c定理

以下でZamolodchikovのcc-定理を証明する。

cc-定理の主張は中心電荷がくりこみ群フローに沿って単調減少することである。厳密には中心電荷は臨界点上でしか定義できないので、あるくりこみ群フローに沿って単調減少する関数 CC が存在し、かつ固定点では C=cC = c となる、ということを示す。

設定としては以下のバルクの摂動を考える。

Spert[g]=∑iλiε2−Δi∫d2x∣g∣φi(x). \begin{align*} S_{\mathrm{pert}}[g] = ∑_i\frac{λ_i}{ε^{2-Δ_i}} ∫d^2x \sqrt{|g|} φ_i(x). \end{align*}

ここで Δi<2Δ_i<2 とする。また式は少し長くなってしまうが、くりこみを考えるときにはカットオフ εε を常に付けておくほうが分かりやすいと思ったので、加えている。

エネルギー運動量テンソルのトレース ΘΘ は摂動の下で一般にゼロにならず、

Θ(z,z‾)ε−2=∑iβi(λ)φi(z,z‾)ε−Δi. \begin{align*} \frac{Θ(z,\overline{z})}{ε^{-2}} = ∑_i β_i(λ) \frac{φ_i(z,\overline{z})}{ε^{-Δ_i}}. \end{align*}

と表される。これを導出するために共形変換に対する作用の変化を見れば良い。 共形変換はWeyl変換と一般座標変換の組み合わせとして表せる。一般座標変換は座標の取り替えに過ぎず、作用を保つため、Weyl変換による作用の変化を考える。 Weyl変換は

gμν↦e−2σ(x)gμν \begin{align*} g_{μν} ↦ e^{- 2σ(x)} g_{μν} \end{align*}

によって与えられる。ここで σ(x)σ(x) は微小な任意関数とする。このとき作用の微小変化は

δgS=12∫d2x∣g∣Tμνδgμν=−∫d2x∣g∣σ(x)Θ. \begin{align*} δ_gS = \frac12∫d^2x\sqrt{|g|}T^{μν}δg_{μν} = - ∫d^2x\sqrt{|g|}σ(x)Θ. \end{align*}

である。一方、共形変換は摂動場の変換

φi(x)d2x↦(1−βi(λ)λiσ(x))φi(x)d2x \begin{align*} φ_i(x)d^2x ↦ \left(1 - \frac{β_i(λ)}{λ_i}σ(x)\right)φ_i(x)d^2x \end{align*}

とみなすこともできる。 βi(λ)β_i(λ) はベータ関数であり、λλの1次までだと φid2x↦e(2−Δi)σ(x)φid2xφ_id^2x ↦ e^{(2-Δ_i)σ(x)}φ_id^2x である。 これらが一致することから、

Θ(z,z‾)ε−2=∑iβi(λ)φi(z,z‾)ε−Δi. \begin{align*} \frac{Θ(z,\overline{z})}{ε^{-2}} = ∑_i β_i(λ) \frac{φ_i(z,\overline{z})}{ε^{-Δ_i}}. \end{align*}

エネルギー運動量テンソルのトレースを

Tμμ=2(Tz‾z+Tzz‾)=4Tz‾z≕Θ {T^μ}_μ = 2(T_{\overline{z}z} + T_{z\overline{z}}) = 4T_{\overline{z}z} ≕ Θ

とおく。ここでエネルギー運動量テンソルの対称性を用いた。

保存則 ∂μTμν=0∂_μ{T^μ}_ν = 0 を複素表示で書くと、

∂z‾Tzz+∂zTz‾z=∂z‾T+14∂zΘ=0. \begin{align*} ∂_{\overline{z}}T_{zz} + ∂_zT_{\overline{z}z} = ∂_{\overline{z}}T + \frac14∂_zΘ = 0. \end{align*}

この関係から T(z,z‾)T(z, \overline{z}) と Θ(z,z‾)Θ(z, \overline{z}) の間の相関関数についての制限が得られる。回転対称性を用いると

⟨T(z,z‾)T(0,0)⟩=F(zz‾/ε2)z4,⟨Θ(z,z‾)T(0,0)⟩=G(zz‾/ε2)z3z‾,⟨Θ(z,z‾)Θ(0,0)⟩=H(zz‾/ε2)z2z‾, \begin{align*}& ⟨ T(z,\overline{z}) T(0,0) ⟩ = \frac{F(z\overline{z}/ε^2)}{z^4}, \\ & ⟨ Θ(z,\overline{z}) T(0,0) ⟩ = \frac{G(z\overline{z}/ε^2)}{z^3\overline{z}}, \\ & ⟨ Θ(z,\overline{z}) Θ(0,0) ⟩ = \frac{H(z\overline{z}/ε^2)}{z^2\overline{z}}, \end{align*}

とおける。先ほどの保存則を用いると、

∂z‾Fz4+14∂zGz3z‾=(zz‾/ε2)F′z4z‾+(zz‾/ε2)G′−3G4z4z‾=0. \begin{align*}& ∂_{\overline{z}}\frac{F}{z^4} + \frac14 ∂_z\frac{G}{z^3\overline{z}} = \frac{(z\overline{z}/ε^2)F'}{z^4\overline{z}} + \frac{(z\overline{z}/ε^2)G'-3G}{4z^4\overline{z}} = 0. \end{align*}

同様に、

∂z‾Gz3z‾+14∂zHz2z‾2=(zz‾/ε2)G′−Gz3z2‾+(zz‾/ε2)H′−2H4z3z‾2=0. \begin{align*} & ∂_{\overline{z}}\frac{G}{z^3\overline{z}} + \frac14 ∂_z\frac{H}{z^2\overline{z}^2} = \frac{(z\overline{z}/ε^2)G'-G}{z^3\overline{z^2}} + \frac{(z\overline{z}/ε^2)H'-2H}{4z^3\overline{z}^2} = 0. \end{align*}

さて、cc-functionを

C≔C(zz‾/ε2;λ)=2F−G−38H \begin{align*} C ≔ C(z\overline{z}/ε^2;λ) = 2F - G - \frac{3}{8}H \end{align*}

と定義する。臨界点上では G=H=0G=H=0 なので cc-functionは中心電荷 cc に一致することに注意する。 cc-functionを zz‾/ε2z\overline{z}/ε^2 について微分すると、

C′=2F′−G′−38H′=−12(G′−3Gzz‾/ε2)−G′+32(G′−Gzz‾/ε2)−3H4zz‾/ε2=−3H4zz‾/ε2. \begin{align*} C' & = 2F' - G' - \frac38H' \\ & = -\frac1{2}\left(G'-\frac{3G}{z\overline{z}/ε^2}\right) -G' +\frac{3}{2}\left(G'-\frac{G}{z\overline{z}/ε^2}\right) - \frac{3H}{4z\overline{z}/ε^2} \\ & = -\frac{3H}{4z\overline{z}/ε^2}. \end{align*}

くりこみ群フローに沿ったcc-functionの変化は

−∂C∂ln⁡ε=2(zz‾/ε2)∂C∂(zz‾/ε2)=−32H≤0. \begin{align*} -\frac{∂C}{∂\lnε} = 2 (z\overline{z}/ε^2)\frac{∂C}{∂(z\overline{z}/ε^2)} = -\frac{3}{2}H ≤ 0. \end{align*}

ここで H≥0H ≥ 0 はunitarity (reflection positivity)の帰結。Reflection z↦z‾z ↦ \overline{z} を考えると、

⟨Tzz‾(z,z‾)Tz‾z(z‾,z)⟩=116⟨Θ(z,z‾)Θ(z‾,z)⟩≥0. \begin{align*} ⟨T_{z\overline{z}}(z, \overline{z})T_{\overline{z}z}(\overline{z}, z)⟩ = \frac1{16}⟨Θ(z,\overline{z})Θ(\overline{z},z)⟩ ≥ 0. \end{align*}

よって H≥0H≥0 が従う。

くりこみの枠組みはスケールの変化を結合定数の変化によって相殺して同じ理論を得る、というものだった。これを式として表現したのが以下のCallan-Symanzik equationである。

(∂∂ln⁡ε+∑iβi(λ)∂∂λi)C(zz‾/ε2,λ)=0. \begin{align*} \left(\frac{∂}{∂\lnε} + ∑_i β_i(λ)\frac{∂}{∂λ_i}\right)C(z\overline{z}/ε^2, λ) = 0. \end{align*}

もう少し丁寧な導出:

∂∂ln⁡ε⟨O⟩=−1Z∫DφO∂S∂ln⁡εe−S+1Z2∫Dφ∂S∂ln⁡εe−S∫DφOe−S=−∫d2z⟨Θ(z,z‾)O⟩c=−∫d2zε2∑iβi⟨φi(z,z‾)ε−ΔiO⟩c=−∑iβi∂∂λi⟨O⟩. \begin{align*} \frac{∂}{∂\lnε}⟨\mathcal{O}⟩ & = - \frac1{Z}∫\mathcal{D}φ \mathcal{O}\frac{∂S}{∂\lnε}e^{-S} + \frac1{Z^2}∫\mathcal{D}φ \frac{∂S}{∂\lnε}e^{-S} ∫\mathcal{D}φ \mathcal{O}e^{-S} \\ & = -∫d^2z ⟨Θ(z, \overline{z})\mathcal{O}⟩_c \\ & = -∫\frac{d^2z}{ε^2} ∑_i β_i \left\langle \frac{φ_i(z, \overline{z})}{ε^{-Δ_i}}\mathcal{O} \right\rangle_c \\ & = -∑_i β_i \frac{∂}{∂λ_i} ⟨\mathcal{O}⟩. \end{align*}

これを用い、HH の定義に ΘΘ の表示を代入し、さらに ∣z∣=1|z|=1 とすると、

−∂C∂ln⁡ε=∑jβj∂∂λjC(1/ε2;λ)=−32H=−32∑i,jβiβj⟨φi(1,1)φj(0,0)⟩ε−Δi−Δj≕−∑ijβiβjGij. \begin{align*} -\frac{∂C}{∂\lnε} & = ∑_j β_j\frac{∂}{∂λ_j}C(1/ε^2;λ) \\ & = -\frac{3}{2}H = -\frac{3}{2}∑_{i,j}β_iβ_j\frac{⟨φ_i(1,1)φ_j(0, 0)⟩}{ε^{-Δ_i-Δ_j}} \\ & ≕ -∑_{ij}β_iβ_jG_{ij}. \end{align*}

よって(ββ-functionの線形独立性を仮定して)以下の式を得る:

∂∂λjC(1/ε2;λ)=−∑iβiGij. \begin{align*} \frac{∂}{∂λ_j}C(1/ε^2;λ) = - ∑_i β_iG_{ij}. \end{align*}

これは先ほどより明らかな形で理論空間の中でのcc-functionの勾配を与える。GijG_{ij} はZamolodchikov計量と呼ばれ、worldsheet theoryのmoduli spaceにおける計量となるらしい。unitary (reflection positive)な理論では同一の場の2点関数は正なので、Zamolodchikov計量は正定値になる。

g定理

gg-定理はざっくり言うと、boundary CFTにおいてidentityの1点関数がRGフローに沿って単調減少することを主張している。 中心電荷とidentiyの1点関数は似ても似つかないように思われるが、両者がエントロピーに結びつくことを考慮するとgg-定理はもっともらしく思えてくる。

周長が RR, 長さが LL のシリンダーを考える。 R=1/TR=1/T である。TT は温度 。 シリンダーの周方向の座標を ττ, シリンダーの軸方向の座標を xx とおく。 両端の境界( x=0,Lx = 0, L )にboundary state ∥α⟩ ⁣⟩\| α ⟩\!⟩ がいるとする。

このとき分配関数は L→∞L → ∞ の極限で以下のように書かれる。

ln⁡Z≈πc6LR+ln⁡(Zbdy2). \begin{align*} \ln Z ≈ \frac{πc}{6} \frac{L}{R} + \ln(Z_{\mathrm{bdy}}^2). \end{align*}

境界分配関数の対数 ln⁡Zbdy\ln Z_\mathrm{bdy} は gα(0)g_α(0) に同定される。分配関数をちゃんと書くと、

Zαα(q)=⟨ ⁣⟨α∥q~L0−c/24∥α⟩ ⁣⟩. \begin{align*} Z_{αα}(q) = ⟨\!⟨ α \|\tilde{q}^{L_0-c/24}\|α ⟩\!⟩. \end{align*}

ここで q~=e−4πL/R\tilde{q}=e^{-4πL/R} である。 q=e−2πL/Rq=e^{-2πL/R} と比べて 22 がつくのは正則と半正則の両方の寄与があるから。

L→∞L→∞ での主要な寄与は真空から来るので、

Zαα(q)≈exp⁡(πc6LR)∣⟨ ⁣⟨α∥0⟩∣2 \begin{align*} Z_{αα}(q) ≈ \exp\left(\frac{πc}{6}\frac{L}{R}\right)|⟨ \! ⟨ α \| 0 ⟩|^2 \end{align*}

となる。この対数をとれば ln⁡Zbdy=gα(0)\ln Z_\mathrm{bdy} = g_α(0) を得る。

自由エネルギーは F=−Tln⁡ZF = -T\ln Z であるから、境界エントロピーは

Sbdy≔−∂Fbdy∂T=(1−R∂∂R)ln⁡Zbdy \begin{align*} \mathcal{S}_\mathrm{bdy} ≔ -\frac{∂F_\mathrm{bdy}}{∂T} = \left(1-R\frac{∂}{∂R}\right)\ln Z_\mathrm{bdy} \end{align*}

と定義できる。共形不変な境界条件の場合、 ZbdyZ_\mathrm{bdy} はくりこみ不変なので Sbdy\mathcal{S}_\mathrm{bdy} は ln⁡gα\ln g_α に一致する。ここではRGフローに沿って gg が単調減少することの代わりに Sbdy\mathcal{S}_\mathrm{bdy} が単調減少することを示す。

境界エントロピーは以下の勾配をもつ:

∂Sbdy∂λa=−∑bβb(λ)gab(λ) \begin{align*} \frac{∂\mathcal{S}_\mathrm{bdy}}{∂λ^a} = - ∑_b β_b(λ)g_{ab}(λ) \end{align*}

ここで計量 gabg_{ab} は

gab≔∫dτ′dτε2−ha−hb⟨ψa(τ′)ψb(τ)⟩c(1−cos⁡[2π(τ′−τ)R]) \begin{align*} g_{ab} ≔ ∫\frac{dτ'dτ}{ε^{2-h_a-h_b}} \left\langleψ_a(τ')ψ_b(τ)\right\rangle_c \left(1-\cos\left[\frac{2π(τ'-τ)}{R}\right]\right) \end{align*} % g_{ab} = ∫^{2π}_0 \frac{Rdω}{2π}\sin^2\left(\frac{ω}{2}\right)⟨ψ_a(Re^{iω})ψ_b(R)⟩

と定義される。これは境界におけるZamolodchikov計量の対応物である。ただ cos⁡\cos のウェイトがくっついているのがちょっと変に感じる。

ともかく、これを認めるとRGフローに沿った境界エントロピーの変化は、

−∂Sbdy∂ln⁡ε=∑aβa∂Sbdy∂λa=−∑a,bβaβbgab≤0. \begin{align*} -\frac{∂\mathcal{S}_\mathrm{bdy}}{∂\lnε} = ∑_aβ_a\frac{∂\mathcal{S}_\mathrm{bdy}}{∂λ_a} = - ∑_{a,b} β_aβ_b g_{ab} ≤ 0. \end{align*}

gabg_{ab} は半正定値なので、境界エントロピーは単調減少する。

境界エントロピーの勾配の導出は結構面倒。以降は (Friedan and Konechny, 2004) に従う。まず以下のように変形する。

∂Sbdy∂λa=(1+∂∂ln⁡ε)∂ln⁡Zbdy∂λa=(1+∂∂ln⁡ε)∫dτ′ε⟨ψa(τ′)ε−ha⟩=(1+∂∂ln⁡ε)Rε⟨ψa(0)ε−ha⟩=Rε∂∂ln⁡ε⟨ψa(0)ε−ha⟩=−∫Rdτε1−ha⟨ψa(0)θ(τ)⟩c−∫Rdτdxε1−ha⟨ψa(0)Θ(x,τ)⟩c \begin{align*} \frac{∂S_\mathrm{bdy}}{∂λ^a} & = \left(1+\frac{∂}{∂\ln ε}\right) \frac{∂\ln Z_\mathrm{bdy}}{∂λ^a} \\ & = \left(1+\frac{∂}{∂\lnε}\right)∫\frac{dτ'}{ε} \left\langle\frac{ψ_a(τ')}{ε^{-h_a}}\right\rangle \\ & = \left(1+\frac{∂}{∂\lnε}\right)\frac{R}{ε} \left\langle\frac{ψ_a(0)}{ε^{-h_a}}\right\rangle \\ & = \frac{R}{ε} \frac{∂}{∂\lnε}\left\langle\frac{ψ_a(0)}{ε^{-h_a}}\right\rangle \\ & = -∫\frac{Rdτ}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)θ(τ)⟩_c - ∫\frac{Rdτdx}{ε^{1-h_a}} ⟨ψ_a(0)Θ(x, τ)⟩_c \end{align*}

第1項は境界の寄与で、θ(τ)θ(τ) は境界のエネルギー運動量テンソルである。第1項は ββ 関数を使って以下のように書ける。

∫Rdτε1−ha⟨ψa(0)θ(τ)⟩c=∑bβb∫Rdτε2−ha−hb⟨ψa(0)ψb(τ)⟩c \begin{align*} ∫\frac{Rdτ}{ε^{1-h_a}} \left\langleψ_a(0)θ(τ)\right\rangle_c = ∑_b β_b ∫\frac{Rdτ}{ε^{2-h_a-h_b}} \left\langleψ_a(0)ψ_b(τ)\right\rangle_c \end{align*}

第2項のバルクの寄与の処理がちょっと大変。まず以下の共形Killingベクトルを定義する。

v=R4πsinh⁡w,v‾=R4πsinh⁡w‾ \begin{align*} v = \frac{R}{4π}\sinh w,\quad \overline{v} = \frac{R}{4π}\sinh\overline{w} \end{align*}

ここで w=2π(x+iτ)/Rw = 2π(x+iτ)/R である。∂σvσ∂_σv^σ を計算しておく。

∂σvσ=2πR(∂wv+∂w‾v‾)=ℜcosh⁡w=cosh⁡2πxRcos⁡2πτR \begin{align*} ∂_σv^σ = \frac{2π}{R} (∂_wv + ∂_{\overline{w}}\overline{v}) = \Re \cosh w =\cosh\frac{2πx}{R}\cos\frac{2πτ}{R} \end{align*}

ΘΘ は基本的には常にゼロであり、接触項だけ気にする必要がある。ここで w≈0w ≈ 0 で ∂σvσ≈1∂_σv^σ ≈ 1 であることを用いて、

ψa(0)Θ(x,τ)≈ψa(0)Θ(x,τ)∂σvσ \begin{align*} ψ_a(0)Θ(x,τ) ≈ ψ_a(0)Θ(x,τ)∂_σv^σ \end{align*}

としてしまおう。ha<1h_a < 1 から接触項として出てくるのは高々 δ′(τ)δ(x),δ(τ)δ′(x)δ'(τ)δ(x), δ(τ)δ'(x) であり、1−∂σvσ1-∂_σv^σ は w=0w=0 で1次微分係数までゼロだから、この変形は正当化される。

さらに、共形Killing方程式を用いて

Θ(x,τ)∂σvσ=Tμνgμν∂σvσ=Tμν(∂μvν+∂νvμ)=2Tμν∂μvν \begin{align*} Θ(x,τ)∂_σv^σ & = T^{μν}g_{μν}∂_σv^σ\\ & = T^{μν}(∂_μv_ν+∂_νv_μ)\\ & = 2T^{μν}∂_μv_ν \end{align*}

と書ける。よって

∫Rdτdxε1−ha⟨ψa(0)Θ(x,τ)⟩∂σvσ=2∫Rdτdxε1−ha⟨ψa(0)Tμν(x,τ)⟩∂μvν=2∫Rdτdxε1−ha∂μ(⟨ψa(0)Tμν(x,τ)⟩vν)=2∫Rdτε1−ha⟨ψa(0)Txτ(0,τ)⟩vτ=∫R2dτ2πε1−ha⟨ψa(0)Txτ(0,τ)⟩sin⁡2πτR. \begin{align*} ∫\frac{Rdτdx}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)Θ(x,τ)⟩∂_σv^σ & = 2∫\frac{Rdτdx}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)T^{μν}(x,τ)⟩∂_μv_ν\\ & = 2∫\frac{Rdτdx}{ε^{1-h_a}}∂_μ(⟨ψ_a(0){T^μ}_ν(x,τ)⟩v^ν)\\ & = 2∫\frac{Rdτ}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0){T^x}_τ(0,τ)⟩v^τ \\ &= ∫\frac{R^2dτ}{2πε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0){T^x}_τ(0,τ)⟩\sin\frac{2πτ}{R}. \end{align*}

境界での保存則 Txτ+∂τθ=0{T^x}_τ + ∂_τθ=0 を使うと、

∫R2dτ2πε1−ha⟨ψa(0)Txτ(0,τ)⟩sin⁡2πτR=−∫R2dτ2πε1−ha⟨ψa(0)∂τθ(τ)⟩sin⁡2πτR=∫Rdτε1−ha⟨ψa(0)θ(τ)⟩cos⁡2πτR=∑bβb∫Rdτε2−ha−hb⟨ψa(0)ψb(τ)⟩cos⁡2πτR. \begin{align*}& ∫\frac{R^2dτ}{2πε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0){T^x}_τ(0,τ)⟩\sin\frac{2πτ}{R}\\ & = - ∫\frac{R^2dτ}{2πε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)∂_τθ(τ)⟩\sin\frac{2πτ}{R} \\ & = ∫\frac{Rdτ}{ε^{1-h_a}}⟨ψ_a(0)θ(τ)⟩\cos\frac{2πτ}{R} \\ & = ∑_b β_b ∫\frac{Rdτ}{ε^{2-h_a-h_b}}⟨ψ_a(0)ψ_b(τ)⟩\cos\frac{2πτ}{R}. \end{align*}

以下、境界での保存則の導出。境界を保つような座標変換 x↦x+ξx↦x+ξ に対して δSδS は、

δS=∫dτdxTμν∂μξν+∫dτθ(τ)∂τξτ(0,τ)=∫dτdx∂μ(Tμνξν)+∫dτθ(τ)∂τξτ(0,τ)=∫dτ(−Txτ(0,τ)−∂τθ(τ))ξτ(0,τ). \begin{align*} δS & = ∫ dτdx {T^μ}_ν ∂_μξ^ν + ∫dτ θ(τ)∂_τξ^τ(0,τ) \\ & = ∫ dτdx ∂_μ ({T^μ}_νξ^ν) + ∫dτ θ(τ)∂_τξ^τ(0,τ) \\ & = ∫dτ (-{T^x}_τ(0,τ)-∂_τθ(τ))ξ^τ(0,τ). \end{align*}

よって運動方程式を使うと Txτ+∂τθ=0{T^x}_τ + ∂_τθ=0 が導かれる。

計算完了！ということで結果:

∂Sbdy∂λa=−∑aβb∫Rdτε2−ha−hb⟨ψa(0)ψb(τ)⟩c(1−cos⁡2πτR)=−∑bβbgab. \begin{align*} \frac{∂S_\mathrm{bdy}}{∂λ_a} & = - ∑_a β_b ∫\frac{Rdτ}{ε^{2-h_a-h_b}} \left\langleψ_a(0)ψ_b(τ)\right\rangle_c \left(1-\cos\frac{2πτ}{R}\right) \\ & = -∑_b β_b g_{ab}. \end{align*}

参考文献

Recknagel and Schomerus (2013). Boundary Conformal Field Theory and the Worldsheet Approach to D-Branes

Friedan and Konechny (2004). On the Boundary Entropy of One-dimensional Quantum Systems at Low Temperature

c-theorem (nLab)

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