E ) − ∂ x f ( x 0 − ; E ) = ∂ x f + ( x 0 , k ) f + ( x 0 , k ) − ∂ x f − ( x 0 , − k ) f − ( x 0 , − k ) (41) \begin{aligned}
\Delta(E)&:=\partial_xf(x_0^+;E)-\partial_xf(x_0^-;E)\\
&=\frac{\partial_xf_+(x_0,k)}{f_+(x_0,k)}
-\frac{\partial_xf_-(x_0,-k)}{f_-(x_0,-k)}
\end{aligned}
\tag{41} Δ ( E ) := ∂ x f ( x 0 + ; E ) − ∂ x f ( x 0 − ; E ) = f + ( x 0 , k ) ∂ x f + ( x 0 , k ) − f − ( x 0 , − k ) ∂ x f − ( x 0 , − k ) ( 41 ) と定める。次の図は u ( x ) = − 2 sech 2 x u(x)=-2\operatorname{sech}^2x u ( x ) = − 2 sech 2 x x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 E = − 1 E=-1 E = − 1
E = k 2 E=k^2 E = k 2 −1.250 E = − 1 E=-1 E = − 1 x 0 = 0 , f ( x 0 ; E ) = 1 x_0=0,\quad f(x_0;E)=1 x 0 = 0 , f ( x 0 ; E ) = 1
u ( x ) = − 2 sech 2 x u(x)=-2\operatorname{sech}^2x u ( x ) = − 2 sech 2 x x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 E = − 1 E=-1 E = − 1
式 (39) により、
Δ ( E ) = f − ( x 0 , − k ) ∂ x f + ( x 0 , k ) − ∂ x f − ( x 0 , − k ) f + ( x 0 , k ) ⏞ W ( k ) f − ( x 0 , − k ) f + ( x 0 , k ) . (42) \Delta(E)=
\frac{\overbrace{f_-(x_0,-k)\partial_xf_+(x_0,k)-\partial_xf_-(x_0,-k)f_+(x_0,k)}^{W(k)}}
{f_-(x_0,-k)f_+(x_0,k)}.
\tag{42} Δ ( E ) = f − ( x 0 , − k ) f + ( x 0 , k ) f − ( x 0 , − k ) ∂ x f + ( x 0 , k ) − ∂ x f − ( x 0 , − k ) f + ( x 0 , k ) W ( k ) . ( 42 ) 従って a = 2 i k / W a=2ik/W a = 2 ik / W
a ( k ) f + ( x , k ) = 2 i k Δ ( E ) f + ( x , k ) f − ( x 0 , − k ) f + ( x 0 , k ) . (43) a(k)f_+(x,k)=\frac{2ik}{\Delta(E)}\,
\frac{f_+(x,k)}{f_-(x_0,-k)f_+(x_0,k)}.
\tag{43} a ( k ) f + ( x , k ) = Δ ( E ) 2 ik f − ( x 0 , − k ) f + ( x 0 , k ) f + ( x , k ) . ( 43 ) となる。右辺の比は E n E_n E n Δ ( E ) \Delta(E) Δ ( E )
3.2.5. 傾きの跳びと点ポテンシャル
透過項の留数を決めるには、Δ ( E ) \Delta(E) Δ ( E ) E n E_n E n Δ ( E ) \Delta(E) Δ ( E )
∂ x 2 f = ( u − E ) f + Δ ( E ) δ ( x − x 0 ) \partial_x^2 f=(u-E)f+\Delta(E)\delta(x-x_0) ∂ x 2 f = ( u − E ) f + Δ ( E ) δ ( x − x 0 ) となる。従って、f ( x 0 ; E ) = 1 f(x_0;E)=1 f ( x 0 ; E ) = 1
[ L + Δ ( E ) δ ( x − x 0 ) ] f = E f . (44) [L+\Delta(E)\delta(x-x_0)]f=Ef.
\tag{44} [ L + Δ ( E ) δ ( x − x 0 )] f = E f . ( 44 ) Δ ( E ) \Delta(E) Δ ( E ) E E E
点ポテンシャルによるエネルギーの一次の変化は、その位置での束縛状態の確率密度に比例する。実数値の束縛状態 ψ n \psi_n ψ n L ψ n = E n ψ n L\psi_n=E_n\psi_n L ψ n = E n ψ n ∫ R ψ n ( x ) 2 d x = 1 \int_{\mathbb R}\psi_n(x)^2dx=1 ∫ R ψ n ( x ) 2 d x = 1
E − E n = ∫ R ψ n ( x ) [ Δ ( E ) δ ( x − x 0 ) ] ψ n ( x ) d x + O ( Δ ( E ) 2 ) = Δ ( E ) ∣ ψ n ( x 0 ) ∣ 2 + O ( Δ ( E ) 2 ) . (45) \begin{aligned}
E-E_n
&=\int_{\mathbb R}\psi_n(x)\,[\Delta(E)\delta(x-x_0)]\,\psi_n(x)\,dx
+O(\Delta(E)^2)\\
&=\Delta(E)\,|\psi_n(x_0)|^2+O(\Delta(E)^2).
\end{aligned}
\tag{45} E − E n = ∫ R ψ n ( x ) [ Δ ( E ) δ ( x − x 0 )] ψ n ( x ) d x + O ( Δ ( E ) 2 ) = Δ ( E ) ∣ ψ n ( x 0 ) ∣ 2 + O ( Δ ( E ) 2 ) . ( 45 ) 一次の計算を下に示す。接続点での確率密度 ∣ ψ n ( x 0 ) ∣ 2 |\psi_n(x_0)|^2 ∣ ψ n ( x 0 ) ∣ 2
エネルギーの一次の変化
点ポテンシャルを加えた固有関数と固有エネルギーを、一次まで ψ n + δ ψ \psi_n+\delta\psi ψ n + δ ψ E n + δ E E_n+\delta E E n + δ E
( L − E n ) δ ψ + Δ ( E ) δ ( x − x 0 ) ψ n = δ E ψ n . (L-E_n)\delta\psi+\Delta(E)\delta(x-x_0)\psi_n
=\delta E\,\psi_n. ( L − E n ) δ ψ + Δ ( E ) δ ( x − x 0 ) ψ n = δ E ψ n . ψ n \psi_n ψ n δ ψ \delta\psi δ ψ
∫ R ψ n ( L − E n ) δ ψ d x = ∫ R [ ( L − E n ) ψ n ] δ ψ d x = 0 \int_{\mathbb R}\psi_n(L-E_n)\delta\psi\,dx
=\int_{\mathbb R}[(L-E_n)\psi_n]\,\delta\psi\,dx=0 ∫ R ψ n ( L − E n ) δ ψ d x = ∫ R [( L − E n ) ψ n ] δ ψ d x = 0 となる。ここでは L L L ( L − E n ) ψ n = 0 (L-E_n)\psi_n=0 ( L − E n ) ψ n = 0
残る項は、規格化条件とデルタ関数により
δ E ∫ R ψ n ( x ) 2 d x ⏟ 1 = Δ ( E ) ∫ R ψ n ( x ) 2 δ ( x − x 0 ) d x = Δ ( E ) ∣ ψ n ( x 0 ) ∣ 2 . \delta E\underbrace{\int_{\mathbb R}\psi_n(x)^2dx}_{1}
=\Delta(E)\int_{\mathbb R}\psi_n(x)^2\delta(x-x_0)dx
=\Delta(E)|\psi_n(x_0)|^2. δ E 1 ∫ R ψ n ( x ) 2 d x = Δ ( E ) ∫ R ψ n ( x ) 2 δ ( x − x 0 ) d x = Δ ( E ) ∣ ψ n ( x 0 ) ∣ 2 . 従って一次のエネルギー変化には、もとの束縛状態の確率密度だけが必要になる。
式 (45) を透過項の分母に使う形にすると、
1 Δ ( E ) = ∣ ψ n ( x 0 ) ∣ 2 E − E n + O ( 1 ) . \frac1{\Delta(E)}=\frac{|\psi_n(x_0)|^2}{E-E_n}+O(1). Δ ( E ) 1 = E − E n ∣ ψ n ( x 0 ) ∣ 2 + O ( 1 ) . 接続点での確率密度が、1 / Δ ( E ) 1/\Delta(E) 1/Δ ( E )
3.2.6. 透過項の留数
束縛状態では両 Jost 解は同じ固有関数に比例する。左 Jost 解に合わせて符号を選んだ実規格化固有関数を
ψ n ( x ) = c n f − ( x , − i κ n ) , c n > 0 , c n − 2 = ∫ R f − ( z , − i κ n ) 2 d z (46) \begin{gathered}
\psi_n(x)=c_nf_-(x,-i\kappa_n),\qquad c_n>0,\\
c_n^{-2}=\int_{\mathbb R}f_-(z,-i\kappa_n)^2\,dz
\end{gathered}
\tag{46} ψ n ( x ) = c n f − ( x , − i κ n ) , c n > 0 , c n − 2 = ∫ R f − ( z , − i κ n ) 2 d z ( 46 ) とする。求めたいのは 1 / ( E − E n ) 1/(E-E_n) 1/ ( E − E n )
a ( k ) f + ( x , k ) 2 i k = f + ( x , k ) f + ( x 0 , k ) 1 f − ( x 0 , − k ) 1 Δ ( E ) \frac{a(k)f_+(x,k)}{2ik}
=\frac{f_+(x,k)}{f_+(x_0,k)}\,
\frac1{f_-(x_0,-k)}\,
\frac1{\Delta(E)} 2 ik a ( k ) f + ( x , k ) = f + ( x 0 , k ) f + ( x , k ) f − ( x 0 , − k ) 1 Δ ( E ) 1 と分けると、極をもつのは最後の 1 / Δ ( E ) 1/\Delta(E) 1/Δ ( E ) ψ n ( x 0 ) 2 \psi_n(x_0)^2 ψ n ( x 0 ) 2 k = i κ n k=i\kappa_n k = i κ n ψ n ( x 0 ) 2 \psi_n(x_0)^2 ψ n ( x 0 ) 2
右Jost解は、束縛状態では ψ n \psi_n ψ n
f + ( x , k ) f + ( x 0 , k ) ⟶ ψ n ( x ) ψ n ( x 0 ) ( k → i κ n ) . \frac{f_+(x,k)}{f_+(x_0,k)}
\longrightarrow\frac{\psi_n(x)}{\psi_n(x_0)}
\qquad(k\to i\kappa_n). f + ( x 0 , k ) f + ( x , k ) ⟶ ψ n ( x 0 ) ψ n ( x ) ( k → i κ n ) . 従って、1 / ( E − E n ) 1/(E-E_n) 1/ ( E − E n )
ψ n ( x ) ψ n ( x 0 ) 1 f − ( x 0 , − i κ n ) ψ n ( x 0 ) 2 = ψ n ( x ) ψ n ( x 0 ) f − ( x 0 , − i κ n ) = c n ψ n ( x ) . \begin{aligned}
\frac{\psi_n(x)}{\psi_n(x_0)}\,
\frac1{f_-(x_0,-i\kappa_n)}\,
\psi_n(x_0)^2
&=\psi_n(x)\,\frac{\psi_n(x_0)}{f_-(x_0,-i\kappa_n)}\\
&=c_n\psi_n(x).
\end{aligned} ψ n ( x 0 ) ψ n ( x ) f − ( x 0 , − i κ n ) 1 ψ n ( x 0 ) 2 = ψ n ( x ) f − ( x 0 , − i κ n ) ψ n ( x 0 ) = c n ψ n ( x ) . 最後の等号では、規格化の関係 ψ n ( x 0 ) = c n f − ( x 0 , − i κ n ) \psi_n(x_0)=c_nf_-(x_0,-i\kappa_n) ψ n ( x 0 ) = c n f − ( x 0 , − i κ n )
a ( k ) f + ( x , k ) 2 i k = c n ψ n ( x ) E − E n + O ( 1 ) . (47) \frac{a(k)f_+(x,k)}{2ik}
=\frac{c_n\psi_n(x)}{E-E_n}+O(1).
\tag{47} 2 ik a ( k ) f + ( x , k ) = E − E n c n ψ n ( x ) + O ( 1 ) . ( 47 ) 極係数 c n ψ n ( x ) c_n\psi_n(x) c n ψ n ( x ) x 0 x_0 x 0 E − E n = ( k − i κ n ) ( k + i κ n ) E-E_n=(k-i\kappa_n)(k+i\kappa_n) E − E n = ( k − i κ n ) ( k + i κ n )
2 i k E − E n = i k − i κ n + O ( 1 ) . \frac{2ik}{E-E_n}=\frac{i}{k-i\kappa_n}+O(1). E − E n 2 ik = k − i κ n i + O ( 1 ) . したがって a ( k ) a(k) a ( k ) k = i κ n k=i\kappa_n k = i κ n
Res k = i κ n [ a ( k ) f + ( x , k ) ] = i c n ψ n ( x ) = i c n 2 f − ( x , − i κ n ) . (48) \operatorname*{Res}_{k=i\kappa_n}[a(k)f_+(x,k)]
=i c_n\psi_n(x)=i c_n^2f_-(x,-i\kappa_n).
\tag{48} k = i κ n Res [ a ( k ) f + ( x , k )] = i c n ψ n ( x ) = i c n 2 f − ( x , − i κ n ) . ( 48 ) 式 (38) で、各極 k = i κ n k=i\kappa_n k = i κ n e κ n y e^{\kappa_n y} e κ n y
lim R → ∞ 1 2 π ∫ − R R [ a ( k ) f + ( x , k ) − e i k x ] e − i k y d k = − ∑ n = 1 N c n 2 f − ( x , − i κ n ) e κ n y . (49) \lim_{R\to\infty}\frac1{2\pi}\int_{-R}^R[a(k)f_+(x,k)-e^{ikx}]e^{-iky}\,dk
=-\sum_{n=1}^N c_n^2f_-(x,-i\kappa_n)e^{\kappa_n y}.
\tag{49} R → ∞ lim 2 π 1 ∫ − R R [ a ( k ) f + ( x , k ) − e ik x ] e − ik y d k = − n = 1 ∑ N c n 2 f − ( x , − i κ n ) e κ n y . ( 49 ) となる。負号は極の係数の i i i i i i
単純極の留数積分
上半平面の極 i κ n i\kappa_n i κ n
1 2 π ∫ R e i k ( x − y ) k − i κ n d k = i e − κ n ( x − y ) , y < x . (50) \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\frac{e^{ik(x-y)}}{k-i\kappa_n}\,dk
=i e^{-\kappa_n(x-y)},\qquad y<x.
\tag{50} 2 π 1 ∫ R k − i κ n e ik ( x − y ) d k = i e − κ n ( x − y ) , y < x . ( 50 ) 正向きの留数定理を 2 π 2\pi 2 π i i i
3.2.7. GLM方程式の導出
式 (37) の反射項は既知データと核で表せている。式 (49) を散乱関係の変換へ代入するため、束縛状態の波形にも同じ核表示 (32) を使うと
f − ( x , − i κ n ) e κ n y = e κ n ( x + y ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e κ n ( z + y ) d z . (51) f_-(x,-i\kappa_n)e^{\kappa_n y}
=e^{\kappa_n(x+y)}+\int_{-\infty}^xK(x,z)e^{\kappa_n(z+y)}\,dz.
\tag{51} f − ( x , − i κ n ) e κ n y = e κ n ( x + y ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e κ n ( z + y ) d z . ( 51 ) 反射項には b ^ ( s ) / ( 2 π ) \widehat b(s)/(2\pi) b ( s ) / ( 2 π ) ∑ n = 1 N c n 2 e κ n s \sum_{n=1}^N c_n^2e^{\kappa_ns} ∑ n = 1 N c n 2 e κ n s s = x + y s=x+y s = x + y s = z + y s=z+y s = z + y
F ( s ) = 1 2 π ∫ R b ( k ) e − i k s d k ⏟ b ^ ( s ) / ( 2 π ) + ∑ n = 1 N c n 2 e κ n s . (52) F(s)=\underbrace{\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}b(k)e^{-iks}\,dk}_{\widehat b(s)/(2\pi)}
+\sum_{n=1}^Nc_n^2e^{\kappa_ns}.
\tag{52} F ( s ) = b ( s ) / ( 2 π ) 2 π 1 ∫ R b ( k ) e − ik s d k + n = 1 ∑ N c n 2 e κ n s . ( 52 ) 入射項と反射項の変換の和から透過項の変換を引くと0になる。式 (37)、(49)、(51) を代入すると、透過項を引く負号と式 (49) の負号により、束縛状態項は正となる：
0 = K ( x , y ) + b ^ ( x + y ) 2 π + ∑ n = 1 N c n 2 e κ n ( x + y ) ⏟ F ( x + y ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) [ b ^ ( z + y ) 2 π + ∑ n = 1 N c n 2 e κ n ( z + y ) ⏟ F ( z + y ) ] d z . (53) \begin{aligned}
0={}&K(x,y)+\underbrace{\frac{\widehat b(x+y)}{2\pi}
+\sum_{n=1}^Nc_n^2e^{\kappa_n(x+y)}}_{F(x+y)}\\
&+\int_{-\infty}^xK(x,z)\,\Bigl[\underbrace{\frac{\widehat b(z+y)}{2\pi}
+\sum_{n=1}^Nc_n^2e^{\kappa_n(z+y)}}_{F(z+y)}\Bigr]\,dz.
\end{aligned}
\tag{53} 0 = K ( x , y ) + F ( x + y ) 2 π b ( x + y ) + n = 1 ∑ N c n 2 e κ n ( x + y ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) [ F ( z + y ) 2 π b ( z + y ) + n = 1 ∑ N c n 2 e κ n ( z + y ) ] d z . ( 53 ) となる。積分の外の二項は F ( x + y ) F(x+y) F ( x + y ) F ( z + y ) F(z+y) F ( z + y )
0 = K ( x , y ) + F ( x + y ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) F ( z + y ) d z . y < x . (54) \boxed{0=K(x,y)+F(x+y)+\int_{-\infty}^xK(x,z)F(z+y)\,dz.}\qquad y<x.
\tag{54} 0 = K ( x , y ) + F ( x + y ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) F ( z + y ) d z . y < x . ( 54 ) となる。これが左 GLM 方程式である。既知の F F F K ( x , ⋅ ) K(x,\cdot) K ( x , ⋅ ) u u u
左 GLM 方程式の解の一意性
固定した x x x g g g ( − ∞ , x ) (-\infty,x) ( − ∞ , x ) L 1 ∩ L 2 L^1\cap L^2 L 1 ∩ L 2
g ( y ) + ∫ − ∞ x g ( z ) F ( z + y ) d z = 0 , y < x g(y)+\int_{-\infty}^x g(z)F(z+y)\,dz=0,\qquad y<x g ( y ) + ∫ − ∞ x g ( z ) F ( z + y ) d z = 0 , y < x を満たす。g g g y ≥ x y\ge x y ≥ x g ^ ( k ) = ∫ − ∞ x g ( z ) e − i k z d z \widehat g(k)=\int_{-\infty}^xg(z)e^{-ikz}\,dz g ( k ) = ∫ − ∞ x g ( z ) e − ik z d z g ( y ) ‾ \overline{g(y)} g ( y ) y < x y<x y < x
0 = ∫ − ∞ x ∣ g ( y ) ∣ 2 d y + 1 2 π ∫ R b ( k ) g ^ ( k ) g ^ ( − k ) ‾ d k + ∑ n = 1 N c n 2 ∣ ∫ − ∞ x g ( y ) e κ n y d y ∣ 2 . 0=\int_{-\infty}^x|g(y)|^2dy+\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}b(k)\widehat g(k)\overline{\widehat g(-k)}\,dk
+\sum_{n=1}^N c_n^2\left|\int_{-\infty}^x g(y)e^{\kappa_n y}dy\right|^2. 0 = ∫ − ∞ x ∣ g ( y ) ∣ 2 d y + 2 π 1 ∫ R b ( k ) g ( k ) g ( − k ) d k + n = 1 ∑ N c n 2 ∫ − ∞ x g ( y ) e κ n y d y 2 . 最後の和は非負である。反射項は b ( − k ) = b ( k ) ‾ b(-k)=\overline{b(k)} b ( − k ) = b ( k ) 2 ∣ g ^ ( k ) g ^ ( − k ) ∣ ≤ ∣ g ^ ( k ) ∣ 2 + ∣ g ^ ( − k ) ∣ 2 2|\widehat g(k)\widehat g(-k)|\le |\widehat g(k)|^2+|\widehat g(-k)|^2 2∣ g ( k ) g ( − k ) ∣ ≤ ∣ g ( k ) ∣ 2 + ∣ g ( − k ) ∣ 2
1 2 π ∫ R ∣ b ( k ) ∣ ∣ g ^ ( k ) ∣ 2 d k \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|b(k)|\,|\widehat g(k)|^2dk 2 π 1 ∫ R ∣ b ( k ) ∣ ∣ g ( k ) ∣ 2 d k 以下である。さらに
∫ − ∞ x ∣ g ( y ) ∣ 2 d y = 1 2 π ∫ R ∣ g ^ ( k ) ∣ 2 d k . \int_{-\infty}^x|g(y)|^2dy=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\widehat g(k)|^2dk. ∫ − ∞ x ∣ g ( y ) ∣ 2 d y = 2 π 1 ∫ R ∣ g ( k ) ∣ 2 d k . 流束保存は 1 = ∣ a ( k ) ∣ 2 + ∣ b ( k ) ∣ 2 1=|a(k)|^2+|b(k)|^2 1 = ∣ a ( k ) ∣ 2 + ∣ b ( k ) ∣ 2 a ( k ) W ( k ) = 2 i k a(k)W(k)=2ik a ( k ) W ( k ) = 2 ik k ≠ 0 k\ne0 k = 0 a ( k ) ≠ 0 a(k)\ne0 a ( k ) = 0 ∣ b ( k ) ∣ < 1 |b(k)|<1 ∣ b ( k ) ∣ < 1
1 2 π ∫ R ( 1 − ∣ b ( k ) ∣ ) ∣ g ^ ( k ) ∣ 2 d k + ∑ n = 1 N c n 2 ∣ ∫ − ∞ x g ( y ) e κ n y d y ∣ 2 ≤ 0. \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}(1-|b(k)|)|\widehat g(k)|^2dk+\sum_{n=1}^Nc_n^2\left|\int_{-\infty}^xg(y)e^{\kappa_ny}dy\right|^2\le0. 2 π 1 ∫ R ( 1 − ∣ b ( k ) ∣ ) ∣ g ( k ) ∣ 2 d k + n = 1 ∑ N c n 2 ∫ − ∞ x g ( y ) e κ n y d y 2 ≤ 0. 左辺は非負なので g ^ = 0 \widehat g=0 g = 0 g = 0 g=0 g = 0
3.3. 無反射ポテンシャルとソリトン
3.3.1. 1ソリトン解
反射がなく、束縛状態が一つだけの場合に GLM 方程式を解いてみよう。散乱データは固有値 − κ 1 2 -\kappa_1^2 − κ 1 2 c 1 > 0 c_1>0 c 1 > 0
e 1 ( x ) = c 1 e κ 1 x e_1(x)=c_1e^{\kappa_1x} e 1 ( x ) = c 1 e κ 1 x と書く。Jost 解の核表示に k = − i κ 1 k=-i\kappa_1 k = − i κ 1 c 1 c_1 c 1 ψ 1 = c 1 f − ( x , − i κ 1 ) \psi_1=c_1f_-(x,-i\kappa_1) ψ 1 = c 1 f − ( x , − i κ 1 )
ψ 1 ( x ) = e 1 ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e 1 ( z ) d z . (55) \begin{aligned}
\psi_1(x)=e_1(x)+\int_{-\infty}^xK(x,z)e_1(z)\,dz.
\end{aligned}
\tag{55} ψ 1 ( x ) = e 1 ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e 1 ( z ) d z . ( 55 ) と表される。
ここで散乱データ関数は F ( x + y ) = e 1 ( x ) e 1 ( y ) F(x+y)=e_1(x)e_1(y) F ( x + y ) = e 1 ( x ) e 1 ( y )
K ( x , y ) + e 1 ( y ) [ e 1 ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e 1 ( z ) d z ] = 0. K(x,y)+e_1(y)\left[e_1(x)+\int_{-\infty}^xK(x,z)e_1(z)\,dz\right]=0. K ( x , y ) + e 1 ( y ) [ e 1 ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e 1 ( z ) d z ] = 0. 角括弧は式 (55) の ψ 1 ( x ) \psi_1(x) ψ 1 ( x )
K ( x , y ) = − ψ 1 ( x ) e 1 ( y ) . (56) K(x,y)=-\psi_1(x)e_1(y).
\tag{56} K ( x , y ) = − ψ 1 ( x ) e 1 ( y ) . ( 56 ) 固定した x x x ψ 1 ( x ) \psi_1(x) ψ 1 ( x )
ψ 1 ( x ) = e 1 ( x ) − ψ 1 ( x ) ∫ − ∞ x e 1 ( z ) 2 d z . \psi_1(x)=e_1(x)-\psi_1(x)\int_{-\infty}^xe_1(z)^2\,dz. ψ 1 ( x ) = e 1 ( x ) − ψ 1 ( x ) ∫ − ∞ x e 1 ( z ) 2 d z . 積分は e 1 ( x ) 2 / ( 2 κ 1 ) e_1(x)^2/(2\kappa_1) e 1 ( x ) 2 / ( 2 κ 1 )
ψ 1 ( x ) = e 1 ( x ) 1 + e 1 ( x ) 2 / ( 2 κ 1 ) . (57) \boxed{\psi_1(x)=\frac{e_1(x)}{1+e_1(x)^2/(2\kappa_1)}.}
\tag{57} ψ 1 ( x ) = 1 + e 1 ( x ) 2 / ( 2 κ 1 ) e 1 ( x ) . ( 57 ) 自由方程式の解 e 1 e_1 e 1 ψ 1 \psi_1 ψ 1
ポテンシャルは核の対角値から得られる。式 (56) と (57) より
K ( x , x ) = − e 1 ( x ) 2 1 + e 1 ( x ) 2 / ( 2 κ 1 ) . (58) K(x,x)=-\frac{e_1(x)^2}{1+e_1(x)^2/(2\kappa_1)}.
\tag{58} K ( x , x ) = − 1 + e 1 ( x ) 2 / ( 2 κ 1 ) e 1 ( x ) 2 . ( 58 ) 波形の中心を読み取るため、分母の二項が等しくなる位置を x 0 x_0 x 0 c 1 2 e 2 κ 1 x 0 / ( 2 κ 1 ) = 1 c_1^2e^{2\kappa_1x_0}/(2\kappa_1)=1 c 1 2 e 2 κ 1 x 0 / ( 2 κ 1 ) = 1
e 1 ( x ) 2 2 κ 1 = e 2 κ 1 ( x − x 0 ) , K ( x , x ) = − κ 1 [ 1 + tanh ( κ 1 ( x − x 0 ) ) ] . (59) \frac{e_1(x)^2}{2\kappa_1}=e^{2\kappa_1(x-x_0)},\qquad
K(x,x)=-\kappa_1\left[1+\tanh\!\bigl(\kappa_1(x-x_0)\bigr)\right].
\tag{59} 2 κ 1 e 1 ( x ) 2 = e 2 κ 1 ( x − x 0 ) , K ( x , x ) = − κ 1 [ 1 + tanh ( κ 1 ( x − x 0 ) ) ] . ( 59 ) 対角復元式 u = 2 d K ( x , x ) / d x u=2\,dK(x,x)/dx u = 2 d K ( x , x ) / d x
u ( x ) = − 2 κ 1 2 sech 2 ( κ 1 ( x − x 0 ) ) . (60) \boxed{u(x)=-2\kappa_1^2\operatorname{sech}^2\!\bigl(\kappa_1(x-x_0)\bigr).}
\tag{60} u ( x ) = − 2 κ 1 2 sech 2 ( κ 1 ( x − x 0 ) ) . ( 60 ) 固有値を指定する κ 1 \kappa_1 κ 1 − 2 κ 1 2 -2\kappa_1^2 − 2 κ 1 2 1 / κ 1 1/\kappa_1 1/ κ 1 c 1 c_1 c 1 x 0 x_0 x 0
第2節の時間発展 c 1 ( t ) = c 1 ( 0 ) e − 4 κ 1 3 t c_1(t)=c_1(0)e^{-4\kappa_1^3t} c 1 ( t ) = c 1 ( 0 ) e − 4 κ 1 3 t c 1 ( t ) 2 e 2 κ 1 x 0 ( t ) / ( 2 κ 1 ) = 1 c_1(t)^2e^{2\kappa_1x_0(t)}/(2\kappa_1)=1 c 1 ( t ) 2 e 2 κ 1 x 0 ( t ) / ( 2 κ 1 ) = 1
x 0 ( t ) = x 0 ( 0 ) + 4 κ 1 2 t (61) x_0(t)=x_0(0)+4\kappa_1^2t
\tag{61} x 0 ( t ) = x 0 ( 0 ) + 4 κ 1 2 t ( 61 ) となる。κ 1 \kappa_1 κ 1 4 κ 1 2 4\kappa_1^2 4 κ 1 2 η = − u \eta=-u η = − u 2 κ 1 2 2\kappa_1^2 2 κ 1 2
最小値 −2.00 ／ 幅の尺度 1.00 ／ 規格化定数の二乗 2.00
上段はポテンシャル、下段は変換核の対角値。破線は中心位置を示す。いずれも固定した時刻の再構成である。
3.3.2. GLM方程式の行列表示
一つの束縛状態からソリトンを復元できた。同じ構成を N N N − κ n 2 -\kappa_n^2 − κ n 2 c n c_n c n c n > 0 c_n>0 c n > 0
θ n ( x ) = κ n x + log c n , n = 1 , … , N (62) \theta_n(x)=\kappa_nx+\log c_n,\qquad n=1,\ldots,N
\tag{62} θ n ( x ) = κ n x + log c n , n = 1 , … , N ( 62 ) と書く。従って、左端での形は e θ n ( x ) = c n e κ n x e^{\theta_n(x)}=c_ne^{\kappa_nx} e θ n ( x ) = c n e κ n x
束縛状態の波形も、この指数関数と核 K K K
f − ( x , k ) = e i k x + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e i k z d z f_-(x,k)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^xK(x,z)e^{ikz}\,dz f − ( x , k ) = e ik x + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e ik z d z である。k = − i κ n k=-i\kappa_n k = − i κ n c n c_n c n ψ n = c n f − ( x , − i κ n ) \psi_n=c_nf_-(x,-i\kappa_n) ψ n = c n f − ( x , − i κ n )
ψ n ( x ) = e θ n ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e θ n ( z ) d z . (63) \psi_n(x)=e^{\theta_n(x)}+\int_{-\infty}^xK(x,z)e^{\theta_n(z)}\,dz.
\tag{63} ψ n ( x ) = e θ n ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e θ n ( z ) d z . ( 63 ) e θ n e^{\theta_n} e θ n ψ n \psi_n ψ n
核を求める GLM 方程式の既知関数 F F F
F ( s ) = ∑ n = 1 N c n 2 e κ n s , F ( x + y ) = ∑ n = 1 N e θ n ( x ) e θ n ( y ) \begin{aligned}
F(s)&=\sum_{n=1}^N c_n^2e^{\kappa_ns},\\
F(x+y)&=\sum_{n=1}^N e^{\theta_n(x)}e^{\theta_n(y)}
\end{aligned} F ( s ) F ( x + y ) = n = 1 ∑ N c n 2 e κ n s , = n = 1 ∑ N e θ n ( x ) e θ n ( y ) となる。この F F F K K K
K ( x , y ) + F ( x + y ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) F ( z + y ) d z = 0 , y < x . K(x,y)+F(x+y)+\int_{-\infty}^xK(x,z)F(z+y)\,dz=0,\qquad y<x. K ( x , y ) + F ( x + y ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) F ( z + y ) d z = 0 , y < x . ここに上の指数関数の和を代入し、e θ n ( y ) e^{\theta_n(y)} e θ n ( y )
K ( x , y ) + ∑ n = 1 N e θ n ( y ) [ e θ n ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e θ n ( z ) d z ] = 0. (64) K(x,y)+\sum_{n=1}^N e^{\theta_n(y)}\Bigl[e^{\theta_n(x)}+\int_{-\infty}^xK(x,z)e^{\theta_n(z)}\,dz\Bigr]=0.
\tag{64} K ( x , y ) + n = 1 ∑ N e θ n ( y ) [ e θ n ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , z ) e θ n ( z ) d z ] = 0. ( 64 ) 角括弧は式 (63) の ψ n ( x ) \psi_n(x) ψ n ( x )
K ( x , y ) = − ∑ n = 1 N ψ n ( x ) e θ n ( y ) . (65) \boxed{K(x,y)=-\sum_{n=1}^N\psi_n(x)e^{\theta_n(y)}.}
\tag{65} K ( x , y ) = − n = 1 ∑ N ψ n ( x ) e θ n ( y ) . ( 65 ) 指数関数を束縛状態へ変える核が、その束縛状態自身で書けた。固定した x x x y y y N N N N N N ψ n ( x ) \psi_n(x) ψ n ( x )
この核を ψ m \psi_m ψ m
ψ m ( x ) + ∑ n = 1 N [ ∫ − ∞ x e θ m ( z ) + θ n ( z ) d z ] ψ n ( x ) = e θ m ( x ) . (66) \psi_m(x)+\sum_{n=1}^N
\left[\int_{-\infty}^x e^{\theta_m(z)+\theta_n(z)}\,dz\right]\psi_n(x)=e^{\theta_m(x)}.
\tag{66} ψ m ( x ) + n = 1 ∑ N [ ∫ − ∞ x e θ m ( z ) + θ n ( z ) d z ] ψ n ( x ) = e θ m ( x ) . ( 66 ) 角括弧は、二つの指数関数の積を左端から x x x
C m n ( x ) = ∫ − ∞ x e θ m ( z ) + θ n ( z ) d z = e θ m ( x ) + θ n ( x ) κ m + κ n (67) \begin{aligned}
C_{mn}(x)&=\int_{-\infty}^x e^{\theta_m(z)+\theta_n(z)}\,dz\\
&=\frac{e^{\theta_m(x)+\theta_n(x)}}{\kappa_m+\kappa_n}
\end{aligned}
\tag{67} C mn ( x ) = ∫ − ∞ x e θ m ( z ) + θ n ( z ) d z = κ m + κ n e θ m ( x ) + θ n ( x ) ( 67 ) ここで θ = ( θ 1 , … , θ N ) T \boldsymbol\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_N)^{\mathsf T} θ = ( θ 1 , … , θ N ) T e θ e^{\boldsymbol\theta} e θ
( I + C ) ψ = e θ , ψ = ( ψ 1 , … , ψ N ) T , e θ = ( e θ 1 , … , e θ N ) T . (68) \begin{gathered}
(I+C)\boldsymbol\psi=e^{\boldsymbol\theta},\\
\boldsymbol\psi=(\psi_1,\ldots,\psi_N)^{\mathsf T},\\
e^{\boldsymbol\theta}=(e^{\theta_1},\ldots,e^{\theta_N})^{\mathsf T}.
\end{gathered}
\tag{68} ( I + C ) ψ = e θ , ψ = ( ψ 1 , … , ψ N ) T , e θ = ( e θ 1 , … , e θ N ) T . ( 68 ) となる。I I I N N N C C C ( − ∞ , x ] (-\infty,x] ( − ∞ , x ] e θ 1 , … , e θ N e^{\theta_1},\ldots,e^{\theta_N} e θ 1 , … , e θ N C C C I + C I+C I + C 1 1 1 I + C I+C I + C x x x ψ = ( I + C ) − 1 e θ \boldsymbol\psi=(I+C)^{-1}e^{\boldsymbol\theta} ψ = ( I + C ) − 1 e θ
非対角成分 C m n C_{mn} C mn m m m ψ n \psi_n ψ n
連立方程式の一意可解性
実列ベクトル α = ( α 1 , … , α N ) T ≠ 0 \boldsymbol\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_N)^{\mathsf T}\ne0 α = ( α 1 , … , α N ) T = 0 C C C
α T C α = ∫ − ∞ x ( ∑ n α n e θ n ( z ) ) 2 d z > 0. \boldsymbol\alpha^{\mathsf T}C\boldsymbol\alpha=\int_{-\infty}^x\left(\sum_n\alpha_ne^{\theta_n(z)}\right)^2dz>0. α T C α = ∫ − ∞ x ( n ∑ α n e θ n ( z ) ) 2 d z > 0. 固有値に対応する κ n \kappa_n κ n e κ n z e^{\kappa_nz} e κ n z C C C I + C I+C I + C
3.3.3. 多ソリトン解の行列式表示
ポテンシャルの復元に必要なのは核の対角値である。式 (65) で y = x y=x y = x
K ( x , x ) = − ( e θ ) T ψ , u ( x ) = − 2 d d x ( ( e θ ) T ψ ) . (69) \begin{gathered}
K(x,x)=-\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}\boldsymbol\psi,
\\
u(x)=-2\frac{d}{dx}(\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}\boldsymbol\psi).
\end{gathered}
\tag{69} K ( x , x ) = − ( e θ ) T ψ , u ( x ) = − 2 d x d ( ( e θ ) T ψ ) . ( 69 ) ここまでは連立方程式で ψ \boldsymbol\psi ψ C C C
u ( x ) = − 2 d 2 d x 2 log det ( I + C ( x ) ) (70) \boxed{u(x)=-2\frac{d^2}{dx^2}\log\det(I+C(x))}
\tag{70} u ( x ) = − 2 d x 2 d 2 log det ( I + C ( x )) ( 70 ) と表せる。これなら各束縛状態の波形 ψ n \psi_n ψ n
この式を確かめるには、対角値に現れた ( e θ ) T ψ \bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}\boldsymbol\psi ( e θ ) T ψ log det ( I + C ) \log\det(I+C) log det ( I + C ) C C C d C d x = e θ ( e θ ) T \frac{dC}{dx}=e^{\boldsymbol\theta}\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T} d x d C = e θ ( e θ ) T ψ = ( I + C ) − 1 e θ \boldsymbol\psi=(I+C)^{-1}e^{\boldsymbol\theta} ψ = ( I + C ) − 1 e θ
d d x log det ( I + C ) = tr ( ( I + C ) − 1 ∂ x C ) = ( e θ ) T ( I + C ) − 1 e θ = ( e θ ) T ψ . (71) \begin{aligned}
\frac{d}{dx}\log\det(I+C)
&=\operatorname{tr}\!\left((I+C)^{-1}\partial_x C\right)\\
&=\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}(I+C)^{-1} e^{\boldsymbol\theta}\\
&=\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}\boldsymbol\psi.
\end{aligned}
\tag{71} d x d log det ( I + C ) = tr ( ( I + C ) − 1 ∂ x C ) = ( e θ ) T ( I + C ) − 1 e θ = ( e θ ) T ψ . ( 71 ) これを対角復元式 (69) に代入すれば、上のポテンシャルの表示が得られる。
時間発展を戻すには、第2節で求めた c n ( t ) = c n ( 0 ) e − 4 κ n 3 t c_n(t)=c_n(0)e^{-4\kappa_n^3t} c n ( t ) = c n ( 0 ) e − 4 κ n 3 t
θ n ( x , t ) = κ n x − 4 κ n 3 t + log c n ( 0 ) , C m n ( x , t ) = e θ m ( x , t ) + θ n ( x , t ) κ m + κ n (72) \begin{gathered}
\theta_n(x,t)=\kappa_nx-4\kappa_n^3t+\log c_n(0),\\
C_{mn}(x,t)=\frac{e^{\theta_m(x,t)+\theta_n(x,t)}}{\kappa_m+\kappa_n}
\end{gathered}
\tag{72} θ n ( x , t ) = κ n x − 4 κ n 3 t + log c n ( 0 ) , C mn ( x , t ) = κ m + κ n e θ m ( x , t ) + θ n ( x , t ) ( 72 ) を式 (70) に入れると、N N N N = 1 N=1 N = 1 det ( I + C ) = 1 + c ( t ) 2 e 2 κ x / ( 2 κ ) \det(I+C)=1+c(t)^2e^{2\kappa x}/(2\kappa) det ( I + C ) = 1 + c ( t ) 2 e 2 κ x / ( 2 κ )
3.3.4. ソリトンの衝突と位置のずれ
二つの束縛状態があるとき、二ソリトン解と、一ソリトンを二つ足した波形はどこが違うのだろうか。行列式を展開すると、
det ( I + C ) = 1 + C 11 + C 22 + C 11 C 22 − C 12 2 = 1 + C 11 + C 22 + ( κ 1 − κ 2 κ 1 + κ 2 ) 2 C 11 C 22 . (73) \begin{aligned}
\det(I+C)
&=1+C_{11}+C_{22}+C_{11}C_{22}-C_{12}^2\\
&=1+C_{11}+C_{22}
+\left(\frac{\kappa_1-\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\right)^2C_{11}C_{22}.
\end{aligned}
\tag{73} det ( I + C ) = 1 + C 11 + C 22 + C 11 C 22 − C 12 2 = 1 + C 11 + C 22 + ( κ 1 + κ 2 κ 1 − κ 2 ) 2 C 11 C 22 . ( 73 ) となる。二行目では C 12 2 / ( C 11 C 22 ) = 4 κ 1 κ 2 / ( κ 1 + κ 2 ) 2 C_{12}^2/(C_{11}C_{22})=4\kappa_1\kappa_2/(\kappa_1+\kappa_2)^2 C 12 2 / ( C 11 C 22 ) = 4 κ 1 κ 2 / ( κ 1 + κ 2 ) 2
これを ( 1 + C 11 ) ( 1 + C 22 ) (1+C_{11})(1+C_{22}) ( 1 + C 11 ) ( 1 + C 22 )
− 2 ∂ x 2 log [ ( 1 + C 11 ) ( 1 + C 22 ) ] = − 2 ∂ x 2 log ( 1 + C 11 ) − 2 ∂ x 2 log ( 1 + C 22 ) , -2\partial_x^2\log[(1+C_{11})(1+C_{22})]
=-2\partial_x^2\log(1+C_{11})-2\partial_x^2\log(1+C_{22}), − 2 ∂ x 2 log [( 1 + C 11 ) ( 1 + C 22 )] = − 2 ∂ x 2 log ( 1 + C 11 ) − 2 ∂ x 2 log ( 1 + C 22 ) , となり、ポテンシャルは二つの一ソリトンの単純な和になる。実際の行列式では、C 11 C 22 C_{11}C_{22} C 11 C 22 1 1 1 ( ( κ 1 − κ 2 ) / ( κ 1 + κ 2 ) ) 2 ((\kappa_1-\kappa_2)/(\kappa_1+\kappa_2))^2 (( κ 1 − κ 2 ) / ( κ 1 + κ 2 ) ) 2
その違いを、衝突前後の位置のずれとして読んでみよう。二つのソリトンが十分離れたとき、第1のソリトンの中心付近で C 22 C_{22} C 22 1 + C 11 1+C_{11} 1 + C 11 C 22 C_{22} C 22
det ( I + C ) ≃ C 22 [ 1 + ( κ 1 − κ 2 κ 1 + κ 2 ) 2 C 11 ] . \det(I+C)\simeq C_{22}\left[1+
\left(\frac{\kappa_1-\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\right)^2 C_{11}\right]. det ( I + C ) ≃ C 22 [ 1 + ( κ 1 + κ 2 κ 1 − κ 2 ) 2 C 11 ] . log C 22 \log C_{22} log C 22 x x x 0 0 0 − 2 ∂ x 2 log ( 1 + 定数 × C 11 ) -2\partial_x^2\log(1+\text{定数}\times C_{11}) − 2 ∂ x 2 log ( 1 + 定数 × C 11 )
まず、一ソリトンの谷の中心を式で確かめよう。C 11 C_{11} C 11 x x x e 2 κ 1 x e^{2\kappa_1x} e 2 κ 1 x
− 2 ∂ x 2 log ( 1 + C 11 ) = − 8 κ 1 2 C 11 ( 1 + C 11 ) 2 . -2\partial_x^2\log(1+C_{11})
=-8\kappa_1^2\frac{C_{11}}{(1+C_{11})^2}. − 2 ∂ x 2 log ( 1 + C 11 ) = − 8 κ 1 2 ( 1 + C 11 ) 2 C 11 . C 11 > 0 C_{11}>0 C 11 > 0 C 11 / ( 1 + C 11 ) 2 C_{11}/(1+C_{11})^2 C 11 / ( 1 + C 11 ) 2 C 11 = 1 C_{11}=1 C 11 = 1
C 11 ∝ e 2 κ 1 x − 8 κ 1 3 t C_{11}\propto e^{2\kappa_1x-8\kappa_1^3t} C 11 ∝ e 2 κ 1 x − 8 κ 1 3 t
C 11 = 1 , ( κ 1 − κ 2 κ 1 + κ 2 ) 2 C 11 = 1 C_{11}=1,\qquad
\left(\frac{\kappa_1-\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\right)^2 C_{11}=1 C 11 = 1 , ( κ 1 + κ 2 κ 1 − κ 2 ) 2 C 11 = 1 であり、後者の中心は前者より
− 1 2 κ 1 log ( κ 1 − κ 2 κ 1 + κ 2 ) 2 -\frac{1}{2\kappa_1}\log\left(\frac{\kappa_1-\kappa_2}{\kappa_1+\kappa_2}\right)^2 − 2 κ 1 1 log ( κ 1 + κ 2 κ 1 − κ 2 ) 2 だけ右にある。ここでは二つの領域の位置を比較した。時間の順序も、x ≃ 4 κ 1 2 t + 定数 x\simeq4\kappa_1^2t+\text{定数} x ≃ 4 κ 1 2 t + 定数 C 22 ∝ exp [ 8 κ 2 ( κ 1 2 − κ 2 2 ) t ] C_{22}\propto\exp[8\kappa_2(\kappa_1^2-\kappa_2^2)t] C 22 ∝ exp [ 8 κ 2 ( κ 1 2 − κ 2 2 ) t ] κ 1 > κ 2 \kappa_1>\kappa_2 κ 1 > κ 2 κ 1 < κ 2 \kappa_1<\kappa_2 κ 1 < κ 2
Time t t t 0.00 上段は行列式から計算した二ソリトンのポテンシャル。下段は行列式の四つの項を、それぞれ行列式全体で割った値（0から1）である。時刻を変えると、二つの谷の移動と、各項の寄与が変わる位置を同じ横軸で比較できる。κ 1 = 1 , κ 2 = 2 , C 11 ( x , 0 ) = 3 e 2 x , C 22 ( x , 0 ) = 3 e 4 x \kappa_1=1,\;\kappa_2=2,\;C_{11}(x,0)=3e^{2x},\;C_{22}(x,0)=3e^{4x} κ 1 = 1 , κ 2 = 2 , C 11 ( x , 0 ) = 3 e 2 x , C 22 ( x , 0 ) = 3 e 4 x
一般の N N N S ⊆ { 1 , … , N } S\subseteq\{1,\ldots,N\} S ⊆ { 1 , … , N } ( ( κ i − κ j ) / ( κ i + κ j ) ) 2 ((\kappa_i-\kappa_j)/(\kappa_i+\kappa_j))^2 (( κ i − κ j ) / ( κ i + κ j ) ) 2
主小行列式と相互作用因子
C S , S C_{S,S} C S , S S S S I + C I+C I + C I I I C C C C C C S S S det C S , S \det C_{S,S} det C S , S 1 1 1
det ( I + C ) = ∑ S ⊆ { 1 , … , N } det C S , S (74) \det(I+C)=\sum_{S\subseteq\{1,\ldots,N\}}\det C_{S,S}
\tag{74} det ( I + C ) = S ⊆ { 1 , … , N } ∑ det C S , S ( 74 ) である。各行と各列から e θ i e^{\theta_i} e θ i
det C S , S = ( ∏ i ∈ S e 2 θ i ) det [ 1 κ i + κ j ] i , j ∈ S . \det C_{S,S}=\left(\prod_{i\in S}e^{2\theta_i}\right)\det\left[\frac{1}{\kappa_i+\kappa_j}\right]_{i,j\in S}. det C S , S = ( i ∈ S ∏ e 2 θ i ) det [ κ i + κ j 1 ] i , j ∈ S . 残った行列式は Cauchy の行列式であり、
det [ 1 κ i + κ j ] i , j ∈ S = ( ∏ i ∈ S 1 2 κ i ) ∏ i < j i , j ∈ S ( κ i − κ j κ i + κ j ) 2 \det\left[\frac{1}{\kappa_i+\kappa_j}\right]_{i,j\in S}
=\left(\prod_{i\in S}\frac{1}{2\kappa_i}\right)
\prod_{\substack{i<j\\i,j\in S}}
\left(\frac{\kappa_i-\kappa_j}{\kappa_i+\kappa_j}\right)^2 det [ κ i + κ j 1 ] i , j ∈ S = ( i ∈ S ∏ 2 κ i 1 ) i < j i , j ∈ S ∏ ( κ i + κ j κ i − κ j ) 2 となる。従って、
det C S , S = ∏ i ∈ S C i i ∏ i < j i , j ∈ S ( κ i − κ j κ i + κ j ) 2 . (75) \det C_{S,S}
=\prod_{i\in S}C_{ii}
\prod_{\substack{i<j\\i,j\in S}}
\left(\frac{\kappa_i-\kappa_j}{\kappa_i+\kappa_j}\right)^2.
\tag{75} det C S , S = i ∈ S ∏ C ii i < j i , j ∈ S ∏ ( κ i + κ j κ i − κ j ) 2 . ( 75 ) 各部分集合の項には、その中の全ての組の係数が一つずつ現れる。
Cauchy の行列式の公式も、行の基本変形で確認できる。まず添字全体 1 , … , N 1,\ldots,N 1 , … , N m m m m ≥ 2 m\ge2 m ≥ 2 2 κ 1 / ( κ m + κ 1 ) 2\kappa_1/(\kappa_m+\kappa_1) 2 κ 1 / ( κ m + κ 1 ) 0 0 0 m , n ≥ 2 m,n\ge2 m , n ≥ 2
1 κ m + κ n − 2 κ 1 ( κ m + κ 1 ) ( κ 1 + κ n ) = κ m − κ 1 κ m + κ 1 1 κ m + κ n κ n − κ 1 κ n + κ 1 . \begin{aligned}
\frac{1}{\kappa_m+\kappa_n}
-\frac{2\kappa_1}{(\kappa_m+\kappa_1)(\kappa_1+\kappa_n)}
&=\frac{\kappa_m-\kappa_1}{\kappa_m+\kappa_1}
\frac{1}{\kappa_m+\kappa_n}
\frac{\kappa_n-\kappa_1}{\kappa_n+\kappa_1}.
\end{aligned} κ m + κ n 1 − ( κ m + κ 1 ) ( κ 1 + κ n ) 2 κ 1 = κ m + κ 1 κ m − κ 1 κ m + κ n 1 κ n + κ 1 κ n − κ 1 . 第一列で余因子展開し、残る行と列から左右の因子をそれぞれくくり出すと、
det [ 1 κ m + κ n ] m , n = 1 N = 1 2 κ 1 ∏ n = 2 N ( κ n − κ 1 κ n + κ 1 ) 2 det [ 1 κ m + κ n ] m , n = 2 N . \det\left[\frac{1}{\kappa_m+\kappa_n}\right]_{m,n=1}^N
=\frac{1}{2\kappa_1}
\prod_{n=2}^N\left(\frac{\kappa_n-\kappa_1}{\kappa_n+\kappa_1}\right)^2
\det\left[\frac{1}{\kappa_m+\kappa_n}\right]_{m,n=2}^N. det [ κ m + κ n 1 ] m , n = 1 N = 2 κ 1 1 n = 2 ∏ N ( κ n + κ 1 κ n − κ 1 ) 2 det [ κ m + κ n 1 ] m , n = 2 N . 同じ操作を繰り返すと、各添字から 1 / ( 2 κ i ) 1/(2\kappa_i) 1/ ( 2 κ i ) S S S
復元したポテンシャルは、束縛状態の波形を使って
u ( x , t ) = − 4 ∑ n = 1 N κ n ψ n ( x , t ) 2 (76) u(x,t)=-4\sum_{n=1}^N\kappa_n\psi_n(x,t)^2
\tag{76} u ( x , t ) = − 4 n = 1 ∑ N κ n ψ n ( x , t ) 2 ( 76 ) とも表せる。左端の指数関数から連立方程式で求めた ψ n \psi_n ψ n
束縛状態の固有方程式と規格化
式 (63) は ψ n = c n f − ( x , − i κ n ) \psi_n=c_nf_-(x,-i\kappa_n) ψ n = c n f − ( x , − i κ n ) L f − ( x , k ) = k 2 f − ( x , k ) Lf_-(x,k)=k^2f_-(x,k) L f − ( x , k ) = k 2 f − ( x , k )
L ψ n = − κ n 2 ψ n . L\psi_n=-\kappa_n^2\psi_n. L ψ n = − κ n 2 ψ n . 規格化は連立方程式からも確かめられる。d C d x = e θ ( e θ ) T \frac{dC}{dx}=e^{\boldsymbol\theta}\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T} d x d C = e θ ( e θ ) T
d d x ( I + C ) − 1 = − ( I + C ) − 1 e θ ( e θ ) T ( I + C ) − 1 = − ψ ψ T . (77) \begin{aligned}
\frac{d}{dx}(I+C)^{-1}
&=-(I+C)^{-1}e^{\boldsymbol\theta}\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}(I+C)^{-1}\\
&=-\boldsymbol\psi\boldsymbol\psi^{\mathsf T}.
\end{aligned}
\tag{77} d x d ( I + C ) − 1 = − ( I + C ) − 1 e θ ( e θ ) T ( I + C ) − 1 = − ψ ψ T . ( 77 ) x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ C → 0 C\to0 C → 0 ( I + C ) − 1 → I (I+C)^{-1}\to I ( I + C ) − 1 → I C m n ( x ) = e κ m x C m n ( 0 ) e κ n x C_{mn}(x)=e^{\kappa_mx}C_{mn}(0)e^{\kappa_nx} C mn ( x ) = e κ m x C mn ( 0 ) e κ n x
[ C ( x ) − 1 ] m n = e − κ m x [ C ( 0 ) − 1 ] m n e − κ n x ⟶ 0 ( x → + ∞ ) . [C(x)^{-1}]_{mn}=e^{-\kappa_mx}[C(0)^{-1}]_{mn}e^{-\kappa_nx}\longrightarrow0
\qquad(x\to+\infty). [ C ( x ) − 1 ] mn = e − κ m x [ C ( 0 ) − 1 ] mn e − κ n x ⟶ 0 ( x → + ∞ ) . 従って ( I + C ) − 1 = C − 1 ( I + C − 1 ) − 1 → 0 (I+C)^{-1}=C^{-1}(I+C^{-1})^{-1}\to0 ( I + C ) − 1 = C − 1 ( I + C − 1 ) − 1 → 0
∫ R ψ m ( x ) ψ n ( x ) d x = δ m n (78) \int_{\mathbb R}\psi_m(x)\psi_n(x)\,dx=\delta_{mn}
\tag{78} ∫ R ψ m ( x ) ψ n ( x ) d x = δ mn ( 78 ) を得る。ここで δ m n \delta_{mn} δ mn m = n m=n m = n
束縛状態の二乗和によるポテンシャルの表示
e θ n = ψ n + ∑ m C n m ψ m e^{\theta_n}=\psi_n+\sum_mC_{nm}\psi_m e θ n = ψ n + ∑ m C nm ψ m C m n = C n m C_{mn}=C_{nm} C mn = C nm ( κ m + κ n ) C m n = e θ m + θ n (\kappa_m+\kappa_n)C_{mn}=e^{\theta_m+\theta_n} ( κ m + κ n ) C mn = e θ m + θ n
2 ∑ n κ n e θ n ψ n = 2 ∑ n κ n ψ n 2 + ∑ m , n e θ m + θ n ψ m ψ n = 2 ∑ n κ n ψ n 2 + ( ( e θ ) T ψ ) 2 . (79) \begin{aligned}
2\sum_n\kappa_ne^{\theta_n}\psi_n
&=2\sum_n\kappa_n\psi_n^2+\sum_{m,n}e^{\theta_m+\theta_n}\psi_m\psi_n\\
&=2\sum_n\kappa_n\psi_n^2+(\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}\boldsymbol\psi)^2.
\end{aligned}
\tag{79} 2 n ∑ κ n e θ n ψ n = 2 n ∑ κ n ψ n 2 + m , n ∑ e θ m + θ n ψ m ψ n = 2 n ∑ κ n ψ n 2 + ( ( e θ ) T ψ ) 2 . ( 79 ) 一方、( e θ ) T ψ = ( e θ ) T ( I + C ) − 1 e θ \bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}\boldsymbol\psi=\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}(I+C)^{-1}e^{\boldsymbol\theta} ( e θ ) T ψ = ( e θ ) T ( I + C ) − 1 e θ ∂ x θ n = κ n \partial_x\theta_n=\kappa_n ∂ x θ n = κ n
d d x ( ( e θ ) T ψ ) = 2 ∑ n κ n e θ n ψ n − [ ( e θ ) T ψ ] 2 = 2 ∑ n κ n ψ n 2 . (80) \begin{aligned}
\frac{d}{dx}(\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}\boldsymbol\psi)
&=2\sum_n\kappa_ne^{\theta_n}\psi_n-\left[\bigl(e^{\boldsymbol\theta}\bigr)^{\mathsf T}\boldsymbol\psi\right]^2\\
&=2\sum_n\kappa_n\psi_n^2.
\end{aligned}
\tag{80} d x d ( ( e θ ) T ψ ) = 2 n ∑ κ n e θ n ψ n − [ ( e θ ) T ψ ] 2 = 2 n ∑ κ n ψ n 2 . ( 80 ) これを対角復元式 (69) に代入すれば u = − 4 ∑ n κ n ψ n 2 u=-4\sum_n\kappa_n\psi_n^2 u = − 4 ∑ n κ n ψ n 2
4. KdV階層と保存量
4.1. 積分変換と擬微分作用素
KdV の Lax 方程式に現れた B = − 4 ∂ x 3 + 6 u ∂ x + 3 u x B=-4\partial_x^3+6u\partial_x+3u_x B = − 4 ∂ x 3 + 6 u ∂ x + 3 u x u u u K K K
前節までに、固定したポテンシャル u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t )
f − ( x , k ) = e i k x + ∫ − ∞ x K ( x , y ) e i k y d y (81) f_-(x,k)=e^{ikx}+\int_{-\infty}^xK(x,y)e^{iky}\,dy
\tag{81} f − ( x , k ) = e ik x + ∫ − ∞ x K ( x , y ) e ik y d y ( 81 ) と表され、その同じ核の対角値から u = 2 d K ( x , x ) / d x u=2\,dK(x,x)/dx u = 2 d K ( x , x ) / d x t t t g g g
( S g ) ( x ) : = g ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , y ) g ( y ) d y (82) (Sg)(x):=g(x)+\int_{-\infty}^xK(x,y)g(y)\,dy
\tag{82} ( S g ) ( x ) := g ( x ) + ∫ − ∞ x K ( x , y ) g ( y ) d y ( 82 ) と書く。したがって S e i k x = f − ( x , k ) S e^{ikx}=f_-(x,k) S e ik x = f − ( x , k ) S S S K K K
この変換で微分はどう表されるだろうか。自由波を微分してから S S S P P P
P ( S g ) = S ( ∂ x g ) P(Sg)=S(\partial_x g) P ( S g ) = S ( ∂ x g ) となる。以下ではこの関係を擬微分作用素で具体化し、P P P − L -L − L
まず負の微分冪を使う意味を、積分変換と結び付けておく。左端で十分速く消える関数 g g g
( ∂ x − 1 g ) ( x ) : = ∫ − ∞ x g ( s ) d s (\partial_x^{-1}g)(x):=\int_{-\infty}^xg(s)\,ds ( ∂ x − 1 g ) ( x ) := ∫ − ∞ x g ( s ) d s と置ける。このとき左端の境界項は消え、∂ x ∂ x − 1 g = g \partial_x\partial_x^{-1}g=g ∂ x ∂ x − 1 g = g
係数関数と微分の積は可換ではない。たとえば、任意の滑らかな g g g
∂ x ( α g ) = α ∂ x g + α x g \partial_x(\alpha g)=\alpha\partial_xg+\alpha_xg ∂ x ( αg ) = α ∂ x g + α x g なので、演算子の積では ∂ x α = α ∂ x + α x \partial_x\alpha=\alpha\partial_x+\alpha_x ∂ x α = α ∂ x + α x ∂ = ∂ x \partial=\partial_x ∂ = ∂ x
A = ∑ j = − ∞ m α j ( x ) ∂ j A=\sum_{j=-\infty}^{m}\alpha_j(x)\partial^j A = j = − ∞ ∑ m α j ( x ) ∂ j という、次数に上限をもつ形式級数として導入する。その積は一般化 Leibniz 則
∂ m α = ∑ j ≥ 0 ( m j ) ( ∂ x j α ) ∂ m − j , ( m j ) = m ( m − 1 ) ⋯ ( m − j + 1 ) j ! , ( m 0 ) = 1 \partial^m\alpha=\sum_{j\ge0}\binom{m}{j}(\partial_x^j\alpha)\partial^{m-j},\qquad
\binom{m}{j}=\frac{m(m-1)\cdots(m-j+1)}{j!},\quad \binom m0=1 ∂ m α = j ≥ 0 ∑ ( j m ) ( ∂ x j α ) ∂ m − j , ( j m ) = j ! m ( m − 1 ) ⋯ ( m − j + 1 ) , ( 0 m ) = 1 で定める。たとえば ∂ − 1 α = α ∂ − 1 − α x ∂ − 2 + α x x ∂ − 3 − ⋯ \partial^{-1}\alpha=\alpha\partial^{-1}-\alpha_x\partial^{-2}+\alpha_{xx}\partial^{-3}-\cdots ∂ − 1 α = α ∂ − 1 − α x ∂ − 2 + α xx ∂ − 3 − ⋯ ∂ x − 1 \partial_x^{-1} ∂ x − 1 ( i k ) − r (ik)^{-r} ( ik ) − r
核 K K K S S S y y y y = x y=x y = x S S S
S = 1 + K ( x , x ) ∂ − 1 − ( ∂ y K ) ( x , x ) ∂ − 2 + ⋯ . (83) S=1+K(x,x)\partial^{-1}-(\partial_yK)(x,x)\partial^{-2}+\cdots.
\tag{83} S = 1 + K ( x , x ) ∂ − 1 − ( ∂ y K ) ( x , x ) ∂ − 2 + ⋯ . ( 83 ) この等式は、散乱問題で K K K u = 2 d K ( x , x ) / d x u=2\,dK(x,x)/dx u = 2 d K ( x , x ) / d x
この演算子を使う理由は、L L L k k k
L ( S e i k x ) = k 2 S e i k x = S ( − ∂ 2 e i k x ) . L(S e^{ikx})=k^2S e^{ikx}=S(-\partial^2 e^{ikx}). L ( S e ik x ) = k 2 S e ik x = S ( − ∂ 2 e ik x ) . つまり両辺は全ての実波数 k k k k 2 k^2 k 2
L S = S ( − ∂ 2 ) (84) LS=S(-\partial^2)
\tag{84} L S = S ( − ∂ 2 ) ( 84 ) を得る。
形式表示の S S S 1 1 1 Q : = S − 1 Q:=S-1 Q := S − 1 − 1 -1 − 1
S − 1 = 1 − Q + Q 2 − Q 3 + ⋯ S^{-1}=1-Q+Q^2-Q^3+\cdots S − 1 = 1 − Q + Q 2 − Q 3 + ⋯ となる。Q Q Q
P : = S ∂ S − 1 (85) P:=S\partial S^{-1}
\tag{85} P := S ∂ S − 1 ( 85 ) と定めれば、P S = S ∂ PS=S\partial PS = S ∂
P 2 = S ∂ 2 S − 1 = − L . P^2=S\partial^2S^{-1}=-L. P 2 = S ∂ 2 S − 1 = − L . したがって P P P ∂ \partial ∂ − L -L − L
Potential \text{Potential} Potential
S ( ∂ x g ) S(\partial_xg) S ( ∂ x g ) 左列で微分してから S S S S S S P P P S ( ∂ x g ) S(\partial_xg) S ( ∂ x g )
核の展開 (83) と P 2 = − L P^2=-L P 2 = − L
P = ( − L ) 1 / 2 = ∂ − u 2 ∂ − 1 + u x 4 ∂ − 2 + ⋯ . (86) P=(-L)^{1/2}=\partial-\frac{u}{2}\partial^{-1}+\frac{u_x}{4}\partial^{-2}+\cdots.
\tag{86} P = ( − L ) 1/2 = ∂ − 2 u ∂ − 1 + 4 u x ∂ − 2 + ⋯ . ( 86 ) となり、最初の負冪係数にも対角復元式と同じポテンシャルが現れる。係数を順に定める計算は補足に置く。
変換核の展開と形式平方根の係数
平面波 g ( y ) = e i k y g(y)=e^{iky} g ( y ) = e ik y K K K
∫ − ∞ x K ( x , y ) e i k y d y ∼ e i k x [ K ( x , x ) i k − K y ( x , x ) ( i k ) 2 + ⋯ ] \int_{-\infty}^x K(x,y)e^{iky}\,dy
\sim e^{ikx}\left[\frac{K(x,x)}{ik}-\frac{K_y(x,x)}{(ik)^2}+\cdots\right] ∫ − ∞ x K ( x , y ) e ik y d y ∼ e ik x [ ik K ( x , x ) − ( ik ) 2 K y ( x , x ) + ⋯ ] を得る。平面波上では ∂ − r \partial^{-r} ∂ − r ( i k ) − r (ik)^{-r} ( ik ) − r
次に P = ∂ + a 1 ∂ − 1 + a 2 ∂ − 2 + ⋯ P=\partial+a_1\partial^{-1}+a_2\partial^{-2}+\cdots P = ∂ + a 1 ∂ − 1 + a 2 ∂ − 2 + ⋯ ∂ a = a ∂ + a x \partial a=a\partial+a_x ∂ a = a ∂ + a x P 2 P^2 P 2 ∂ 0 \partial^0 ∂ 0 2 a 1 2a_1 2 a 1 ∂ − 1 \partial^{-1} ∂ − 1 2 a 2 + ( a 1 ) x 2a_2+(a_1)_x 2 a 2 + ( a 1 ) x P 2 = ∂ 2 − u P^2=\partial^2-u P 2 = ∂ 2 − u
a 1 = − u 2 , a 2 = u x 4 a_1=-\frac{u}{2},\qquad a_2=\frac{u_x}{4} a 1 = − 2 u , a 2 = 4 u x となる。以後も同じ係数比較で一つずつ決まる。
4.2. KdV階層
前節までの KdV 方程式では物理時間 t t t
L = − ∂ x 2 + u ( x , t ) , L t = [ − 4 ∂ x 3 + 6 u ∂ x + 3 u x , L ] L=-\partial_x^2+u(x,t),\qquad
L_t=[-4\partial_x^3+6u\partial_x+3u_x,L] L = − ∂ x 2 + u ( x , t ) , L t = [ − 4 ∂ x 3 + 6 u ∂ x + 3 u x , L ] という Lax 方程式で表された。ここで交換子は [ A , C ] = A C − C A [A,C]=AC-CA [ A , C ] = A C − C A t n t_n t n t 3 = − 4 t t_3=-4t t 3 = − 4 t ∂ t 3 = − ( 1 / 4 ) ∂ t \partial_{t_3}=-(1/4)\partial_t ∂ t 3 = − ( 1/4 ) ∂ t
∂ u ∂ t 3 = u x x x − 6 u u x 4 \frac{\partial u}{\partial t_3}=\frac{u_{xxx}-6uu_x}{4} ∂ t 3 ∂ u = 4 u xxx − 6 u u x と書ける。この節では、得られた一つの演算子 P P P
L = − ∂ 2 + u L=-\partial^2+u L = − ∂ 2 + u u t n u_{t_n} u t n [ B , L ] [B,L] [ B , L ] B B B
P n P^n P n L = − P 2 L=-P^2 L = − P 2 B B B P n P^n P n L L L
A ≥ 0 A_{\ge0} A ≥ 0 A A A ∂ j \partial^j ∂ j j ≥ 0 j\ge0 j ≥ 0 A < 0 A_{<0} A < 0
B n = ( P n ) ≥ 0 , n = 1 , 2 , … (87) B_n=\bigl(P^n\bigr)_{\ge0},\qquad n=1,2,\ldots
\tag{87} B n = ( P n ) ≥ 0 , n = 1 , 2 , … ( 87 ) と定める。P 2 = − L P^2=-L P 2 = − L P 2 m = ( − L ) m P^{2m}=(-L)^m P 2 m = ( − L ) m L L L n = 1 n=1 n = 1 B 1 = ∂ B_1=\partial B 1 = ∂ t 1 = x t_1=x t 1 = x x x x n ≥ 3 n\ge3 n ≥ 3 n = 3 n=3 n = 3 B 3 B_3 B 3 P 3 P^3 P 3
B 3 = ( P 3 ) ≥ 0 = ∂ 3 − 3 2 u ∂ − 3 4 u x , (88) B_3=(P^3)_{\ge0}=\partial^3-\frac32u\partial-\frac34u_x,
\tag{88} B 3 = ( P 3 ) ≥ 0 = ∂ 3 − 2 3 u ∂ − 4 3 u x , ( 88 ) となる。これは物理時間 t t t B B B − 1 / 4 -1/4 − 1/4
P n P^n P n L L L B n B_n B n L L L ( P n ) < 0 \bigl(P^n\bigr)_{<0} ( P n ) < 0
[ L , B n ] = − [ L , ( P n ) < 0 ] . (89) [L,B_n]=-[L,\bigl(P^n\bigr)_{<0}].
\tag{89} [ L , B n ] = − [ L , ( P n ) < 0 ] . ( 89 ) 負冪部分の最高次数は ∂ − 1 \partial^{-1} ∂ − 1 L = − ∂ 2 + u L=-\partial^2+u L = − ∂ 2 + u [ − ∂ 2 , α ∂ − 1 ] = − 2 α x − α x x ∂ − 1 [-\partial^2,\alpha\partial^{-1}]=-2\alpha_x-\alpha_{xx}\partial^{-1} [ − ∂ 2 , α ∂ − 1 ] = − 2 α x − α xx ∂ − 1 0 0 0 0 0 0 B n B_n B n L L L
∂ L ∂ t n = [ B n , L ] (90) \frac{\partial L}{\partial t_n}=[B_n,L]
\tag{90} ∂ t n ∂ L = [ B n , L ] ( 90 ) を与える。偶数 n n n n ≥ 3 n\ge3 n ≥ 3 t n t_n t n
4.3. 無限個の保存量
4.3.1. 演算子の冪のLax方程式
ここでは t 3 t_3 t 3 P P P P P P
P 2 = − L P^2=-L P 2 = − L
P t 3 P + P P t 3 = − L t 3 P_{t_3}P+PP_{t_3}=-L_{t_3} P t 3 P + P P t 3 = − L t 3 である。一方、Lax 方程式 L t 3 = [ B 3 , L ] L_{t_3}=[B_3,L] L t 3 = [ B 3 , L ] P 2 = − L P^2=-L P 2 = − L
[ B 3 , P ] P + P [ B 3 , P ] = [ B 3 , P 2 ] = − L t 3 [B_3,P]P+P[B_3,P]=[B_3,P^2]=-L_{t_3} [ B 3 , P ] P + P [ B 3 , P ] = [ B 3 , P 2 ] = − L t 3 となる。両式の差を取れば
( P t 3 − [ B 3 , P ] ) P + P ( P t 3 − [ B 3 , P ] ) = 0. \bigl(P_{t_3}-[B_3,P]\bigr)P+P\bigl(P_{t_3}-[B_3,P]\bigr)=0. ( P t 3 − [ B 3 , P ] ) P + P ( P t 3 − [ B 3 , P ] ) = 0. P P P ∂ \partial ∂ P t 3 − [ B 3 , P ] P_{t_3}-[B_3,P] P t 3 − [ B 3 , P ]
P t 3 = [ B 3 , P ] . (91) P_{t_3}=[B_3,P].
\tag{91} P t 3 = [ B 3 , P ] . ( 91 ) 積の微分則を使うと、各正整数 n n n
∂ ∂ t 3 P 2 n − 1 = [ B 3 , P 2 n − 1 ] (92) \frac{\partial}{\partial t_3}P^{2n-1}=[B_3,P^{2n-1}]
\tag{92} ∂ t 3 ∂ P 2 n − 1 = [ B 3 , P 2 n − 1 ] ( 92 ) が得られる。
4.3.2. 擬微分作用素の留数と保存則
これで、各奇数冪の t 3 t_3 t 3 x x x
ここで役立つのが、擬微分演算子の交換子では、∂ − 1 \partial^{-1} ∂ − 1 x x x
A = ∑ j α j ∂ j , res ∂ A = α − 1 (93) A=\sum_j\alpha_j\partial^j,\qquad
\operatorname{res}_{\partial}A=\alpha_{-1}
\tag{93} A = j ∑ α j ∂ j , res ∂ A = α − 1 ( 93 ) と書き、A A A
∂ ∂ t 3 res ∂ P 2 n − 1 = res ∂ [ B 3 , P 2 n − 1 ] . (94) \frac{\partial}{\partial t_3}\operatorname{res}_{\partial}P^{2n-1}
=\operatorname{res}_{\partial}[B_3,P^{2n-1}].
\tag{94} ∂ t 3 ∂ res ∂ P 2 n − 1 = res ∂ [ B 3 , P 2 n − 1 ] . ( 94 ) 右辺が全微分になることを、以下で確かめよう。
この確認では演算子全体を展開する必要はない。二つの単項式 α ∂ m \alpha\partial^m α ∂ m β ∂ n \beta\partial^n β ∂ n ∂ m β \partial^m\beta ∂ m β ∂ m + n − r \partial^{m+n-r} ∂ m + n − r ∂ − 1 \partial^{-1} ∂ − 1 r = m + n + 1 r=m+n+1 r = m + n + 1 r < 0 r<0 r < 0 r = 0 r=0 r = 0 α β − β α = 0 \alpha\beta-\beta\alpha=0 α β − β α = 0 r ≥ 1 r\ge1 r ≥ 1
留数に寄与する項は有限個なので、B 3 B_3 B 3 P 2 n − 1 P^{2n-1} P 2 n − 1
そこで、この留数を
R n ( x , t 3 ) = res ∂ P 2 n − 1 , n = 1 , 2 , … (95) R_n(x,t_3)=\operatorname{res}_{\partial}P^{2n-1},\qquad n=1,2,\ldots
\tag{95} R n ( x , t 3 ) = res ∂ P 2 n − 1 , n = 1 , 2 , … ( 95 ) と書く。たとえば P P P ∂ − 1 \partial^{-1} ∂ − 1 R 1 = − u / 2 R_1=-u/2 R 1 = − u /2 R n R_n R n u u u J n ( x , t 3 ) J_n(x,t_3) J n ( x , t 3 )
∂ R n ∂ t 3 = ∂ J n ∂ x . (96) \frac{\partial R_n}{\partial t_3}=\frac{\partial J_n}{\partial x}.
\tag{96} ∂ t 3 ∂ R n = ∂ x ∂ J n . ( 96 ) u u u x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞ J n J_n J n
I n ( t 3 ) = ∫ − ∞ ∞ R n ( x , t 3 ) d x (97) I_n(t_3)=\int_{-\infty}^{\infty}R_n(x,t_3)\,dx
\tag{97} I n ( t 3 ) = ∫ − ∞ ∞ R n ( x , t 3 ) d x ( 97 ) は t 3 t_3 t 3 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1
交換子の留数と全微分
一般化二項係数を ( q r ) = q ( q − 1 ) ⋯ ( q − r + 1 ) / r ! \binom{q}{r}=q(q-1)\cdots(q-r+1)/r! ( r q ) = q ( q − 1 ) ⋯ ( q − r + 1 ) / r ! r ≥ 1 r\ge1 r ≥ 1 ( q 0 ) = 1 \binom{q}{0}=1 ( 0 q ) = 1 q q q q q q
∂ q β = ∑ r ≥ 0 ( q r ) β ( r ) ∂ q − r \partial^q\beta=\sum_{r\ge0}\binom{q}{r}\beta^{(r)}\partial^{q-r} ∂ q β = r ≥ 0 ∑ ( r q ) β ( r ) ∂ q − r は擬微分演算子の形式積の Leibniz 則である。ここで β ( r ) = ∂ x r β \beta^{(r)}=\partial_x^r\beta β ( r ) = ∂ x r β
単項式 α ∂ m \alpha\partial^m α ∂ m β ∂ n \beta\partial^n β ∂ n r = m + n + 1 r=m+n+1 r = m + n + 1 r < 0 r<0 r < 0 ∂ − 1 \partial^{-1} ∂ − 1 r = 0 r=0 r = 0 α β − β α = 0 \alpha\beta-\beta\alpha=0 α β − β α = 0 r ≥ 1 r\ge1 r ≥ 1
res ∂ [ α ∂ m , β ∂ n ] = ( m r ) α β ( r ) − ( n r ) β α ( r ) . (98) \operatorname{res}_{\partial}[\alpha\partial^m,\beta\partial^n]
=\binom{m}{r}\alpha\beta^{(r)}-\binom{n}{r}\beta\alpha^{(r)}.
\tag{98} res ∂ [ α ∂ m , β ∂ n ] = ( r m ) α β ( r ) − ( r n ) β α ( r ) . ( 98 ) このとき n = r − m − 1 n=r-m-1 n = r − m − 1 ( n r ) = ( − 1 ) r ( m r ) \binom{n}{r}=(-1)^r\binom{m}{r} ( r n ) = ( − 1 ) r ( r m ) n ( n − 1 ) ⋯ ( n − r + 1 ) n(n-1)\cdots(n-r+1) n ( n − 1 ) ⋯ ( n − r + 1 ) r − m − 1 , r − m − 2 , … , − m r-m-1,r-m-2,\ldots,-m r − m − 1 , r − m − 2 , … , − m ( − 1 ) r m ( m − 1 ) ⋯ ( m − r + 1 ) (-1)^r m(m-1)\cdots(m-r+1) ( − 1 ) r m ( m − 1 ) ⋯ ( m − r + 1 )
res ∂ [ α ∂ m , β ∂ n ] = ( m r ) ( α β ( r ) − ( − 1 ) r α ( r ) β ) . (99) \operatorname{res}_{\partial}[\alpha\partial^m,\beta\partial^n]
=\binom{m}{r}\left(\alpha\beta^{(r)}-(-1)^r\alpha^{(r)}\beta\right).
\tag{99} res ∂ [ α ∂ m , β ∂ n ] = ( r m ) ( α β ( r ) − ( − 1 ) r α ( r ) β ) . ( 99 ) 一方、積の微分を展開すると中間項が隣り合って相殺し、
∂ ∂ x ( ∑ j = 0 r − 1 ( − 1 ) j α ( j ) β ( r − 1 − j ) ) = α β ( r ) − ( − 1 ) r α ( r ) β . (100) \frac{\partial}{\partial x}\left(\sum_{j=0}^{r-1}(-1)^j\alpha^{(j)}\beta^{(r-1-j)}\right)
=\alpha\beta^{(r)}-(-1)^r\alpha^{(r)}\beta.
\tag{100} ∂ x ∂ ( j = 0 ∑ r − 1 ( − 1 ) j α ( j ) β ( r − 1 − j ) ) = α β ( r ) − ( − 1 ) r α ( r ) β . ( 100 ) したがって (99) は全微分である。r = 0 r=0 r = 0 0 0 0 r < 0 r<0 r < 0
一般の擬微分演算子は単項式の和である。各固定された次数で留数に寄与する単項式の組は有限個なので、この結果を項ごとに足せる。これを (94) に適用すれば (96) が従う。この形式計算については Batlle, §2.1 の命題2.6・2.8および §2.2 も参照できる。
参考文献
[1] 中村佳正, 高崎金久, & 辻本諭. (2018). 可積分系の数理 (解析学百科 2). 朝倉書店.
[2] 及川正行. (2013). 第 5 章 逆散乱法. ながれ: 日本流体力学会誌, 32(23), 39-53.
[3] Miura, R. M., Gardner, C. S., & Kruskal, M. D. (1968). Korteweg-de vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion. Journal of Mathematical physics, 9(30), 1204-1209.